《大学数学(高数微积分)第七章线性变换第五节课件(课堂讲义)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数学(高数微积分)第七章线性变换第五节课件(课堂讲义)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容 充分必要条件充分必要条件第 五 节 对 角 矩 阵特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质举例举例一、充分必要条件对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种.现在我们来考察，究竟哪些线性变换的矩阵在一组适当的基下可以是对角矩阵.定理 8 设设 A 是是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的一个线性的一个线性变换，变换， A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，充分必要条件是， A 有有 n n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .证明设 A 在基 1 , 2 , , n 下具有对角矩阵即A i = ii , i = 1 ,
2、2 , , n .因此， 1 , 2 , , n 就是 A 的 n 个线性无关的特征向量.反过来，如果 A 有 n 个线性无关的特征向量1 , 2 , , n ，那么就取 1 , 2 , , n 为基，显然在这组基下 A 的矩阵是对角矩阵.证毕二、特征值与特征向量的性质定理 9 属于不同特征值的特征向量是线性无属于不同特征值的特征向量是线性无关的关的. .证明对特征值的个数作数学归纳法.由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性无关.现在设属于 k 个不同特征值的特征向量线性无关，我们证明属于 k + 1 个不同的特征值 1 , 2 , , k+1 的特征向量 1 , 2 , , k+
3、1 也线性无关.假设有关系式a11 + a22 + + akk + ak+1k+1 = 0成立.等式两端乘以 k+1 ，得a1k+11 + a2k+12 + akk+1k + ak+1k+1k+1 = 0第一式两端同时施行变换 A ，得a111 + a222 + akkk + ak+1k+1k+1 = 0第三式减去第二式得a1(1 - k+1)1 + + ak (k - k+1) k = 0 .根据归纳法假设， 1 , 2 , , k 线性无关，ai (i - k+1) = 0， i =1, 2, , k .但 i - k+1 0 (i k)，所以ai = 0， i =1, 2, , k .这
4、时等式a11 + a22 + + akk + ak+1k+1 = 0变成 ak+1k+1 = 0 .又因为 k+1 0，所以只有ak+1 = 0 .所以1 , 2 , , k+1 线性无关.证毕于是从上面这两个定理就得到推论 1 如果在如果在 n n 维线性空间维线性空间 V V 中，线性变换中，线性变换A 的特征多项式在数域的特征多项式在数域 P P 中有中有 n n 个不同的根，即个不同的根，即A 有有 n n 个不同的特征值，那么个不同的特征值，那么 A 在某组基下的矩在某组基下的矩阵是对角形的阵是对角形的. .因为在复数域中任一个 n 次多项式都有 n 个根,所以上面的论断可以改写成推
5、论 2 在复数域上的线性空间中，如果线性在复数域上的线性空间中，如果线性变换变换 A 的特征多项式没有重根，那么的特征多项式没有重根，那么 A 在某组在某组基下的矩阵是对角形的基下的矩阵是对角形的. .在一个线性变换没有 n 个不同的特征值的情形要判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂些.为了利用定理 8 ，我们把定理 9推广为定理 10 如果如果 1 1 , , 2 2 , , , , k k 是线性变换是线性变换 A的不同的特征值，而的不同的特征值，而 是属于特征值是属于特征值 i i 的线性无关的特征向量，的线性无关的特征向量，i i = 1 , , = 1 , , k k
6、 , , 那么向量那么向量组组也线性也线性无关无关. .这个定理的证明与定理 8 的证明相仿，也是对k 作数学归纳法 . 证明略.根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形的.于是 A 在某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条件也可叙述成：设设 A 全部不同的特征值是全部不同的特征值是 1 1 , , 2 2 , , , , r r ，于，于是是 A 在某一组基下的矩阵是对角形的
7、充分必要条在某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条件是件是 A 的特征子空间的特征子空间的维数之和的维数之和等于空间的维数等于空间的维数. .当线性变换 A 在一组基下的矩阵 A 是对角形时：A 的特征多项式就是| E - A | = ( - 1) ( - 2) ( - n) .因此，如果线性变换因此，如果线性变换 A 在一组基下的矩阵是对角在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的. .它们正是它们正是 A A 的特征多项式全部的根的特征多项式全部的根 ( (重根按重数计重根按重数计算算) .) .三、举例例 1 设线性变换
8、A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵为问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对形？若存在，求出这组基.例 2 设线性变换 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵为问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对角形？若存在，求出这组基.例 3 设(1)(1) 判断 A 是否与对角矩阵相似，若相似，求可逆矩阵 X，使 X-1AX 为对角矩阵；(2)(2) 求 Ak ( k 为正整数) .本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮
9、.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.
