材料力学--弯曲应力

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1、1第五章第五章 弯曲应力弯曲应力2回顾回顾内力内力应力应力FAyFSM3纯弯曲纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲4 弯曲变形弯曲变形 实验现象实验现象5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲5平面假设：平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。了一个角度。5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲6凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长中间一层纤维长中间一层纤维

2、长度不变度不变中性层中性层中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲75.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力一、变形几何关系一、变形几何关系8二、物理关系二、物理关系:问题问题: :中性层中性层( ( y 的起点的起点) )在哪里？在哪里？ 怎样算怎样算? ?xzy y可确定横截面上的应力分布可确定横截面上的应力分布5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力9平衡条件找答案平衡条件找答案自动满足自动满足中性轴通过形心中性轴通过形心(y z 为形心主惯性轴为形心主惯性轴)三、平衡条件：三、平衡条件：xzyM5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯

3、曲时的正应力10注意事项：注意事项：M，y与与 都有正负号都有正负号通常用其绝对值代入公式，用变形确通常用其绝对值代入公式，用变形确定正应力的正负（拉、压）。定正应力的正负（拉、压）。正应力分布图正应力分布图M最终内力合成最终内力合成11主要公式主要公式:变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径为曲率半径5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力12弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力弯曲正应力细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲( (近似使用近似使用) )横截面惯性积横截面惯性积 I I

4、yz =0=0弹性变形阶段弹性变形阶段5.2 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力135.3 横力弯曲的正应力横力弯曲的正应力纯弯曲正应力纯弯曲正应力 弹性力学精确分析表明，当跨度弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横与横截面高度截面高度 h 之比之比 l / h 5 （细长梁）时，纯（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力14弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处2.2.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性

5、能不同，二方面都要考虑注意注意:1.:1.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与 强度条件强度条件抗弯截面系数抗弯截面系数15常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面16aaFFy解解: 竖放时竖放时求求:(1):(1)截面竖放时距离中性层截面竖放时距离中性层2020mm 处的正应力和最大正应力处的正应力和最大正应力max; ; (2) (2) 截面横放时的最大正应截面横放时的最大正应力max横放时横放时例例 图示简支梁图示简支梁 已知已知: : a =180=180mm , , F F =5kN,=5kN,截面为截面为

6、bh=30 60mm2 的矩形的矩形hb20例题例题17F FAYAYF FBYBYBAl = 3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力FSx90kN90kN1. 求支反求支反力力（压应力）（压应力）解：解：例题例题已知已知:E=200GPa,4.4.C 截面的曲率半径截面的曲率半径1830zy180120KBAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMxFSx90kN90kN2. C 截面最大正应力C 截面弯矩C 截面惯性矩例题例

7、题19BAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩例题例题20BAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩C 截面惯性矩截面惯性矩例题例题21分析分析: : ？ 弯矩弯矩 最大的截面最大的截面 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力材料的许用应力？例题例题22（3 3

8、）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面：C C截面：截面：车轴满足强度要求车轴满足强度要求（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图F Fa aF Fb b解：解：例题例题23分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（）计算（）计算（）计算（）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重自重材料的许用应力材料的许用应力起重量起重量跨度跨度试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。例题例题24（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号

9、（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据计算计算 （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢25作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。例题例题26（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：例题例题27（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图例题例题28

10、（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？例题例题 经校核梁安全经校核梁安全？倒过来是否安全倒过来是否安全29例例 已知简支梁的最大弯矩已知简支梁的最大弯矩M Mmaxmax=7.5kN=7.5kN m,m, =160=160MPaMPa求：按正应力强度条件选择下列求：按正应力强度条件选择下列 截面的尺寸并比较其重量。截面的尺寸并比较其重量。M工字钢工字钢解：圆形矩形圆环圆环工字钢工字钢圆形圆环矩形工字钢102m30假设所有的假设所有的 都平行于都平行于 y5.4弯曲切应力弯曲切应力剪切弯曲剪切弯曲Fs 0, 0 横截面不再保持平面（翘曲）横截面不再保持平面（翘曲）实心细长梁实心细长梁

11、工程上一般忽略不计工程上一般忽略不计,薄壁或短粗梁薄壁或短粗梁 需要考虑切应力及其强度条件需要考虑切应力及其强度条件FdxdxFsMFsM+dMbh矩形截面梁：矩形截面梁：bh 假设同一高度假设同一高度 y 处处 相等相等截面两侧截面两侧 平行于平行于 yFs通过通过y, 对称于对称于yM+dMMdxy31矩形截面梁：矩形截面梁：yFN1FN2dxdxFsMFsM+dMM+dMMdxFdxbhy5.4弯曲切应力弯曲切应力y132byFs5.4弯曲切应力弯曲切应力33例例 比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大切切应力应力。 解：Fhb切切应力假设不成立，将产生

12、较大误差应力假设不成立，将产生较大误差34圆形截面梁：圆形截面梁：薄壁圆环截面薄壁圆环截面：工字钢截面工字钢截面： 强度条件强度条件hmax常用梁截面的最大切应力。常用梁截面的最大切应力。 35悬臂梁由三块木板粘接而成。悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为跨度为1m。胶合面的许可胶合面的许可切应力为切应力为0.34MPa，木材的木材的= = 10 MPa， =1MPa，求许可载荷求许可载荷1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图按正应力计算按正应力计算按切应力计算按切应力计算 解：解：叠合梁问题叠合梁问题36按胶合面强度条件计算按胶合面强度条件计算5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 37

13、单梁吊车由40a号工字钢制成，在梁中段的上下翼缘上各焊了一块12010 mm2的盖板，如图所示。已知梁跨长l = 8 m, a = 5.2 m,材料的弯曲许用应力140 MPa ,许用切应力为80 MPa,试按正应力强度条件确定梁的许试按正应力强度条件确定梁的许可载荷可载荷,并校核梁的切应力并校核梁的切应力。(梁的自重暂不考虑)例题（活动载荷例题（活动载荷, 加强梁）加强梁）38分析395.6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施1. 1. 降低降低 Mmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷6-740合理布置支座合理布置支座5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施

14、FFF41合理布置支座合理布置支座5-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施425-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施F合理布置载荷合理布置载荷,使使 M max 尽可能小尽可能小43FL/2L/2FL/43L/4F=qLL/54L/5对称对称Mx3FL/16MxFL/4MxqL2/1044 超静定梁超静定梁qL/2L/2 超静定梁超静定梁qLMxMx455-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施2. 2. 增大增大 WZ 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面6-7465-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施合理放置截面合理放置截面475-6 提高梁强

15、度的主要措施提高梁强度的主要措施合理设计截面合理设计截面485-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施合理设计截面合理设计截面49充分利用材料特性充分利用材料特性合理设计截面合理设计截面脆性材料脆性材料：宜上下不对称截面宜上下不对称截面：T 形，不等边工字型，不等边矩形框等；形，不等边工字型，不等边矩形框等； 中性轴偏向受拉区的一侧中性轴偏向受拉区的一侧理想的中性轴的位置理想的中性轴的位置:应是最大拉应力和最大压应是最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。应力同时达到许用应力。50讨论：钢筋混凝土楼板，钢筋应该铺设在哪一边？讨论：钢筋混凝土楼板，钢筋应该铺设在哪一边？51等强梁的概念与应

16、用等强梁的概念与应用 等截面梁等截面梁WZ为常数，横力弯曲时弯矩为常数，横力弯曲时弯矩M是随截面位是随截面位置变化的。只有置变化的。只有|M|max位置的横截面上应力达到位置的横截面上应力达到 。不合理！不合理！ 宜采用变截面梁，且应使各横截面上的最大应力都宜采用变截面梁，且应使各横截面上的最大应力都达到达到。 等等强度梁度梁52Fl/2l/2支座旁支座旁535-6 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施54小结小结1 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法导方法2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用弯曲正应力强度条件及其应用3 3、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施55谢谢 谢谢 再再 见见 ！