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1、“不等式恒成立不等式恒成立”问题研究问题研究不等式恒成立问题研究不等式恒成立问题研究内容分析内容分析：“不等式恒成立不等式恒成立”问题一直是中学数学的重要内容。一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式、三角等内容交它是函数、数列、不等式、三角等内容交汇处的一个的一个非常活非常活跃的知的知识点。点。“不等式恒成立不等式恒成立”问题涉及到一次函数、二次函数的涉及到一次函数、二次函数的性性质、图象渗透和象渗透和换元、化元、化归、数形、数形结合、函数与方合、函数与方程、分程、分类讨论等数学思想方法。等数学思想方法。“不等式恒成立不等式恒成立”问题对培养学生的培养学生的综合解合解题能力，能力，培
2、养学生思培养学生思维的灵活性、的灵活性、创造性都有着独到的作用。造性都有着独到的作用。“不等式恒成立不等式恒成立”问题是历年高考的热点。问题是历年高考的热点。学习目标：学习目标：1、通、通过本本节课，使学生能，使学生能够掌握掌握“恒成立恒成立”问题的常的常见解法，解法，提高横向、逆向、提高横向、逆向、创造性的思造性的思维能力。能力。2、在自主探究和合作交流中，、在自主探究和合作交流中，经历知知识点点产生和形成生和形成过程，程，不不仅重重视对研究的掌握和研究的掌握和应用，更重用，更重视对研究方法的思想渗研究方法的思想渗透以及分析透以及分析问题和解决和解决问题能力的培养。能力的培养。3、进一步提升
3、理性思一步提升理性思维能力，激能力，激发学生更学生更积极主极主动的学的学习精精神和探究勇气。神和探究勇气。过程与方法：程与方法：培养分析、解决培养分析、解决问题的能力，体的能力，体验函数思想、分函数思想、分类讨论思想、数形思想、数形结合思想、合思想、转化与化化与化归思想。思想。学学习重点：重点：理解解决不等式恒成立理解解决不等式恒成立问题的的实质，有效掌握不等式恒，有效掌握不等式恒成立成立问题的基本技能。的基本技能。学学习难点：点：利用利用转化思想，通化思想，通过函数的性函数的性质与与图像化像化归至最至最值问题来来处理恒成立理恒成立问题。一、了解高考一、了解高考 “不等式恒成立不等式恒成立”的
4、数学的数学问题问题，不但在近几，不但在近几年高考中年高考中频频繁出繁出现现，而且出，而且出现现的的试题试题大多数以大多数以大大题为题为主。主。20092011高考高考试试卷中卷中“不等式恒不等式恒成立成立”的的题题目如下：目如下：20092009年年3939套套重庆理第重庆理第5 5题题 浙江文第浙江文第2121题理第题理第2222题题 上海理第上海理第1111题题辽宁理第辽宁理第2121题题 江西理第江西理第1515，1717题题 湖北文理湖北文理2121题题 北京理第北京理第1818题文题文1818题题 湖南理第湖南理第8 8题题 上海春季招生第上海春季招生第1717题题201020103
5、939套套山东理第山东理第1414题，题，全国全国IIII文第文第2222题理第题理第2020题题 全国全国理理第第2121题题湖北理第湖北理第2121题题 海南文第海南文第2020题理第题理第2121题题 天津理第天津理第1616题题湖南理第湖南理第2020题题 安徽文第安徽文第1717题理第题理第1919题题 四川理第四川理第2222题题江西文第江西文第1717题理第题理第1919题题 福建文第福建文第2222题理第题理第2121题题201120113939套套湖北文第湖北文第2020题题 安徽文第安徽文第1515题理第题理第9 9题题 北京文第北京文第1818题理第题理第1818题题福建
6、文第福建文第2222题题 陕西理第陕西理第1515题第题第2222题题 全国统一文第全国统一文第2121题题 陕西文第陕西文第1515题第题第2121题题 浙江理第浙江理第2222题题 江苏理第江苏理第1919题题 湖南理第湖南理第2222题题二、感悟高考二、感悟高考0a8 三、自主探究第四小组汇报探究结果第四小组汇报探究结果题号题号书写探究结果书写探究结果点评点评第第4、5小题小题第第2小组小组第第1小组小组方法一、数形结合（转化为函数求最值）方法一、数形结合（转化为函数求最值） 方法二、分离变量方法二、分离变量 （转化为函数求最值）（转化为函数求最值） x1ox1或或x2 y13 x数形结
7、合数形结合oyx31oyx31y13 xoyx31X0x0x=0y13 xoyx31点评点评：在不等式中出现了两个字母：在不等式中出现了两个字母：x及及a,而我们都习惯把而我们都习惯把x看成是一个变量，看成是一个变量，a作为常作为常数数.本题可以本题可以转换视角转换视角，可将，可将a视作自变量，则上述问题即可转化为关于视作自变量，则上述问题即可转化为关于a的的一次型函数一次型函数大于大于0恒成立的问题恒成立的问题.此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两端点均在故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）
8、即可轴上方（或下方）即可归纳总结归纳总结 概括方法概括方法 解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法：解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法：1 1、直接转化为求函数的最值、直接转化为求函数的最值四、合作探究四、合作探究题号题号书写探究结果书写探究结果点评点评例1第三小组第五小组例2第六小组第七小组四、合作探究四、合作探究数形结合数形结合四、合作探究四、合作探究求函数最值求函数最值分离变量后分离变量后求函数最值求函数最值xyo12y1=(x-1)2y2=logax数形结合数形结合总结反思总结反思1、通、通过今天今天这堂复堂复习课，我，我们领略了解决恒成立略了解决恒成立问题的多种的多种常常见求
9、解方法（求解方法（、化、化归最最值、分离参数、分离参数、数形、数形结合），合），事事实上，上，这些方法都不是孤立的，在具体的解些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往践中，往往需要往需要综合考合考虑，灵活运用，才能使，灵活运用，才能使问题得以得以顺利解决但利解决但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，即通的思想，即通过化化归到函数求其最到函数求其最值来来处理理2、含参不等式恒成立、含参不等式恒成立问题因其覆盖知因其覆盖知识点多，方法也多种多点多，方法也多种多样，但其核心思想，但其核心思想还是等价是等价转化，抓住了化，抓住了这点，才能以点，才能以“不
10、不变应万万变”，当然，当然这需要我需要我们不断的去不断的去领悟、体会和悟、体会和总结。五、课后探究：五、课后探究：已知：已知：R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有有恒成恒成立，求立，求实数数m的取的取值范范围.解析：由解析：由 得到：得到： 因为为奇函数，故有因为为奇函数，故有 又因为又因为 为为R上减函数，上减函数， 对对 恒成立恒成立 设设 ，则，则 对于对于 恒成立，恒成立，设函数函数,对称称轴为 当当 时时 当当 ，即，即 时时,有有 , 又又 , 当当 时，时， 恒成立恒成立. 故由故由可知，实数可知，实数m的取值范围的取值范围 ：tg(t)o1t=mtg(t)o1点评：此题属于含参数二次函数问题，求最值时，轴变区间定的情形，对称轴与区点评：此题属于含参数二次函数问题，求最值时，轴变区间定的情形，对称轴与区间的位置进行分类讨论间的位置进行分类讨论.对于二次函数在对于二次函数在R上恒成立问题常采用判别式法，而对于二上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题. tg(t)o1t=mt=mt=m
