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1、河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology机械工程控制基础机械工程控制基础第第2 2章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换-拉氏反变换拉氏反变换1河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换从从Laplace变换变换F(s)求时间函数求时间函数f(t)的反变换过程称为的反变换过程称为Laplace反变换。反变换。Laplace 反变换的符号是反变换的符号是 可以通过下列反演可以通过下列反演积分，从积分，从 F(s) 求得求得 Laplace 反变
2、换反变换计算反演积分相当复杂，在控制工程中，不推荐采用这种计算反演积分相当复杂，在控制工程中，不推荐采用这种方法求常用函数的拉普拉斯反变换。方法求常用函数的拉普拉斯反变换。2河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换已知象函数已知象函数F(s)，求原函数，求原函数f(t)的方法有：的方法有：查表法：查表法：直接在拉氏变换表中查出相应的原函数，这个适直接在拉氏变换表中查出相应的原函数，这个适用于比较简单的象函数。用于比较简单的象函数。有理函数法：有理函数法：根据拉氏反变换公式求解，由于公式中的被根据
3、拉氏反变换公式求解，由于公式中的被积函数是一个复变函数，需要复变函数中的留数定理求解，积函数是一个复变函数，需要复变函数中的留数定理求解，本节不做介绍。本节不做介绍。部分分式法：部分分式法：通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，总的原函数既可求到。总的原函数既可求到。3河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换其中其中A(s)和和B(s)是是s的多项式，的多
4、项式，p1 、p2、pn和和z1 、z2、zm分别分别F(s)的极点和零点。在是的极点和零点。在是F(s)=B(s)/A(s)展开成部分分式的形式时，展开成部分分式的形式时， A(s)中中s的最高阶次应大于的最高阶次应大于B(s)中中s的最高阶次。如果情况不是这样，的最高阶次。如果情况不是这样，则必须用分母则必须用分母A(s)去除分子去除分子B(s) ，从而得到一个，从而得到一个 s 的多项式与余式之的多项式与余式之和，该余式仍是和，该余式仍是 s 的多项式之比，但其分子的阶次低于分母的阶次。的多项式之比，但其分子的阶次低于分母的阶次。在分析控制系统问题时，在分析控制系统问题时， f(t)的拉
5、氏变换的拉氏变换F(s) ，常以下列形式出现，常以下列形式出现1.1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法求拉普拉斯反变换的部分分式展开法4河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法的优点是当部分分式展开法的优点是当F(s)展开成部分分式形式后，它的每一展开成部分分式形式后，它的每一个单项都是个单项都是s的非常简单的函数。但是，在应用部分分式展开法求的非常简单的函数。但是，在应用部分分式展开法求F(s)=B(s)/A(s)的拉普拉斯反变换时，的拉普拉斯反变换时， 必须先求出分母多项式必须
6、先求出分母多项式A(s)的的根。就是在对分母多项式进行因式分解之前，不能应用这种方法。根。就是在对分母多项式进行因式分解之前，不能应用这种方法。如果如果F(s)被分解成下列分量被分解成下列分量1.1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法求拉普拉斯反变换的部分分式展开法并且并且 的拉普拉斯变换可以容易得到，则的拉普拉斯变换可以容易得到，则说明说明：对于分母包含较高阶次多项式的复杂函数，进行部分分式：对于分母包含较高阶次多项式的复杂函数，进行部分分式展开可能会相当费时间。此时，建议采用展开可能会相当费时间。此时，建议采用MATLAB。5河南科技大学河南科技大学Henan University of S
7、cience & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式中p1 、p2、pn ，是A(s)=0的根，也是F(s)的极点，采用部分分式法求解F(s)的拉氏反变换时，按照这些根的性质，可分为以下两种情况来研究。1.1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法求拉普拉斯反变换的部分分式展开法F(s)只有不同极点的情况只有不同极点的情况F(s)有多重极点的情况有多重极点的情况6河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换如果如果A(s)的根是各不相同的实数，可将的根是各不相同的实数，可将F(s)
8、分解为分解为2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开为为 A(s)A(s)的的n n个不相等的单根个不相等的单根。7河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换从而可求得从而可求得F(s)的原函数为的原函数为2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开求得各个系数后，求得各个系数后，F(s)可用下式表示可用下式表示8河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technolog
9、y2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换解：首先将F(s)写成部分分式的形式，可得2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开9河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换则2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开10河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology注意：注意：当当F(s)的某个极点等于零，或为共轭复数时，的某个极点等于零，或为共轭复数时，同样可用
10、上述方法。同样可用上述方法。 由于由于f(t)是一个实函数，若是一个实函数，若 p1、p2 是一对共轭是一对共轭复数极点，那么相应的系数复数极点，那么相应的系数 A1 和和A2 也是共轭复数，也是共轭复数，只要求出只要求出A1和和A2中的一个值，另一值即可得。中的一个值，另一值即可得。2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开11河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换求求F(s)的拉氏反变换的拉氏反变换2.2.只包含
11、不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开12河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换所以所以2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开13河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例：求下列函数的拉氏反变换例：求下列函数的拉氏反变换如果如果A(s)的根具有共轭复根，为了方便，可不必将的根具有共轭复根，为了方便，可不必将F(s)展
12、成通常的展成通常的部分分式，而是将其展成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和部分分式，而是将其展成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开分母多项式可以进行下列因式分解：分母多项式可以进行下列因式分解：F(s)有一对共轭极点。注意到有一对共轭极点。注意到并且参考并且参考 和和 的拉氏变换的拉氏变换14河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换给定的给定的F(s)可以写成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和可以写成阻尼正弦函数与阻尼余弦函
13、数之和2.2.只包含不同极点的只包含不同极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开由此得：由此得：15河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3.3.包含多重极点的包含多重极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开若 A(s)=(s p1)n, 令 n=3F F(s)(s)可展开成可展开成16河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3.3.包含多重极点的包含多重极点的F(s)F(s
14、)的部分分式展开的部分分式展开求得所有系数后求得所有系数后，F F(s)(s)的反变换为的反变换为17河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换解：将解：将F(s)F(s)写成部分分式形式写成部分分式形式3.3.包含多重极点的包含多重极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开求下列函数的拉氏反变换求下列函数的拉氏反变换18河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换3.3.包含多重极点的包含多重
15、极点的F(s)F(s)的部分分式展开的部分分式展开19河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology20应用拉氏变换性质求反变换应用拉氏变换性质求反变换解：解：应用时移性质：应用时移性质：例例 ：已知：已知 ，求拉氏反变换，求拉氏反变换20河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology21应用拉氏变换性质求反变换应用拉氏变换性质求反变换已知已知 ，求，求 拉氏反变换拉氏反变换 f (t)。解：解：应用时移性质：应用时移性质：21河南科技大学河南科技大学Henan Universi
16、ty of Science & Technology2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程 应用拉普拉斯变换法求解线性定常微分方程是工程实践中行之有效的简单方法，采用以下步骤：1考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为s域的代数方程；2求解代数方程，得到微分方程在s域的解。3对s域的解作拉氏反变换，得到时域的解。22河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology例：解微分方程：解：对方程进行拉氏变换得：代入初始条件，解出代数方程为：拉氏反变换，得方程的解：2.6 拉普拉斯变换解线性定常微
17、分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程23河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology例 求图示机械系统，在单位脉冲力质量m的运动规律。作用下，解：系统的微分方程为：对方程进行拉氏变换得：初始条件：解得2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程24河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology例：现有单自由度机械振动系统如图所示。例：现有单自由度机械振动系统如图所示。已知条件为已知条件为：质量质量:弹簧刚度弹簧刚度粘滞阻尼系数粘滞阻尼系数外作用力外作用力
18、f(t)为阶跃函数，恒值为为阶跃函数，恒值为8kg；质量质量M的位移的位移x(t)（相对平衡位置）的初始位移（相对平衡位置）的初始位移初始速度初始速度求解此系统的输出响应求解此系统的输出响应x(t)=?2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程25河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology对上式两端进行拉氏变换，得对上式两端进行拉氏变换，得：整理后得整理后得：解：根据牛顿定律，此机解：根据牛顿定律，此机械系统的运动方程式为：械系统的运动方程式为：2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微
19、分方程26河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology所以所以X(s)的部分分式展开式为的部分分式展开式为求系数求系数 K1和和A1，B1：代入已知参数及初始条件，且注意代入已知参数及初始条件，且注意2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程27河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology拉氏反变换式为拉氏反变换式为就得到了此单自由度机械振动系统运动方程式的解，即系统就得到了此单自由度机械振动系统运动方程式的解，即系统的输出动态响应的输出动态响应。2.6 拉普拉斯变换解线性定常微分方程拉普拉斯变换解线性定常微分方程28河南科技大学河南科技大学Henan University of Science & Technology29
