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1、9.4空空间间向量及其运算向量及其运算(B) 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考9.4空空间间向向量量及及其其运运算算(B)双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基基础础梳理梳理1共共线线向量、共面向量、空向量、共面向量、空间间向量三定理辨析向量三定理辨析(1)共共线线向量基本定理向量基本定理对对空空间间任意两个向量任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件的充要条件是是_.存在存在实实数数，使，使abpxaybpxaybzca，b，c|a|b|cos a，b(ab)3空空间间直角坐直角坐标标系系(1)空空间间直角坐直角坐标标系系在空在空
2、间选间选定一点定一点O和一个和一个单单位正交基底位正交基底i，j，k，以以O为为原点，分原点，分别别以以i，j，k的方向的方向为为正方向建立三正方向建立三条数条数轴轴：x轴轴，y轴轴，z轴轴，它，它们们都叫做坐都叫做坐标轴标轴这这时时我我们说们说建立了一个空建立了一个空间间直角坐直角坐标标系系Oxyz，点，点O叫做原点，向量叫做原点，向量i，j，k叫做叫做_，通，通过过每两每两个坐个坐标轴标轴的平面叫做坐的平面叫做坐标标平面平面坐坐标标向量向量(3)空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则则ab_；ab _ ；a _ ；ab _ ；aba1b1
3、，a2b2，a3b3(R)；ab _.(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)(R)a1b1a2b2a3b3a1b1a2b2a3b30提示：提示：不是向量平行于平面是指向量所在直线不是向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面平行于平面或在平面或在平面内两种情况因此，在用内两种情况因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内在的直线不在平面内思考感悟思考感悟2在空间直角坐标系中：在空间直角坐标系中：P(x，y，z)关于关于x轴、轴、y轴、轴、z轴的对称点如何？轴的对称点如何？P(x，y
4、，z)关于原点的对称点如关于原点的对称点如何？何？P(x，y，z)关于关于xOy平面、平面、yOz平面、平面、zOx平面平面的对称点如何？记忆方法如何？的对称点如何？记忆方法如何？提示：提示：(1)P(x，y，z)关于关于x轴的对称点为轴的对称点为P1(x，y，z)，关于，关于y轴的对称点为轴的对称点为P2(x，y，z)，关于，关于z轴的对称点为轴的对称点为P3(x，y，z)(2)P(x，y，z)关于原点的对称点为关于原点的对称点为P4(x，y，z)(3)P(x，y，z)关于关于xOy平面的对称点为平面的对称点为P5(x，y，z)，关于，关于xOz平面的对称点为平面的对称点为P6(x，y，z)
5、，关，关于于yOz平面的对称点为平面的对称点为P7(x，y，z)上述结论的记忆方法为：关于谁对称谁就不变，上述结论的记忆方法为：关于谁对称谁就不变，其余符号相反例如：关于其余符号相反例如：关于x轴的对称点横坐标轴的对称点横坐标不变，而纵坐标、竖坐标分别变为原来的相反数不变，而纵坐标、竖坐标分别变为原来的相反数课课前前热热身身答案：答案：B2已知已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acCac，ab Dab，bc答案：答案：C答案：答案：B4在空间直角坐标系中，正方体在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1
6、D1的顶点的顶点A(3，1,2)，其中心，其中心M(0,1,2)，则该正方体的棱长为则该正方体的棱长为_5已知已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则则b，c_.答案：答案：120考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点一考点一空间向量的线性运算空间向量的线性运算空空间间向向量量的的线线性性运运算算可可类类比比平平面面向向量量的的线线性性运运算算，其其依依据据是是空空间间向向量量基基本本定定理理、平平行行四四边边形形法则、三角形法则，参考教材例法则、三角形法则，参考教材例1.例例例例1 1【思路分析思路分析】尽可能使第二个向量的起点与第尽可能使第二个向量
7、的起点与第一个向量的终点相结合，再使第三个向量的起点一个向量的终点相结合，再使第三个向量的起点与第二个向量的终点相结合与第二个向量的终点相结合空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，解决此类问题的关键是熟练应用公式，准确计算，解决此类问题的关键是熟练应用公式，准确计算，参考教材例参考教材例2.考点二考点二空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算例例例例2 2【思路分析思路分析】根据坐标的概念，首先寻找各点根据坐标的概念，首先寻找各点坐标，再求对应向量坐标坐标，再求对应向量坐标【思维总结思维总结】在空间直角坐标系中，无论是点在空间直角坐标系中，无论是点
8、还是向量，其坐标是三个实数组成的一组数，它还是向量，其坐标是三个实数组成的一组数，它们的运算也应是三个坐标的结果们的运算也应是三个坐标的结果互动探究互动探究在本例的正方体中，若在本例的正方体中，若a垂直平面垂直平面D1AC，则称，则称a为平面为平面D1AC的法向量，求平面的法向量，求平面D1AC的单位法向量的坐标的单位法向量的坐标利用向量证明平行，转化为向量共线，证明垂直利用向量证明平行，转化为向量共线，证明垂直转化为数量积为转化为数量积为0. 如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1AB2AD2，点，点E、F分别为分别为C1D1、A1B的的中点中点(1)求证：求证：
9、EF面面BB1C1C；(2)求证：求证：DF面面A1BE.考点三考点三利用向量证明平行或垂直利用向量证明平行或垂直例例例例3 3【证明证明】根据题意，以根据题意，以D为原点，棱为原点，棱DA、DC、DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立如图所示轴建立如图所示的空间直角坐标系，则的空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，B1(1,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，B(1，2,0)，C(0,2,0)【思维总结思维总结】解题的关键是建立空间直角坐标解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量法，把证明直线与平面平行的问题系，利用向量法，把证明直线与
10、平面平行的问题转化为计算向量的问题；把求线面垂直转化为数转化为计算向量的问题；把求线面垂直转化为数量积的计算量积的计算方法技巧方法技巧1空间向量的加法、减法、数乘运算以及两个空间向量的加法、减法、数乘运算以及两个空间向量的数量积的定义、运算律与性质均与平空间向量的数量积的定义、运算律与性质均与平面向量完全一样面向量完全一样2选定空间不共面的三个向量作基向量，并用选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量解题时应结合已知和所它们表示出指定的向量解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示出所需向量，再对照目标，将不符合
11、目标要求示出所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求，如例符合目标要求，如例1.方法感悟方法感悟4利用空间向量证明线面平行，只要在平面利用空间向量证明线面平行，只要在平面内内找到一条直线的方向向量为找到一条直线的方向向量为b，已知直线的方向，已知直线的方向向量为向量为a，证明，证明ab即可如例即可如例3.5利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量条异面直线上各取一个向量a，b，只要证明，只要证明ab，即，即ab0即可即可6证明线面垂直：直线证
12、明线面垂直：直线l，平面，平面，要证，要证l，只，只要在要在l上取一个非零向量上取一个非零向量p，在，在内取两个不共线的内取两个不共线的向量向量a、b，问题转化为证明，问题转化为证明pa且且pb，也就是，也就是ap0且且bp0.如例如例3.1用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键如例以图形为指导是解题的关键如例1.2共线向量不具备传递性，除去零向量时共线共线向量不具备传递性，除去零向量时共线向量才具备传递性向量才具备传递性3要用共线向量定理证明向量要用共线向量定理证明向量a，b所在的直线所在的直线平行，除证明平行，除证明ab外，
13、还需证明某条直线上必外，还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外有一点在另一条直线外失失误误防范防范考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考考情分析考情分析从从近近两两年年的的高高考考试试题题来来看看，常常以以解解答答题题的的形形式式考考查查有有关关平平行行、垂垂直直的的证证明明及及夹夹角角和和距距离离的的求求法法，由由于于空空间间向向量量仅仅作作为为解解决决问问题题的的一一种种工工具具，因因此此考考查查的的难难度度一一般般都都不不大大考考查查的的热热点点在在于于利利用用空空间间向向量量的的坐坐标标运运算算将将复复杂杂的的立立体体几几何何问问题题“代代数数化化”，从而使问题化难为易，从而使问题化难为易
14、2010年的高考中，只有广东理第年的高考中，只有广东理第10题单纯地考查题单纯地考查空间向量的坐标运算，其余各省市考题都是在解空间向量的坐标运算，其余各省市考题都是在解答题中以空间几何体为载体，恰当地建空间直角答题中以空间几何体为载体，恰当地建空间直角坐标系，灵活运用向量夹角公式求线线角、线面坐标系，灵活运用向量夹角公式求线线角、线面角、二面角，利用数量积解决线面、面面的垂直角、二面角，利用数量积解决线面、面面的垂直问题问题预测预测2012年高考仍将以解答题的形式考查空间向年高考仍将以解答题的形式考查空间向量及其运算，难度一般都不大，尤其要重视恰当量及其运算，难度一般都不大，尤其要重视恰当的空
15、间坐标系的建立和准确的计算垂直关系、的空间坐标系的建立和准确的计算垂直关系、线面角、二面角的考查仍会是重点线面角、二面角的考查仍会是重点 (本题满分本题满分13分分)(2010年高考安徽卷年高考安徽卷)如图，如图，在多面体在多面体ABCDEF中，四边形中，四边形ABCD是正方形，是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为为BC的中点的中点(1)求证：求证：FH平面平面EDB；(2)求证：求证：AC平面平面EDB；(3)求二面角求二面角BDEC的大小的大小规规范解答范解答例例例例【名师点评名师点评】本题重点考查了线面平行，线面本题重点考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的
16、判断与证明以及二面角的求法垂直，面面垂直的判断与证明以及二面角的求法本题的向量解法，计算量并不大，推理易于理本题的向量解法，计算量并不大，推理易于理解，但空间坐标系的建立并不轻松，有的考生并解，但空间坐标系的建立并不轻松，有的考生并没有证明出没有证明出FH面面ABC，就直接以，就直接以H为原点建立为原点建立了坐标系，这是不完备的另外个别考生把其中了坐标系，这是不完备的另外个别考生把其中一个平面的法向量找错得出一个平面的法向量找错得出n1，n2120时，时，没有根据图形得到没有根据图形得到BDEC的大小，正确结果，的大小，正确结果，而得出而得出120的大小的大小如图，直四棱柱如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱中，侧棱AA12，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，AB2，ABC60，P为侧棱为侧棱BB1上不同于点上不同于点B、B1的动点的动点(1)求证：求证：D1PAC；(2)当二面角当二面角D1ACP的大小为的大小为120时，求时，求BP的的长长名名师预测师预测
