《新课标版高考数学大第二章函数与基本初等函数24函数的奇偶性和周期性课件文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课标版高考数学大第二章函数与基本初等函数24函数的奇偶性和周期性课件文（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第4课时课时 函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性 20162016 考纲下载考纲下载 1了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性 2掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题 请注意 函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度 课前自助餐课前自助餐 奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数 f(x)，其定义域关于原点对称： (1)如果对于函数定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就是奇函
2、数； (2)如果对于函数定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就是偶函数； (3)如果一个函数是奇函数 (或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性 证明函数奇偶性的方法步骤 (1)确定函数定义域关于原点对称； (2)判定 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)，从而证得函数是奇(偶)函数 奇偶函数的性质 (1)奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称； (2)若奇函数 f(x)在 x0 处有意义，则 f(0)0； (3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调， 则其单调性一致； 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相反 (4)若
3、函数 f(x)为偶函数，则 f(x)f(|x|)，反之也成立 一些重要类型的奇偶函数 (1)函数 f(x)a a为偶函数， 函数 f(x)a a为奇函数； a aa 1(2)函数 f(x)xx2x(a0且 a1)为奇函数； a aa 11x(3)函数 f(x)loga为奇函数； 1x(4)函数 f(x)loga(x x21)为奇函数 xxxxxx2x周期函数 若 f(x)对于定义域中任意 x 均有 f(xT)f(x)(T 为不等于 0的常数)，则 f(x)为周期函数 函数的对称性 若 f(x)对于定义域中任意 x，均有 f(x)f(2ax)，或 f(ax)f(ax)，则函数 f(x)关于 xa
4、对称 1判断下列说法是否正确 (打“”或“”) (1)“ab0”是“函数 f(x)在区间a，b(ab)上具有奇偶性”的必要条件 (2)若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)0. (3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图像关于直线 xa对称 (4)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图像关于点(b，0)中心对称 (5)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，若在 (，0)上是减函数，则在(0，)上是增函数 (6)若 T 为 yf(x)的一周期，那么 nT(nZ)是函数 f(x)的周期 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 (课本改编题
5、)下列函数中， 所有奇函数的序号是_ f(x)2x43x2； f(x)x32x； x 13f(x)； f(x)x 1. x 2答案 3(2015 北京文)下列函数中为偶函数的是( ) Ayx sinx Byx cosx Cy|lnx| Dy2 22x答案 B 解析 A 中函数为奇函数， B 中函数为偶函数， C 与 D 中函数均为非奇非偶函数，故选 B. 4若 f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数 a_ 答案 4 解析 f(x)x2(a4)x4a.因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)x2(4a)x4ax2(a4)x4a，a44a，a4. 5(2016 衡水调研卷)已知定义在 R 上的函数
6、 f(x)满足 f(x)3f(x2)，且 f(3)3，则 f(2 016)_ 答案 3 3解析 f(x)f(x2)， 333f(x3)f(x ) f(x )f(x) 222f(x)是以 3 为周期的周期函数 则 f(2 016)f(67133)f(3)3. 授人以渔授人以渔 ? 题型一 判断函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性，并证明 (1)f(x)x x； (2)f(x)x3x1； (3)f(x)x |x|1，x1，4； (4)f(x)|x1|x1|； 1x(5)f(x)； |x2|2(6)f(x)(x1) 3221x，x(1，1) 1x 【解析】 (3)由于 f(x)x |x|1，x
7、1，4的定义域不是关于原点对称的区间，因此， f(x)是非奇非偶函数 (4)函数的定义域 x(，)，关于原点对称 f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)， f(x)|x1|x1|是奇函数 2 (5)去掉绝对值符号，根据定义判断 2?1x 0，?1x1，由?得? ?|x2|20，?x0且x4.故 f(x)的定义域为1，0)(0，1，关于原点对称，且有 x1x1x20.从而有 f(x) x，这时有 f( x)x221（x）1xf(x)，故 f(x)为奇函数 xx 2222(6)已知 f(x)的定义域为(1，1)， 其定义域关于原点对称 f(x)(x1)1x（1x）（1x），
8、1xf(x)（1x）（1x）f(x) 即 f(x)f(x)，f(x)是偶函数 请学生思考，本题中若将条件x(1，1)去掉还是偶函数吗？(答：不是) 【答案】 (1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 (6)偶函数 探究 1 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间， 则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断 f(x)是否等于f(x) (2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点 (或 y轴)对称 (3)性质法：偶函数的和、差、积、商 (分母不为零)仍
9、为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇 (偶)数个奇函数的积、商(分母不为零 )为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域 ) 思考题 1 (1)(2015 广东理)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) 1Ay 1x Byxx 21xCy2 2x Dyxe x 11【解析】 易知 y 1x 与 y2 x是偶函数， yx 是2x2x奇函数，故选 D. 【答案】 D (2)判断下列函数的奇偶性 2xf(x)ln； 2x11f(x)x (a0 ，且 a1)； a 122?x 2x f(x)?2?x 2x （x0）， （x0）.【解析】 f(
10、x)的定义域为(2，2)， 2x2xf(x)lnlnf(x)， 2x2x函数 f(x)为奇函数 f(x)的定义域为x|xR，且 x0， 其定义域关于原点对称，并且有 1111f(x)x212 a 1x1ax（1a ）11a1 x x21a21ax 111x 1a211(x2)f(x) a 1即 f(x)f(x)，f(x)为奇函数 方法一：f(x)的定义域为 R， 当 x0 时，x0， f(x)(x) 2(x)x 2xf(x) 当 x0 时，f(0)0f(0) 当 x0 时，x0， f(x)(x) 2(x)x 2xf(x) 2222对于 xR 总有 f(x)f(x) f(x)为偶函数 方法二：当
11、 x0 时，f(x)x 2xx 2|x|. 当 x0 时，f(x)x 2xx 2|x|. f(x)x 2|x|. f(x)(x) 2|x|x 2|x|f(x) f(x)为偶函数 【答案】 奇函数 奇函数 偶函数 2222222? 题型二 奇偶性的应用 例 2 (1)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x2x，则 f(1)( ) A3 B1 C1 D3 【解析】 方法一：f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且 x0 时，f(x)2x x， f(1)f(1)2(1) (1)3， 故选 A. 22 方法二：设 x0，则x0，则 x 的取值范围是_ 【解析】 由题可知，当 2
12、x0.f(x1)的图像是由 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度得到的若f(x1)0，则1x0，f(x)x(1x)，那么 x0，f(x)等于( ) Ax(1x) Bx(1x) Cx(1x) Dx(1x) 【解析】 当 x0，f(x)(x)(1x)又 f(x)f(x)，f(x)x(1x) 【答案】 B (2)若偶函数 f(x)在(， 0)上单调递减，则不等式f(1)f(lgx)的解集是_ 1【答案】 (0，)(10，) 10 (3)若函数 f(x1)为偶函数，则函数 f(x)的图像的对称轴方程为_ 【解析】 f(x1)为偶函数， 函数 g(x)f(x1)的图像关于直线 x0 对称 又函数 f(
13、x)的图像是由函数 g(x)f(x1)的图像向右平移一个单位而得， 函数 f(x)的图像关于直线 x1对称 【答案】 x1 ? 题型三 函数的周期性 例 3 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且图像关于直线 x1 对称，试判断 f(x)的周期性 【解析】 f(x)为奇函数，f(x)f(x) f(x)图像关于直线 x1 对称， f(x)f(2x) f(x4)f2(x4)f(x2) f(x2)f2(2x) f(x)f(x)f(x) T4. 【答案】 T4 探究 3 若函数 f(x)对任意 x 满足 f(xa)f(xb)，则 f(x)为周期函数；若函数 f(x)对任意 x 满足 f(xa)f(bx)
14、，则函数图像为轴对称图形 思考题 3 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x12)， 当 2x3 时， f(x)x， 则 f(105.5)_ f（x） 1【解析】 由已知， 可得 f(x4)f(x2)2f（x2）1f(x)故函数 f(x)的周期为 4. 1f（x）f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5) 22.53，由题意，得 f(2.5)2.5. f(105.5)2.5. 【答案】 2.5 (2)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足对任意 xR，都有 f(x8)f(x)f(4)，且 x0，4时，f(x)4x，则 f(2 015)的值为_ 【解析】 f(4
15、)0，f(x8)f(x)，T8. f(2 015)f(7)f(1)f(1)3. 【答案】 3 例 4 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)当 x0，2时，f(x)2xx . (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x2，4时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)f(1)f(2)f(2 015) 2【解析】 (1)f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期为 4 的周期函数 (2)当 x2，0时，x0，2，由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2. 又 f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx. f(x)x 2x.
16、 又当 x2，4时，x42，0， f(x4)(x4) 2(x4) 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， 222 f(x)f(x4)(x4) 2(x4)x 6x8. 从而求得 x2，4时，f(x)x 6x8. (3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0. f(0)f(1)f(2)f(2 015)0. 【答案】 (1)略 (2)f(x)x 6x8，x2，4 (3)0 2222 探究 4 高考中对函数周期性的考查，主
17、要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解 思考题 4 已知 f(x)为偶函数，且 f(1x)f(1x)，当 x0，1时，f(x)x1，求 x5，7时，f(x)的解析式 【解析】 方法一：f(1x)f(1x)， f(x)f(2x)，f(x)为周期函数，T2. f(x)为偶函数， x1，0时，x0，1 f(x)f(x)x1. x5，6时，x61，0 f(x)f(x6)(x6)1x5. x6，7时，x60，1 f(x)f(x6)(x6)1x7. ?x5， x5，7时，f(x
18、)?x7， x5，6， x（6，7.方法二：f(1x)f(1x)， T2.又f(x)是偶函数， f(x)在 R 上的图像如图： ?x5， x5，6，f(x)? ?x7， x（6，7.【答案】 ?x5， x5，6，f(x)? ?x7， x（6，7 常用结论记心中，快速解题特轻松： 1(1)若 f(x)定义域不对称，则 f(x)不具有奇偶性 (2)若 f(x)为奇函数，且在 x0 处有定义，则 f(0)0. (3)若 f(x)为偶函数，则 f(|x|)f(x) 2(1)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个 奇 函 数 g(x)与 一 个 偶 函 数 h(x) 和 的 形 式 ， 则
19、 g(x)f（x）f（x）f（x）f（x），h(x). 22 (2)若函数 yf(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)为奇函数，f(x)f(x)为偶函数 3 函数f(x)关于xa对称? f(ax)f(ax)? f(2ax)f(x)? f(2ax)f(x) 4(1)若函数 f(x)满足 f(xa)f(x)，则 f(x)周期 T2a. 1(2)若函数 f(x)满足 f(xa)，则 f(x)周期 T2a. f（x） 5(1)若 f(x)关于 xa，xb 都对称，且ab，则f(x)是周期函数且 T2(ba) (2)若 f(x)关于(a，0)，(b，0)都对称，且 a
20、b，则 f(x)是周期函数，且 T2(ba) (3)若 f(x)关于(a，0)及 xb 都对称，且 af(2x1)成立的 x 的取值范围是( ) 11A(3，1) B(，3)(1，) 1111C( ， ) D(， )( ，) 3333 答案 A 1解析 当 x0 时，f(x)ln(1x)2， 1x12xf(x)220，f(x)在(0，)上为增函1x（1x ）数，f(x)f(x)，f(x)为偶函数， 由 f(x)f(2x1)，得 f(|x|)f(|2x1|)， 1|x|2x 1|，即 3x 4x10，解得3x1，故选 A. 2 课外阅读课外阅读 利用奇偶性及方程思想求函数中的参数值 x例 (20
21、16 浙江金华模拟 )若函数 f(x)（2x1）（xa）为奇函数，则 a( ) 12A.2 B.3 3C. D1 4 【解析】 方法一：因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x) xx因为 f(x)2， （2x1）（xa）2x （12a）xaxx所以22. 2x （12a）xa2x （12a）xa1所以(12a)12a，所以 12a0，所以 a2. 方法二：根据奇函数取特殊值求解 由已知 f(x)为奇函数，得 f(1)f(1)， 11即， （21）（1a）（21）（1a）1所以 a13(1a)，解得 a2. 方法三：根据 f(x)形式特点分析 因为 f(x)的分子是奇函数，所以要使 f(x
22、)为奇函数，则它的1分母必为偶函数，所以 12a0，所以 a . 2方法四：根据奇函数的特点及定义域求解 11因为 f(x)为奇函数，且 不在 f(x)的定义域内，故 也不在2211f(x)的定义域内，所以2a0，所以 a2. 【答案】 A 探究 利用函数的奇偶性求参数的思路；利用函数的奇偶性的定义转化为 f(x)f(x)，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解 1思考题 (1)(2016 豫东十校联考)若 f(x)xa 是奇2 1函数，则 a_ 11【解析】 依题意得 f(1)f(1)0，由此得1a12 1211a0，解得 a
23、. 21【答案】 2 (2)(2015 新课标全国)若函数 f(x)xln(x ax )为偶函数，则 a_ 2【解析】 由已知得 f(x)f(x)，即xln(ax x)xln(x2222ax)，则 ln(xax )ln(ax x)0， ln(ax2)2x20，得 lna0，a1. 【答案】 1 (3)(2014 湖南)若 f(x)ln(e 1)ax 是偶函数，则a_ 3x【解析】 利用偶函数的定义求解 f(x)ln(e 1)ax是偶函数， f(x)f(x) 3x ln(1e)axln(1eln(1e3x3x3x)ax. )ln(1e )2ax. 3x3x1e1e2axln(3x)2ax.3xe. 1e1e1e3x3xee2ax(2a3)x对 xR 恒成立 ?2a30，?2a0，?或?(舍去) ?2a3，?2a33.3a . 23【答案】 2 2 b(4)已知定义域为 R 的函数 f(x)x1是奇函数，则 a2a_ ，b_ x【答案】 2 1
