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1、第六章：期权定价的连续模型第一节连续时间股票模型第二节离散模型第三节连续模型的分析第四节Black-Scholes模型第五节Black-Scholes公式的推导第六节看涨期权与看破跌期权平价第七节二叉树模型和连续时间模型第八节几何布朗运动股价模型应用的注意事项1第一第一节连续时间股票模型股票模型 保罗萨缪尔森在1965年首次提出： （5-1）股票在时刻的价格常量服从布朗运动。 其中：2024/7/2121826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运布朗运动。 第二第二节离散模型离散模型 若表示 T 时刻的股价则根据二叉树
2、模型，在一个给定时间间隔2024/7/214第二第二节离散模型离散模型 于是令这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段的影响。2024/7/215第二第二节离散模型离散模型 上式是下列微分方程的解：（5-2）2024/7/216第二第二节离散模型离散模型 在式（5-1）中，如果令即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。然而，股价并不具有公式（5-2）所示的可预测性和确定性。令随机变量定义其中，为常数2024/7/217第二第二节离散模型离散模型 于是，可得股价序列即设（5-3）2024/7/218第二第二节离散模型离散模型 于是得： （5-4）与式（5-2）相比有什么特点？包含了随机
3、项，因此更接近实际！2024/7/219第二第二节离散模型离散模型 该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一个不足之处，即有两个不确定项。第一个漂移项来自中的，其作用类似于债券第二个漂移项来自于当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即和货币基金市场中的利率2024/7/2110第二第二节离散模型离散模型 为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。对进行重新定义：为什么？2024/7/2111第二第二节离散模型离散模型 于是随机变量Z 的一个重要等式（5-5）第二个因素表示的随机变量的漂移率为零2024/7/2112第二第二节离散模型离散模型 若令：则：因为：进一步2024/7/21
4、13第二第二节离散模型离散模型 式（5-6）的分析：股票的初始价格；漂移因子（复利因子）；随机因子；修正因子。则（5-6）2024/7/2114第二第二节离散模型离散模型 特别注意：模型（5-6）尽管也是一种离散模型，但比二叉树模型具有更丰富的意义。因为允许取任何正值为什么？2024/7/2115第二第二节离散模型离散模型 当时是否否！2024/7/2116第二第二节离散模型离散模型 式（5-6）中将时间分成小的增量，并考虑步运行的影响，一段固定的时间 可以分成许多小时间段。 事实上，针对同样的时间，可以分成不同的个区间。 应该注意到：随着的增加，的方差 会增加。为了使得的总方差独立于，需要对
5、常量 随 进行调整。2024/7/2119第二第二节离散模型离散模型 可以在和之间建立一个关系式，使得的方差等于即令：于是式（5-6）其中2024/7/2120第二第二节离散模型离散模型 对数正数正态模型（模型（为什么？为什么？） （5-7）：表明长期趋势；：表明波动率。这两个参数如何影响股价？2024/7/2121第三第三节连续模型的分析模型的分析 （5-8）式中，由此得到的就是股价的几何布朗运动模型（GBM）。方程（5-1）的解（几何布朗运动）式（5-8）与具有连续时间变量T的离散模型（5-7）相同。方程（5-1）是一个SDE，一般SDE没有简洁的封闭形式的解。2024/7/2124第三第
6、三节连续模型的分析模型的分析 特别注意：目的：对期权进行定价2024/7/2125第三第三节连续模型的分模型的分析析 几何布朗运动参数估计：思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差若已知在一段较长时间0,T内的股价数据 ，这段时间由n个长度相等的子区间所构成，如果已知第个子区间末的股价，则样本观测值有n+12024/7/2126第三第三节连续模型的分析模型的分析 计算时间序列值：由于（5-9）第一步第一步2024/7/2127第三第三节连续模型的分析模型的分析 应该注意到：于是，理论上2024/7/2128第三第三节连续模型的分析模型的分析 样本均值：样本方差：根据式（5-9）的观测值的均
7、值为方差为。第二步2024/7/2129第三第三节连续模型的分析模型的分析 解方程：得第三步2024/7/2130第三第三节连续模型的分析模型的分析 一般经验法则是设定度量波动率的时期等于将应用波动率所对应的时期。 2024/7/2131第三第三节连续模型的分模型的分析析 习题：以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半小时价，请以天为时间单位计算。3月20日3月21日3月22日3月23日5.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.2
8、45.275.535.685.245.265.565.682024/7/2132假假设：证券价格遵循几何布朗运券价格遵循几何布朗运动，即，即和和为常数；常数；允允许卖空；空；没有交易没有交易费用和税收，所有用和税收，所有证券都是完全可分的；券都是完全可分的；在衍生在衍生证券有效期内券有效期内标的的证券没有券没有现金收益支付；金收益支付；不存在无不存在无风险套利机会；套利机会；证券交易是券交易是连续的，价格的，价格变动也是也是连续的；的；在衍生在衍生证券有效期内，无券有效期内，无风险利率利率r为常数。常数。欧式期欧式期权，股票期，股票期权，看，看涨期期权 第四第四节Black-Scholes公式
9、公式 2024/7/2133第四第四节Black-Scholes公式公式 由Black-Scholes公式，欧式看涨期权的价格（5-10）式中股票现价期权价格标准正态分布函数期权的执行价格距离到期的时间2024/7/2134第四第四节Black-Scholes公式公式 是否注意到，这一公式中没有出现漂移率： 参数是投资者在短时间后获得的预期收益率，依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。 参数是股票价格波动率。2024/7/2135第四第四节Black-Scholes公式公式 Black-Scholes定价系统在完全市场中得到期权价格与漂移率无关，被称为风险中性定价方法，无套利是这种定价的基
10、本假设。 Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉了漂移项，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期，也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并不影响期权价格。2024/7/2136从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的工作的风
11、险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。第四第四节Black-Scholes公式公式 2024/7/2137所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。第四第四节Black-Scholes公式公
12、式 2024/7/2138第四第四节Black-Scholes公式公式 应该注意的是：实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非理论公式定价。2024/7/2139第四第四节Black-Scholes公式公式 习题：若某日某股票的相关数据如下，求V2024/7/2140第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 一、修正的模型主要思路：让模型定价等于市价资产组合：a股价格为S0的股票现金b则投资额为： （5-11）经过时间后，投资的资金将变为：2024/7/2141第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-S
13、choles公式的推公式的推公式的推公式的推导导 （5-12）用无风险利率r 贴现得于是2024/7/2142第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 对式（5-12）两边求期望，则如果下列条件成立则 （5-13） （5-14）由此，即使a值变化，上式总是成立。2024/7/2143第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 采用股价模型代替真正股价，方差保持不变 ，且满足下式于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式现在的问题是，是否存在这样的？2024/7/2
14、144第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 如果令 （5-15）于是2024/7/2145第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 即为什么？因此，修正的股价模型为： （5-16）2024/7/2146第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 修正模型看上去与GBM模型非常接近，但其与股价模型是完全不同的模型，因为该模型中股价的增长率被人为设低了。2024/7/2147第五第五第五第五节节
15、Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 二、期望值对欧式看涨期权：将式（5-16）代入得2024/7/2148第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 若则用于是2024/7/2149第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 根据期望的概念如何求积分？2024/7/2150三、两个积分第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 由求得2024/7
16、/2151第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 将上述积分展开成两部分第二部分2024/7/2152第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 第一部分2024/7/2153第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 变量代换，则 2024/7/2154第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 所以积分式的第二项等于将上述第一
17、项和第二项的结果代入，得2024/7/2155第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 其中2024/7/2156第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 金融产品今天的价值，应该等于未来收入的贴现： 其中，由于风险中性定价， E是风险中性世界中的期望值。所有的利率都使用无风险利率：包括期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率。 要求解这个方程，关键在于到期的股票价格ST，我们知道它服从对数正态分布，且其中所有的利率应用无风险利率，因此，2024/7/215
18、7上式的右边求值是一个积分过程，求得：N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率）。这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式 第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 2024/7/2158 首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。第五第五第五第五节节Black-ScholesBla
19、ck-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 2024/7/2159第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值， -e-r(T-t)XN(d2)是
20、X份现金或无价值看涨期权空头的价值。 2024/7/2160资产或无价值看涨期权：如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额，因此该期权的价值为e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)现金或无价值看涨期权：如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付1元， 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N(d2) ，1份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-t)N(d2) 。第五第五第五第五节节Black-ScholesBlack-Scholes公式的推公式的推公式的推公式的推导导 2
21、024/7/2161第六第六第六第六节节看看看看涨涨期期期期权权与看跌期与看跌期与看跌期与看跌期权权平价平价平价平价欧式看涨期权的价格与欧式看跌期权的价格有关若卖空一份带抛补的看涨期权以S 的价格买入一股股票以C 的价格卖出一份看涨期权，执行价为X同时又买了一份价格为P 的看跌期权，执行价为X（到期时间和执行价与看涨期权相同）2024/7/2162第六第六第六第六节节看看看看涨涨期期期期权权与看跌期与看跌期与看跌期与看跌期权权平价平价平价平价则当期于是2024/7/2163第六第六第六第六节节看看看看涨涨期期期期权权与看跌期与看跌期与看跌期与看跌期权权平价平价平价平价 对于具有与欧式看涨期权定
22、价相同参数的欧式看跌期权定价平价公式将欧式看涨期权定价的Black-Scholes公式代入，得：即2024/7/2164第六第六第六第六节节看看看看涨涨期期期期权权与看跌期与看跌期与看跌期与看跌期权权平价平价平价平价t=0t=TST3.133.13ST2.9ST2.9卖武钢认购权证（执行价2.9元）C2.9-ST2.9-ST0买武钢股票-S0STSTST买武钢认沽权证（执行价3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入现金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9现金流C-P-S0+2.9/(1+r)t/36503.13-ST0.232024/7/2165附：期权的简单特征20
23、24/7/2166命题1:对于0,T 上具有相同执行价格q的欧式和美式期权，存在附：期权的简单特征2024/7/2167命题2:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2024/7/2168命题3:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2024/7/2169命题4:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2024/7/2170推论1:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则美式看涨期权不应提前执行。推论2:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，对于相同执行价格和相同到期日的美式和欧式看涨期权存在：附：期权的简单特征202
24、4/7/2171命题5:在0,T 上，相应的股票无红利配发，如果在美式看跌期权有效的有效期内的某个存在则该美式看跌期权应该在时刻执行。附：期权的简单特征2024/7/2172命题6:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则欧式看涨和看跌期权的价格满足：习题:若看涨和看跌期权的行权价不同，则这一关系该如何表达？附：期权的简单特征2024/7/2173命题7:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则美式看涨和看跌期权的价格满足：附：期权的简单特征2024/7/2174命题8:若在0,T 上，相应的股票有红利配发，记：附：期权的简单特征2024/7/2175附：期权的简单特征2024/7/2176命
25、题9:若标的股票在0,T 上的，相应的股票有红利配发，记：附：期权的简单特征2024/7/2177附：期权的简单特征2024/7/2178附：期权的简单特征2024/7/2179附：期权的简单特征2024/7/2180第七第七第七第七节节二叉二叉二叉二叉树树模型和模型和模型和模型和连续时间连续时间模型模型模型模型一、二项分布（5-18）当n足够大时，可近似用正态分布来代替二项分布2024/7/2181第七第七第七第七节节二叉二叉二叉二叉树树模型和模型和模型和模型和连续时间连续时间模型模型模型模型二、多期二叉树的近似若股票价格的漂移率是波动率是则二叉树的节点上若股价上涨，则为若股价下跌，则为对一
26、固定的时刻t，在时刻t的节点的股价只与在n期内上涨次数Xn有关。2024/7/2182第七第七第七第七节节二叉二叉二叉二叉树树模型和模型和模型和模型和连续时间连续时间模型模型模型模型则当n足够大时2024/7/2183第七第七第七第七节节二叉二叉二叉二叉树树模型和模型和模型和模型和连续时间连续时间模型模型模型模型因为：2024/7/2184第七第七第七第七节节二叉二叉二叉二叉树树模型和模型和模型和模型和连续时间连续时间模型模型模型模型于是可以令2024/7/2185上式近似所得的股价模型和几何布朗运动一致。既然有几何布朗运动模型为何还要二叉树算法。几何布朗运动算期望非常困难第七第七第七第七节节
27、二叉二叉二叉二叉树树模型和模型和模型和模型和连续时间连续时间模型模型模型模型2024/7/2186第七第七第七第七节节二叉二叉二叉二叉树树模型和模型和模型和模型和连续时间连续时间模型模型模型模型三、符合几何布朗运动的二叉树构造对应的二叉树分支概率（）2024/7/2187第七第七第七第七节节二叉二叉二叉二叉树树模型和模型和模型和模型和连续时间连续时间模型模型模型模型习题： 设某一股票的年波动率，对应的股票期权将在两个月内到期，因此需要一个40期的二叉树来表示这一段时间内的股价波动，设无风险利率。如何构造？2024/7/2188第八第八第八第八节节几何布朗运几何布朗运几何布朗运几何布朗运动动股价模型股价模型股价模型股价模型应应用的注意事用的注意事用的注意事用的注意事项项2024/7/2189第八第八第八第八节节几何布朗运几何布朗运几何布朗运几何布朗运动动股价模型股价模型股价模型股价模型应应用的注意事用的注意事用的注意事用的注意事项项当很大时，的概率分布极不均匀。2024/7/2190
