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1、第四节第四节 多元复合函数的求导法那么多元复合函数的求导法那么一、一、 链锁法那么法那么二、二、 全微分的方式不全微分的方式不变性性一、链锁法那么引入：复合函数怎样求它的偏导数？问：假设上面三个函数都是详细函数，那么， 它们的复合函数也是详细函数，当然， 我们会求它的偏导数。但是，假设上面三个函数中至少有一个是笼统函数，那么，它们的复合函数也是笼统函数， 它的偏导数又怎样求？这是一个新问题， 要求出这样一个函数的偏导数，还需求新的公式。 这就是下面要研讨的多元函数的求导法那么或链锁法那么。定理1 设函数 及 都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具有延续偏导数，那么复合函数 在
2、点t可导 ，且有1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形来讨论：将上式两边同时除以 ，得证：这时的对应增量为获得增量由第三节定理2 的证明过程，我们可得到由此，函数z=f(u,v)相应地其中，令取极限，得，即即= 假设函数 都在点 t 可导，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w) 具有延续偏导数，那么复合函数 在点 t 的导数存在，且有注2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 假设函数 及 在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具有延续偏导数，那么复合函数 在点(x,y)的两个偏导数存在，且有知
3、对y的偏导数，在点(x,y)具有对x及函数 z=f (u,v) 在对应点 (u , v) 具有延续偏导数，如今，将 y 取定为常数， 那么由定理1得+得复合函数对 x 的偏导数存在，且有同理，将 x 取定为常数，那么可得4式.此即3式. 为了掌握复合函数的求导法那么，可画复合函数构造表示图，由表示图可清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公式(3)、(4)的表示图如下：zuvxy在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用以下公式计算： 设 都在点(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)有延续偏导数，那么复合函数注(1)求以下
4、函数的复合函数的导数或偏导数(3)(2)解 (1)+=+=+(2)+=+=(3)+一样, 但所表示的意思不同! 必需加以区别!对自变量 x的偏导数对中间变量 x的偏导数为了防止混淆,普通地,将对中间变量的偏导数记为将对自变量的偏导数记为例如上面的(3)可写为: +=+=+留意： 这里 与 是不同的， 是把复合函数 中的y看作常数而对x的导数, 是把 f(u,x,y) 中的 u 及y看作常数而对x的导数. 与 也有类似的区别.由复合函数求导法那么得解：=+=+例2解：+=+=+=+=例3解：+=+解：+=+解注例6 设 ，f 具有二阶延续偏导数,求这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数， 下标
5、2表示对第二个中间变量v求偏导数.解同理有因所给函数由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz复合而成，所以根据复合函数求导法那么，有 = =+根据复合函数求导法那么，有+=+=+仍是 x, y, z的复合函数，+=+()+=+例7 设u=f(x,y)的一切二阶偏导数延续，把以下表达式转换为极坐标系中方式.解=由1式得这样，可看作由复合而成.得两式平方后相加，得根据复合函数求导法那么，得=+=再求二阶偏导数，得=+=+同理可得两式相加，得二、全微分方式不变性: 设函数 具有延续偏导数，那么有全微分假设u、v又是x、y的函数, ，且这两个函数也具有延续偏导数, 那么复合函数的全微分为所谓全微分的方式不变性是指: 无论z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v的函数，它的全微分方式是一样的，这个性质叫做全微分的方式不变性.=+证=+例8 用全微分方式不变性解下题:解: 将du、dv代入，得即作作 业业P822, 4, 6, 8, 9, 11, 12(1), 13.
