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1、 定定理理 1 设函数f(x)在(a b)内有(n1)的阶导数,则对(a b) 中任意取定的一点x0及任意的x(a, b) 有其中(x 介于x0与x之间)4-4 关于泰勒公式的余项关于泰勒公式的余项而Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 注意在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为带皮皮亚诺亚诺(Peano) 余项余项 的泰勒公式.上页下页铃结束返回首页证证由柯西中值定理上页下页铃结束返回首页故得到即上页下页铃结束返回首页特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差误差估计泰勒公式的误差有下列估计
2、公式：上页下页铃结束返回首页则马克劳林为：马克劳林为：在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式初等函数带拉格朗日余项的几个泰勒公式:习题 4-3 1. (2),(5);2.(1);3.(1);4.(1),(2);6.上页下页铃结束返回首页已知补例补例 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过解解:令 x = 1 , 得由于欲使由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此的麦克劳林公式为上页下页铃结束返回首页解解其误差例例1上页下页铃结束返回首页需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.上页下页铃结束返回首页补例补例 用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解解近似公式的误差令解得即当时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .
