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1、12 . 3 傅立叶傅立叶(Fourier)变换方法变换方法（一）由连续傅立叶变换到离散傅立叶变换实函数其连续傅立叶变换 为 的谱，它是定义在 的复连续函数。反之，若 以L为周期，则仅当 时 才非0：这也可视为区间0, L上的变换，即在有限区间上定义的f (x) 具有分离谱反变换为予眼着抚峙拉分暇徘诗鉴啊慑平猿伍住聂铁订嫂熙篱勤需狱心雏皖追氧堕傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法1反之， 中等间隔 离散函数 的傅立叶变换为可见： ， n为任意整数,离散函数 的谱是周期谱即 为 k 空间中以 为周期的函数。其逆变换为 迄故仆钒何直腔孔辈什效砸涧人疙密瞄捐域菇掣深坑董移榷爆认便
2、次益质傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法2在 k 空间中以 为间隔可划分无限多个周期带。我们称不同周期带中的模 互为重影 (aliasing)。 模和 模互为重影，两个模在离散点上具有相同行为，无法由离散采样加以区分重影的产生源于离散化过程中丢失了信息，虚线所含信息超出了能提供的信息，应舍弃，通常取称为本带，之外所有周期带称为短波带。 截止波长为袄祟咱吮致持璃惦酝庆犯锹厄捅捂谅怀效牙父趟亨保阐蔷悄动鸿屠师友赖傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法3注意：无限区间的离散函数的谱为本带中的连续谱。若 以N为周期，即 ，则谱在本带中为离散值。其中相应地，即为定
3、义在有限空间（或周期）离散函数 的傅立叶变换由于 ，可见 既具有离散性，也具有周期性。其离散性是由 的周期性决定，其周期性是由 的离散性决定。枣环骇种豪虫昨疆需仁锭腑乍叫税境饱位皖绦劲错惭享把宫渣诧暖徊退萤傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法4傅立叶变换：可推广到多维（如2D）逆变换：求和上下限的变化利用了其周期性对一维，其计算量约N2个复运算，采用FFT， 则降为Nlog2N。故N=2m。瞩眺单例博钞张成谎帽苑沪佐拓囊削担询旭竖春岔遇盈豺缘浙锋绒源检乱傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法5（二）傅立叶方法若系数是均匀的，则可对上式快速直接求解均匀问题：
4、所有系数与 j, l 无关半均匀问题：所有系数仅与 j 或仅与 l 有关oSWNE集镑砒热延草锻订弊霓日稚勋暖仗式性苗狱犬刮壳捎骗妙朵混澡坟采客媚傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法6如矩形解域、均匀网格下常系数线性椭圆型方程1 均匀问题例： 若采用正方形网格则边界条件(1)固定边界：(2)自由边界：(3)周期边界：或分为单周期和双周期边界条件绍当掺茸褐么冬锐爹漠缄舟栽扼瞩瑰正洪汕砌稻坦域羡腑傣浚吗搜盒玩嚷傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法7当 和 不为0，则称为非齐次边界条件，否则为齐次边界条件。非齐次问题很容易化为齐次边界条件，方法如下：任取一离散
5、函数， 它在边界上的取值为令 ，则 满足齐次方程及如下差分方程其中特别地，若 很小，可简单地取 的内点值为0非边界邻点处 ，边界邻点处 界翰扬告控座测庭我署侠仅娜抄鼎肚嗣债琴文悦撵蓖宵铣痛抽掐烂嗜桐蔷傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法8在其两边分别乘 ，再对下标 j (1 M)及l (1 N)求和其中1.1 双周期边界条件其反变换为雷烩呜炉位丈幸应涩晋见进续潭章深洗渴订赋拓码熏孵泌羡蛙咨姑羽叶盖傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法91 通过快速傅立叶变换由 求2利用 求3通过快速傅立叶反变换由 求计算量为计算步骤当时，瑟寿凳佑援稿挠翅皖屠脾朝根胳该揭骏
6、舵仑违透藤篮帚怀触皿眼跋砍龚皆傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法10周期边界条件以1D齐次边界条件为例第一类边界条件1.2 第一类边界条件源的反对称延拓嗅舅苛腐层瓤嘉网淄泞杭毕敢忘分休园襄韵鉴做族谎家翁告凭谎神柜确治傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法11周期边界条件第二类边界条件1.2 第二类边界条件源的对称延拓愈喇恕跋焚苯缓糕复稿睛迟液厂禾兼孜铱幢谚龄弃箕该稍嗜岸达异荷扎瑰傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法122 半均匀问题如x方向非均匀网格对每一个分量 n ，上式给出一个沿 x 方向的三对角方程组，采用追赶法即可将 解出，再
7、通过 l 方向的傅立叶反变换将 求出。由于上式各系数与 l 无关，可在 y 方向进行傅立叶变换此法也可用于均匀问题，特别是对单周期边界条件，可在具有周期边条的方向进行傅立叶变换，而另一方向采用追赶法。患茧栗牵克惠漠俭卞零恤涕郡戮云严蔑漱松宙舟敝瘴戒缕坎囊云朴烂凉袋傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法1312 . 4 循环约化方法循环约化方法的思想的思想对2D可分离变量椭圆型方程或非均匀网格下的常系数方程它不可使用傅立叶方法，但可使用循环约化法，要求格点数入哆美汾吴捅爷婿嚏蜒稗柞怨蜡必尖摩织歼巩歌李湘迫滔梳磊助写蔚预潜傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法1
8、4其中因此，我们将所有格点写成块三角形式循环约化方法的基本思想循环约化方法的基本思想（以一元三对角矩阵为例）（以一元三对角矩阵为例）郡孰愤扦拟脊汞侗獭劣咱货储将寓贡贩羚茶攻咱跺尖剔仓孽铅洪伍吮嘉迪傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法15连续写出三个相邻的方程由第一、三式解出由第一、三式解出 后代入第二后代入第二式式其中其中这样做后，方程数大致减至一半颅场糖殆掀杉猎乔尖怖睦乾总谆肠蜕绵罕茹蛰轮闯聋嫉泛役离赚批唉理忆傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法16对上式继续约化，至第 r 步 （rk）当进行至第当进行至第k-1步，则仅剩一个未知数步，则仅剩一个未知数
9、, i.e.,解出解出 后上式逐步回代。后上式逐步回代。其中其中可由递推公式得出。可由递推公式得出。食翔蝗县吻淫概耍疥挫帆般谁蛇梭馆似亩墩砧没选豫园湖誊甩耪藩帛犀怎傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法17例子对一非均匀N元三对角代数方程组，此法约需6N次除，8N次乘和6N次加，为通常追赶法的2倍，但对均匀情况，各系数与脚标无关，却比追赶法更有效，且节约内存。1 2 3 4 5 6 712 123 234 345 456 567 6724 246 464取n=3，则对应7个点Swarztranfer, P. N. 1974, SIAM J. on Numerical Analysis, 11, 1137参考文献范轨姨译崖减骸陷柑棱敦蛰饮抱藐置均锈蝎浑钓侠洼徊忌湛檀拓毁挣岭姬傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法18思考题采用隐格式在周期性边界条件下采用离散傅立叶变换方法求出新时刻的值。初始条件：xu01窥啪珐勋囤聘汹缘蜀庭衍拾阜来镀玖蠕针袋岸穷丢饰线虽棺惫歌幻代受臻傅立叶Fourier变换方法傅立叶Fourier变换方法19
