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1、8.2猜想与证明中考数学中考数学 (河北专用)一、与尺规作图有关的证明一、与尺规作图有关的证明(2016江苏盐城,23,10分)如图,已知ABC中,ABC=90.(1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母).作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O;连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB;连接DA、DC.(2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.好题精练解析解析(1)如图所示.(2)四边形ABCD是矩形.理由:RtABC中,ABC=90,BO是AC边上的中线,BO=AC,AO=CO,又BO=DO,AO=CO=BO=DO,四边形ABCD是矩形.二、与图形平移、
2、轴对称有关的证明二、与图形平移、轴对称有关的证明(2015山东东营,24,10分)如图,两个全等的ABC和DEF重叠在一起,固定ABC,将DEF进行如下变换:(1)如图1,DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF、AD、BD,请直接写出SABC与S四边形AFBD的关系;(2)如图2,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么ABC应满足什么条件?请给出证明;(3)在(2)的条件下,将DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你在图3的位置画出图形,并求出sinCGF的值.图3解析解析(1)SABC=S四边形AFBD.(2)ABC为等腰直
3、角三角形,即AB=AC,BAC=90.理由如下:F为BC的中点,CF=BF.CF=AD,AD=BF.又ADBF,四边形AFBD为平行四边形.AB=AC,F为BC的中点,AFBC,平行四边形AFBD为矩形.BAC=90,F为BC的中点,AF=BC=BF,四边形AFBD为正方形.(3)正确画出图形如图所示.由(2)知,ABC为等腰直角三角形,AFBC.设CF=k,k0,则GF=EF=CB=2k.由勾股定理,得CG=k.sinCGF=.三、与图形旋转有关的证明三、与图形旋转有关的证明(2016山东日照,18,9分)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点,且EAF=45,将ADF绕点A顺时
4、针旋转90后,得到ABQ,连接EQ,求证:(1)EA是QED的平分线;(2)EF2=BE2+DF2.证明证明(1)将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ,QB=DF,AQ=AF,QAF=90,EAF=45,QAE=45,在AQE和AFE中,AQEAFE(SAS),QEA=FEA,即EA是QED的平分线.(2)AQEAFE,QE=EF,在RtQBE中,QB2+BE2=QE2,则EF2=BE2+DF2.一、与尺规作图有关的证明一、与尺规作图有关的证明(2014广东广州,23,12分)如图,ABC中,AB=AC=4,cosC=.(1)动手操作:利用尺规作以AC为直径的O,并标出O与AB的交点D,
5、与BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)综合应用:在你所作的图中,求证:=;求点D到BC的距离.教师专用题组教师专用题组解析解析(1)如图所示即为所求.(2)证明:如图,连接AE,AC为直径,AEC=90,又AB=AC,BAE=CAE,=.如图,连接CD,过点D作DFBC于F,AB=AC=4,cosACB=,EC=ACcosACB=4,BC=2CE=8,AE=8.AC为直径,ADC=90,SABC=ABCD,又AEC=90,SABC=AEBC,ABCD=AEBC.CD=,AD=,BD=AB-AD=.SDBC=SDBC,BDCD=DFBC,DF=,点D到BC的距离为.二、与图形平移、轴对
6、称有关的证明二、与图形平移、轴对称有关的证明(2015北京,28,7分)在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移ADP,使点D移动到点C,得到BCQ,过点Q作QHBD于点H,连接AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图1,依题意补全图1;判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上,且AHQ=152,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)图1备用图解析解析(1)补全图形,如图1所示.图1AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AHPH.证明:如图1.由平移可知,PQ=DC.
7、四边形ABCD是正方形,AD=DC,ADB=BDQ=45.AD=PQ.QHBD,HQD=HDQ=45.HD=HQ,ADB=DQH.ADHPQH.AH=PH,AHD=PHQ.AHD+DHP=PHQ+DHP.即AHP=DHQ=90.AHPH.(2)求解思路如下:a.由AHQ=152画出图形,如图2所示;b.与同理,可证AHDPHQ,可得AH=PH;c.由AHP=AHD-PHD=PHQ-PHD=90,可得AHP是等腰直角三角形;d.由AHQ=152,BHQ=90,可求BHA,DAH,PAD的度数;e.在RtADP中,由PAD的度数和AD的长,可求DP的长.图2三、与图形旋转有关的证明三、与图形旋转有
8、关的证明1.(2018江西,22,9分)在菱形ABCD中,ABC=60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=2,BE=2,求四边形ADPE的面积.图4解析解析(1)相等(或BP=CE);垂直(或CEAD).(2)成立.证明:如图,连
9、接AC,交BD于点O.当点P在线段OD上时,四边形ABCD为菱形,ABC=60,AB=BC,ABD=30,ABC为等边三角形,BAC=60,AB=AC.APE为等边三角形,AP=AE,PAE=60.BAC+PAC=PAE+PAC.即BAP=CAE.在APB与AEC中,ABPACE,BP=CE,ACE=ABP=30.ACD为等边三角形,ACE=DCE=30,CEAD.当点P在BD延长线上时,证明方法同第一种情况.(3)如图,连接AC,CE,设AD与CE交于点M,由(2)可得BAPCAE,BP=CE,CEAD,ACE=ABP=30.ABC为等边三角形,ACB=60,BCE=90.BC=AB=2,B
10、E=2,CE=8.BP=8.ADC为等边三角形,且边长为2,AM=,CM=3.EM=8-3=5.AE=2.S等边AEP=(2)2=7.设AC与BD交于点O,菱形ABCD的边长为2,BD=6,AO=,DP=8-6=2.SADP=2=.S四边形ADPE=7+=8.思路分析思路分析(1)根据菱形ABCD中,ABC=60,可得ABC和ACD为等边三角形,ABP=30,由于APE为等边三角形,可利用SAS证得BAPCAE,进而得出PB=EC,ABP=ACE=30,进一步得出DCE=ACE=30,依据等边三角形的性质可得CEAD;(2)结论仍然成立,证明方法同上;(3)首先根据AB=BC=2,BE=2,求
11、出CE=BP=8,进而求出EM,AE的长,最后分别求出DAP和PAE的面积,即可得解.方法指导方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,类比探究的第一问往往是特殊图形,解决的方法可能不止一种,但总有一种方法是可以照搬到后面几问,其中所涉及的三角形全等或相似,要寻找的等量关系或添加的辅助线均类似.同时,要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.2.(2016湖北荆门,19,9分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CF,连接EF.(1)补充完成图形;(2)若EFCD,求证:BDC=90.解
12、析解析(1)补全图形,如图所示.(2)证明:由旋转的性质得DCF=90,DCE+ECF=90,ACB=90,DCE+BCD=90,ECF=BCD,EFDC,EFC+DCF=180,EFC=90,在BDC和EFC中,BDCEFC(SAS),BDC=EFC=90.3.(2015辽宁本溪,25,12分)如图1,在ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为(0”“=”或“”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是;(2)当BAC=120时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若CDP=60,求证:BD-CD=AD;(3)将图3中的BP继续旋转,当30180时,点D是
13、直线BP上一点(点P不在线段BD上),若CDP=120,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).解析解析(1)如图,CDP=120,CDB=60,BAC=60,CDB=BAC=60,A、B、C、D四点共圆,ACD=ABD.在BP上截取BE=CD,连接AE.在DCA和EBA中,DCAEBA(SAS),AD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=60,DAE=60,ADE是等边三角形,DE=AD.BD=BE+DE,BD=CD+AD.(2)证明:如图,设AC与BD相交于点O,在BP上截取BE=CD,连接AE,过A作AFBD于F.CDP=60,CDB=120.CAB=120,
14、CDB=CAB,DOC=AOB,DOCAOB,DCA=EBA.在DCA和EBA中,DCAEBA(SAS),AD=AE,DAC=EAB.CAB=CAE+EAB=120,DAE=120,ADE=AED=30.在RtADF中,ADF=30,DF=AD,DE=2DF=AD,BD=DE+BE=AD+CD,BD-CD=AD.(3)BD+CD=AD.4.(2014辽宁抚顺,25,12分)已知:RtABCRtABC,ACB=ACB=90,ABC=ABC=60,RtABC可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC和AA相交于点D.(1)如图1所示,当点C在AB边上时,判断线段AD和线段AD之间的数量关系,并证明你的结论
15、;(2)将RtABC由图1的位置旋转到图2的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)将RtABC由图1的位置按顺时针方向旋转角(0120),当A、C、A三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.解析解析(1)AD=AD.证明:RtABCRtABC,BC=BC,BA=BA.ABC=ABC=60,BCC和BAA都是等边三角形.BAA=BCC=60.ACB=90,DAC=30.ACD=BCC=60,ADC=60.DCA=30.DAC=DCA,DCA=DAC.AD=DC,DC=DA.AD=AD.(2)AD=AD.证明:连接BD,由旋转可得:BC=BC,BA=BA,CBC=ABA,=.BCCBAA.BCC=BAA.BOC=DOA,BOCDOA.ADO=OBC,=.BOD=COA,BODCOA.BDO=CAO.ACB=90,CAB+ABC=90.BDO+ADO=90,即ADB=90.BA=BA,ADB=90,AD=AD.(3)=60.当A、C、A三点在一条直线上时,有ACB=180-ACB=90.在RtACB和RtACB中, RtACBRtACB(HL).ABC=ABC=60.当A、C、A三点在一条直线上时,旋转角的度数为60.
