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1、第第4章章 连续系系统振振振振 动动动动 理理理理 论论论论 及及及及 其其其其 应应应应 用用用用4.1 引言引言 4.2 弦振弦振动4.3 杆的杆的纵向振向振动4.4 杆的扭杆的扭转振振动 4.5 梁的横向振梁的横向振动4.6 薄板的横向振薄板的横向振动4.7 展开定理展开定理 4.8 瑞利商瑞利商4.9 响响应分析分析4.10 有限元法有限元法简介介 第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 1 引言引言力学模型的组成力学模型的组成 连续系统的力学模型由具由分布质量、分布弹性和分布阻尼元件组成。连续系统的力学模型由具由分布质量、分布弹性和分布阻尼元件组成。连续系统与离散系统的关
2、系连续系统与离散系统的关系连续系系统离散系离散系统简化、离散化化、离散化自由度自由度n 趋向于无向于无穷连续系统与离散系统的区别连续系统与离散系统的区别 连续系系统离散系离散系统自由度自由度连续系系统与离散系与离散系统是是同一物理系同一物理系统的的两个数学模型两个数学模型。描述系描述系统的的变量量有限个有限个无无穷多个多个时间时间和空和空间位置位置微分方程微分方程二二阶常微分方程常微分方程组偏微分方程偏微分方程组方方程程消消去去时间变量后量后代数方程代数方程组微分方程的微分方程的边值问题概述 任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成的，也就是说这些零任何机器的零部件都是由质量和刚度
3、连续分布的物体所组成的，也就是说这些零部件都是弹性体（连续系统部件都是弹性体（连续系统continuous system）。但是在很多情况下，为了使问题）。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此，实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板
4、、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力相应，这在实用上和理论研动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力相应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。究上都有非常重要的意义。 多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零部件）的不同分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。部件）的不同分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。 从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图（a
5、）所示，它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n个集中质量（m1、m2、mn）和n-1个弹簧（k1、k2、kn）所组成的n个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移yi(t)表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度联系分布的物体所组成，如图（b）所示。当一个零件的分段数时n时，离散系统就变成联系系统，其横坐标x也从一个离散值（x1、x2、xn）变为连续函数。因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x和时间t所表达的二元函数y(x,t)来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的
6、相互关系。 从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。动形态。 在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴、梁的振动。在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴、梁的振动。而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求
7、广义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在行星范围内，即认为弹性体的应义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在行星范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律（力应变关系服从虎克定律（Hookes law），而且是均质各向同性的。），而且是均质各向同性的。图图:多自由度系统和弹性体的动力学分析多自由度系统和弹性体的动力学分析(b)(a)第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动振动微分方程振动微分方程 由离散系由离散系统方程方程导出出将将连续的的弦弦作作离离散散系系统考考虑，即即由由无无质量量的的弦弦联接接n个离散的个离散的质量量m i 。每个。每个质量上
8、所受的力量上所受的力为F i质量量m i的受力分析如的受力分析如图。对质量量m i在在y方方向向的的受受力力和和加速度运用牛加速度运用牛顿第二定律：第二定律：或或由于弦两端固定，因此有由于弦两端固定，因此有设或或第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动振动微分方程振动微分方程 由离散系由离散系统方程方程导出出或或或两或两边除以除以D D xi当当质量数无量数无穷多多时，D D xi趋近于零，方程可写成近于零，方程可写成其中，其中，由由于于用用x替替换了了变量量xi ，因因此此对时间的的全全导数数转换成成偏偏导数数，而而增增量量比用比用对x的偏的偏导数表示。数表示。第第
9、第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动振动微分方程振动微分方程 从从连续系系统直接直接导出出 设长度度为L 、两端固定的弦上受均布、两端固定的弦上受均布载荷荷f (x, t) ，弦上，弦上x处的的张力与力与单位位长度度质量密度分量密度分别为T (x)和和r r (x)。 根据牛根据牛顿定律，任一瞬定律，任一瞬时作用在微弦段上作用在微弦段上y 方向的力与微弦段的加速度有如下关系方向的力与微弦段的加速度有如下关系 质量量为r r A dx的微段的微段dx，隔离体受力分析，隔离体受力分析图展开、消去相关的展开、消去相关的项、略去、略去dx的二次的二次项，然后两，然后两边除以除
10、以dx 得得或或第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动 特征特征值问题方程方程边界条件界条件用分离用分离变量法，量法，设：代入方程：代入方程：两两边同除以同除以Y (x) r r (x) F (t)上述方程两上述方程两边分分别依依赖于于变量量x 和和 t ，因此两，因此两边都等于常数。都等于常数。设常数常数为- w w 2：第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动 特征特征值问题从关于从关于时间的方程的方程 从关于位置从关于位置x 的方程可以确定位移的形状的方程可以确定位移的形状Y (x) ，它必，它必须在区
11、在区间0xL 满足方程及足方程及边界条件界条件Y (0) =Y (L) = 0。解得解得 F (t) 上式上式为包含未知常数包含未知常数w w 2的二的二阶常微分常微分齐次方程，非平凡解次方程，非平凡解Y (x)存在，存在，且解中有两个且解中有两个积分常数，而已知分常数，而已知边界条件只有两个。界条件只有两个。 从方程可以看出，如果从方程可以看出，如果 Y (x)是偏微分方程的解，那么是偏微分方程的解，那么a a Y (x) （ a a是任意常数）也是方程的解。是任意常数）也是方程的解。 这意味着，求解意味着，求解满足足边界条件的偏微分方程，就是要找到界条件的偏微分方程，就是要找到满足方程足方
12、程的未知常数的未知常数w w i 和和对应的函数的函数Y i (x) 。与离散系。与离散系统对应， w w i 2称称为特征特征值（即系（即系统的固有的固有圆频率平方），而率平方），而Y i (x)称称为特征函数（特征函数（ 主振型主振型）。）。第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动 特征特征值问题 同同样地，与离散系地，与离散系统对应，若特征函数，若特征函数Y i (x) 经正正则化化处理，理，则它它们关于关于质量密度和量密度和张力正交：力正交：对初始初始扰动的响的响应 与离散系与离散系统类似，利用正交的正似，利用正交的正则化特征函数集化特征函数集
13、Y i (x) （i = 1, 2, ）的）的线性性组合，可以表示合，可以表示连续系系统在初始在初始扰动下的响下的响应。 代入方程，两代入方程，两边左乘左乘Y i (x)，并，并对整个区整个区间 0, L 积分，利用特征分，利用特征函数的正交性：函数的正交性：解解为常数常数C i 和和j j i 由初始条件得到。由初始条件得到。第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动例例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的示均匀弦两端固定，弦中的张力力为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题，画出系，画出系统前前四个特征函数，并四个特征函数，并验证正交性。正交性
14、。解解 由由题意，系意，系统的的T 和和r r 为常数，因此系常数，因此系统满足如下方程：足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知Y (x)是是x的的简谐函数，一般可写函数，一般可写由由边界条件界条件Y (0) 0 可得可得B = 0, 则由由边界条件界条件Y (L) 0 可得可得由于由于A 不不为零，必有零，必有特征方程特征方程特征特征值为或或特征函数特征函数为第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动例例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的示均匀弦两端固定，弦中的张力力为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题，画出系，画出系统前前四
15、个特征函数，并四个特征函数，并验证正交性。正交性。特征函数特征函数为正交性正交性验证由正由正则化要求化要求正正则化的特征函数化的特征函数第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动例例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的示均匀弦两端固定，弦中的张力力为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题，画出系，画出系统前前四个特征函数，并四个特征函数，并验证正交性。正交性。正交性正交性验证三角函数三角函数积化和差化和差积分分第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.2 弦振动弦振动自由振动自由振动例例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的示均匀弦两端固定，
16、弦中的张力力为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题，画出系，画出系统前前四个特征函数，并四个特征函数，并验证正交性。正交性。正交性正交性验证三角函数三角函数积化和差化和差积分分第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动振动微分方程振动微分方程 从从连续系系统直接直接导出出 设长度度为L 、两端固定的杆上受均布、两端固定的杆上受均布轴向向力力f (x, t) ，杆上，杆上x处的的轴向向刚度与度与单位位长度度质量量分分别为E A (x) 和和m (x) 。 根据材料力学，任一瞬根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两作用在杆微段两端的端的轴向内力与向内力与轴
17、的的应变成正比成正比 取杆的微段取杆的微段dx，隔离体受力分析，隔离体受力分析图或或 根据牛根据牛顿定律，任一瞬定律，任一瞬时作用在杆微段上的作用在杆微段上的轴向力与杆微段的加速度有如下关系向力与杆微段的加速度有如下关系第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题方程方程边界条件界条件用分离用分离变量法，量法，设：代入方程：代入方程：两两边同除以同除以U (x) m (x) F (t)上述方程两上述方程两边分分别依依赖于于变量量x 和和 t ，因此两，因此两边都等于常数。都等于常数。设常数常数为- w w 2：第第第第4 4章章
18、章章 连续连续系系系系统统 4. 3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题从关于从关于时间的方程的方程 从关于位置从关于位置x 的方程可以确定位移的形状的方程可以确定位移的形状U (x) ，它必，它必须在区在区间0xL 满足方程及足方程及边界条件界条件U (0) =U (L) = 0。解得解得 F (t)与弦振与弦振动的特征的特征值问题作比作比较结论只要把弦振只要把弦振动特征特征值问题中的中的Y (x) 、T (x)和和r r (x)换作作U (x) 、EA (x) 和和m (x) 就得到杆作就得到杆作纵向振向振动的特征的特征值问题表达式。表达式。第第第第4 4章章章章 连
19、续连续系系系系统统 4. 3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.2 图示均匀杆两端固定，杆的拉伸示均匀杆两端固定，杆的拉伸刚度度为常常数，求解系数，求解系统的特征的特征值问题。解解 由由题意，系意，系统的的EA 和和m为常数，因此系常数，因此系统满足如下方程：足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知U (x)是是x的的简谐函数，一般可写函数，一般可写由由边界条件界条件U (0) 0 可得可得b = 0, 则由由边界条件界条件U (L) 0 可得可得由于由于a 不不为零，必有零，必有特征方程特征方程特征特征值为或或特征函数特征函数为第第第第4 4章章章
20、章 连续连续系系系系统统 4. 3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4. 3 图示均匀杆两端自由，杆的拉伸示均匀杆两端自由，杆的拉伸刚度度为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题。解解 由由题意，系意，系统的的EA 和和m为常数，因此系常数，因此系统满足如下方程：足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知U (x)是是x的的简谐函数，一般可写函数，一般可写由由 x = 0 处的的边界条件界条件可得可得a = 0, 则由由x = L 处的的边界条件可得界条件可得由于由于b 不不为零，必有零，必有特征方程特征方程特征特征值为或或特征函数特征函数为第第第
21、第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.4 图示一端固定，另一端自由均匀杆的拉伸示一端固定，另一端自由均匀杆的拉伸刚度度为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题。解解 由由题意，系意，系统的的EA 和和m为常数，因此系常数，因此系统满足如下方程：足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知U (x)是是x的的简谐函数，一般可写函数，一般可写由由边界条件界条件U (0) 0 可得可得b = 0, 则由于由于a 不不为零，必有零，必有特征方程特征方程特征特征值为或或特征函数特征函数为由由x = L 处的的边界
22、条件可得界条件可得第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题讨论 作作纵向振向振动杆的杆的边界状况、界状况、频率方程和振型函数率方程和振型函数边界状况界状况频率率振型函数振型函数两端固定两端固定两端自由两端自由一端固定一端固定一端自由一端自由第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.5 设图示推示推进轴系由系由长度度为L、单位位长度度质量量为m、拉伸、拉伸刚度度为EA的均匀杆和的均匀杆和质量量为M 的螺的螺旋旋桨组成，成，轴系的一端由推力系的一端
23、由推力轴承固定，另一端自承固定，另一端自由。求解由。求解轴系作系作纵向振向振动时系系统的特征的特征值问题。解解 由由题意，系意，系统的的EA 和和m为常数，因此系常数，因此系统满足如下方程：足如下方程：其中：其中：或或固定端的固定端的边界条件不界条件不变， U (0) 0 ，而自由端有，而自由端有：代入代入整理得整理得第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.5 设图示推示推进轴系由系由长度度为L、单位位长度度质量量为m、拉伸、拉伸刚度度为EA的均匀杆和的均匀杆和质量量为M 的螺的螺旋旋桨组成，成，轴系的一端由推力
24、系的一端由推力轴承固定，另一端承固定，另一端自由。求解自由。求解轴系作系作纵向振向振动时系系统的特征的特征值问题。对于上述超越方程，只要于上述超越方程，只要给定系定系统参数，就能得到系参数，就能得到系统的特征的特征值w w i 。特征方程特征方程由由边界条件界条件U (0) 0 可得可得b = 0, 则从方程可知从方程可知U (x)是是x的的简谐函数，一般可写函数，一般可写边界条件界条件由由x L 处的的边界条件得界条件得或或特征函数特征函数为U i 为第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 3 杆的纵向杆的纵向振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题讨论 作作纵向振向振动杆杆边界
25、条件的界条件的讨论边界状况界状况左端左端右端右端固定固定自由自由带有有弹簧簧k带有集中有集中质量量M第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.4 杆的扭转杆的扭转振动振动振动微分方程振动微分方程 从从连续系系统直接直接导出出 设长度度为L 、一端固定一端自由的杆上受均、一端固定一端自由的杆上受均布外扭矩布外扭矩M (x, t)与与轴的的转角角q q 同向，杆的扭同向，杆的扭转刚度与度与单位位长度度转动惯量分量分别为G IP (x) 和和J (x) 。 根据材料力学，任一瞬根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两作用在杆微段两端的扭端的扭转内力矩之与内力矩之与轴的剪的剪应变成正比成正比 取杆
26、的微段取杆的微段dx，隔离体受力分析，隔离体受力分析图或或 根据根据动量矩定律，任一瞬量矩定律，任一瞬时作用在杆微段作用在杆微段上的内外力矩与杆微段的角加速度有如下关系上的内外力矩与杆微段的角加速度有如下关系:第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题方程方程边界条件界条件用分离用分离变量法，量法，设：代入方程：代入方程：两两边同除以同除以Q Q (x) J (x) F (t)上述方程两上述方程两边分分别依依赖于于变量量x 和和 t ，因此两，因此两边都等于常数。都等于常数。设常数常数为- w w 2：第第第第4 4章章章章
27、 连续连续系系系系统统 4. 4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题从关于从关于时间的方程的方程 从关于位置从关于位置x 的方程可以确定位移的形状的方程可以确定位移的形状Q Q (x) ，它必，它必须在区在区间0xL 满足方程及足方程及边界条件。界条件。解得解得 F (t)与弦振与弦振动的特征的特征值问题作比作比较结论只要把弦振只要把弦振动特征特征值问题中的中的Y (x) 、T (x)和和r r (x)换作作Q Q (x) 、GIP (x) 和和J (x) 就得到杆作就得到杆作纵向振向振动的特征的特征值问题表达式。表达式。第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4.
28、 4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.6 图示一端固定，另一端自由均匀杆的扭示一端固定，另一端自由均匀杆的扭转刚度度为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题。解解 由由题意，系意，系统的的GIP和和J为常数，因此系常数，因此系统满足如下方程：足如下方程：其中：其中：且有且有从方程可知从方程可知Q Q (x)是是x的的简谐函数，一般可写函数，一般可写由由边界条件界条件Q Q (0) 0 可得可得b = 0, 则由于由于a 不不为零，必有零，必有特征方程特征方程特征特征值为或或特征函数特征函数为由由x = L 处的的边界条件可得界条件可得第第第第4 4章章章
29、章 连续连续系系系系统统 4. 4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.7 设图示示轴系由系由长度度为L、单位位长度度转动惯量量为J、扭、扭转刚度度为GIP的均匀杆和的均匀杆和转动惯量量为J1和和J1的的刚性薄性薄圆盘组成，整个成，整个轴系在扭系在扭转角方向无角方向无约束。束。求解求解轴系作扭系作扭转振振动时系系统的特征的特征值问题。解解 由由题意，系意，系统的的GIP和和J为常数，因此系常数，因此系统满足如下方程：足如下方程：其中：其中：或或两两边的的边界条件界条件为：第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振
30、动 特征特征值问题代入代入整理得整理得例例 4.7边界条件界条件利用利用第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.7分离分离变量后的方程量后的方程从方程可知从方程可知Q Q (x)是是x的的简谐函数，一般可写函数，一般可写整理：整理：或：或：频率方程：率方程：设：频率率为：振型振型为：由由边界条界条可得：可得：第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 4 杆的扭转杆的扭转振动振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.7 讨论 1频率率为：频率方程率方程为：即：即：相当于两端自由的相当于两端自由的圆轴作
31、自由振作自由振动。振型振型为：讨论 2 J 1和和J2 很大很大相当于忽略相当于忽略轴质量的两自由度系量的两自由度系统的非零的非零频率。率。例例4.8 如图所示的一端固定，一端带有一个圆盘的圆轴，试计算轴系扭转的固有如图所示的一端固定，一端带有一个圆盘的圆轴，试计算轴系扭转的固有频率和主振型。频率和主振型。边界条件是，在固定端转角等于零，边界条件是，在固定端转角等于零，带圆盘这一端，则要求轴受到的扭带圆盘这一端，则要求轴受到的扭矩矩M等于转子的惯性力矩。用数学等于转子的惯性力矩。用数学式表达如下：式表达如下：解：扭转解为解：扭转解为:代入初始条件得代入初始条件得:A=0，即即若设圆轴对轴线的转
32、动惯量若设圆轴对轴线的转动惯量I为，则有：为，则有：代入得：代入得： 即图示系统的频率方程。即图示系统的频率方程。 令令 得得 作出以下两条曲线：作出以下两条曲线： 两条曲线的交点两条曲线的交点 即可求出系统的第阶固有频率即可求出系统的第阶固有频率 。 根据正切函数的性质，我们可以在横坐标上每相隔一个根据正切函数的性质，我们可以在横坐标上每相隔一个值就可以作出一条的值就可以作出一条的曲线曲线 。因此可以得到曲线。因此可以得到曲线y1与与y2的许多交点的许多交点 、 、 ，所以即求，所以即求出系统的各阶固有频率。出系统的各阶固有频率。对应于各阶固有频率对应于各阶固有频率 就可以求出系统的各阶主振
33、型：就可以求出系统的各阶主振型：4 41 1 设图示轴系由长度为设图示轴系由长度为L、单位长度转动惯量为、单位长度转动惯量为J、扭转刚度为扭转刚度为GIP的均匀杆和转动惯量为的均匀杆和转动惯量为J2的刚性薄圆盘的刚性薄圆盘组成，轴系一端固定。求解轴系作扭转振动时系统的组成，轴系一端固定。求解轴系作扭转振动时系统的特征值问题。特征值问题。第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 习题习题第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动振动微分方程振动微分方程 从从连续系系统直接直接导出出 设长度度为L 的的细长梁（梁的梁（梁的长度与截面高度比大于度与截面高度比
34、大于10）上受）上受y方向的均布方向的均布载荷荷f (x, t) ，梁的弯曲，梁的弯曲刚度与度与单位位长度度质量分量分别为E I (x) 和和m (x) 。 取梁的微段取梁的微段dx，作隔离体受力分析，作隔离体受力分析图 根据牛根据牛顿第二定律，任一瞬第二定律，任一瞬时作用在梁微段上作用在梁微段上的剪力和外力与梁微段的加速度有如下关系的剪力和外力与梁微段的加速度有如下关系根据梁微段的力矩平衡，有如下关系根据梁微段的力矩平衡，有如下关系当梁的截面尺寸与当梁的截面尺寸与长度相比度相比较小小时，根据材料力学，根据材料力学，梁的弯矩与梁的弯矩与变形的关系形的关系为忽略忽略dx的二次的二次项：代入上述力
35、平衡方程，得代入上述力平衡方程，得第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动振动微分方程振动微分方程 从从连续系系统直接直接导出出把弯矩把弯矩M与位移与位移y 的关系代入方程，得的关系代入方程，得 梁的横向振梁的横向振动在在0至至L的区的区间应满足上述足上述Euler-Bernoulli梁方程梁方程（包含（包含对位置的四位置的四阶导数），在数），在边界界应满足一定的足一定的边界条件。界条件。常常见的的边界条件有：界条件有：固支固支铰支支自由自由梁的运动方程说明：梁的运动方程说明： 梁的横向振梁的横向振动是指是指细长杆作垂直杆作垂直轴线方向的振方向的振动。在
36、分析。在分析这种振种振动时，作出以下几点假，作出以下几点假设： （1）梁的各截面的中心主）梁的各截面的中心主轴在同一平面内，且在次平面内作横向振在同一平面内，且在次平面内作横向振动。 （2）梁的横截面尺寸与其）梁的横截面尺寸与其长度之比度之比较小，可忽略小，可忽略转动惯量和剪切量和剪切变形形的影响。的影响。 （3）梁的横向振）梁的横向振动符合小符合小挠度平面弯曲的假度平面弯曲的假设，即横向振，即横向振动的振幅很的振幅很小，在小，在线性范性范围以内。以内。 这种只考种只考虑由弯曲引起的由弯曲引起的变形，而不形，而不计由剪切引起的由剪切引起的变形及形及转动惯量量的影响的梁的弯曲振的影响的梁的弯曲振
37、动的力学模型，称的力学模型，称为欧拉伯努利梁（欧拉伯努利梁（Eular-Bernoulli beam）。）。 第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动振动微分方程振动微分方程 旋旋转惯量与剪切量与剪切变形的影响形的影响 设长度度为L 的等截面梁上受的等截面梁上受y方向的均布方向的均布载荷荷f (x, t) ，梁的弯曲梁的弯曲刚度、剪切模量、截面度、剪切模量、截面积和和质量密度分量密度分别为E I 、G、A和和r r 。 当梁被横截面当梁被横截面细分成分成较短的部分短的部分时，旋，旋转惯量与剪切量与剪切变形形对高高频振型的影响必振型的影响必须考考虑。取梁取
38、梁的微段的微段dx，作隔离体受力分析，作隔离体受力分析图。 根据根据DAlembert原理，忽略原理，忽略dx的二次的二次项有如下有如下关系：关系：挠度曲度曲线的斜率是剪力与弯矩共同作用的的斜率是剪力与弯矩共同作用的结果，即：果，即：式中：式中：y y为与截面形状有关的因子。与截面形状有关的因子。第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动振动微分方程振动微分方程 旋旋转惯量与剪切量与剪切变形的影响形的影响将上述关系将上述关系综合并整理得：合并整理得：忽略剪切忽略剪切变形，得到形，得到仅考考虑旋旋转惯量的方程：量的方程：系系统作自由振作自由振动时：Timos
39、henko梁振梁振动方程方程第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征特征值问题对细长梁，方程梁，方程为：设：两两边同除以同除以Y (x) m (x) F (t)上述方程两上述方程两边分分别依依赖于于变量量x 和和 t ，因此两，因此两边都等于常数。都等于常数。设常数常数为- w w 2：特征特征值问题为：第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征特征值问题解：解：由由题意特征意特征值问题为：例例 4.9 图示均匀示均匀细长梁两端固定，其弯曲梁两端固定，其弯曲刚度度EI为常数
40、，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题。其中，其中，方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：对固支的梁，固支的梁，边界条件有：界条件有：由四个由四个边界条件得：界条件得：消去消去a、 b、c、 d、 ，可，可得：得：特征方程特征方程特征特征值由数由数值解解获得得其中其中特征函数特征函数为第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征特征值问题解：解：由由题意特征意特征值问题为：例例 4.10 图示均匀示均匀细长悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲臂梁一端固定、一端自由，其弯曲刚度度EI为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题。其中，其
41、中，方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：对悬臂梁，臂梁，边界条件有：界条件有：由由x=0处的的边界条件得：界条件得：则Y(x )可改写可改写为：由由x=L处的的边界条件得：界条件得：a和和b有非零解的充要条件有非零解的充要条件为：整理得整理得特征方程特征方程：从数从数值解得到特征解得到特征值：第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征特征值问题例例 4.10 图示均匀示均匀悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲臂梁一端固定、一端自由，其弯曲刚度度EI为常数，求解常数，求解系系统的特征的特征值问题。特征向量特征向量为：第第第第4 4章章章
42、章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征特征值问题解：解：由由题意特征意特征值问题为：例例 4.11 图示均匀示均匀细长梁两端梁两端铰支，其弯曲支，其弯曲刚度度EI为常数，求解系常数，求解系统的特征的特征值问题。其中，其中，方程的解有以下形式：方程的解有以下形式：对铰支的梁，支的梁，边界条件有：界条件有：由由x=0处的的边界条件得：界条件得：特征方程特征方程：则特征特征值为正正则化的特征函数化的特征函数为由由x=L处的的边界条件得：界条件得：第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征特征值问题
43、均匀梁的均匀梁的频率方程、特征函数和特征率方程、特征函数和特征值边界条件界条件频率方程、特征函数率方程、特征函数第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征特征值问题均匀梁的均匀梁的频率方程、特征函数和特征率方程、特征函数和特征值边界条件界条件频率方程、特征函数率方程、特征函数第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动自由振动自由振动 特征特征值问题均匀梁的均匀梁的频率方程、特征函数和特征率方程、特征函数和特征值边界条件界条件频率方程、特征函数率方程、特征函数第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系
44、统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动连续梁的振动连续梁的振动图示任意相示任意相邻两跨两跨连续梁，假定每跨都有均布梁，假定每跨都有均布质量与量与刚度。度。对任意跨任意跨 i, 可利用均匀可利用均匀铰支梁支梁的解写出其振型函数：的解写出其振型函数：其其对位置的一位置的一阶和二和二阶导数数为：边界条件界条件为：由上述由上述边界条件得：界条件得：第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动连续梁的振动连续梁的振动得：得：将其中如下的两式相加减并代入式将其中如下的两式相加减并代入式或或则其中其中第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁
45、的横向振动将式将式 的下的下标增加增加1：连续梁的振动连续梁的振动代入代入得得或或由由边界条件界条件 和和 得得第第第第4 4章章章章 连续连续系系系系统统 4. 5 梁的横向振动梁的横向振动连续梁的振动连续梁的振动将式将式 的下的下标减减1或加或加1，代入下式：，代入下式：得到得到动力三弯矩方程：力三弯矩方程：当构件由相同的材料制成，且各跨截面当构件由相同的材料制成，且各跨截面积相等，相等，则动力三弯矩力三弯矩方程可方程可简化成：化成：梁的横向受迫振动梁的横向受迫振动 研究梁的受迫振研究梁的受迫振动，关，关键在于求其外界激振力作用下在于求其外界激振力作用下的的动力响力响应，而求，而求弹性体的性体的动力响力响应也可以用模也可以用模态分析法，分析法，这是因是因为弹性体也存在主振型正交的性体也存在主振型正交的这一特性。但在一特性。但在弹性性体中主振型正交性的表达形式却与多自由度相同有所不同。体中主振型正交性的表达形式却与多自由度相同有所不同。下面我下面我们就先来研究就先来研究弹性体主振型的正交性，然后介性体主振型的正交性，然后介绍用用模模态分析法来求梁的分析法来求梁的动力响力响应的方法。的方法。
