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1、1高级教学 由牛顿由牛顿莱布尼兹公式，可以通过不定积分来莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步：一般是将定积分的计算截然分成两步：先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿莱布尼莱布尼兹公式代值计算出定积分兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法定定积分的换元法和定积分的分部积分法积分的换元法和定积分的分部积分法. 2高级教
2、学 例例解解3高级教学 例例解解有什么想法没有？有什么想法没有？4高级教学 就是说，计算定积分时可以使用换元法就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿原来的变量，直接往下计算并运用牛顿莱布尼莱布尼兹公式便可得到定积分的结果兹公式便可得到定积分的结果 . 5高级教学一、定积分的换元法一、定积分的换元法 Substitution Method 定理定理1. 设函数设函数单值函数单值函数满足满足:1)2) 在在上上证证: 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连
3、续, 因此积分都存在因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在且它们的原函数也存在 .是是的原函数的原函数 , 因此有因此有则则则则6高级教学说明说明: :1) 当当 , 即即区间换为区间换为定理定理 1 仍成立仍成立 .2) 必需注意必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用 , 即即或配元或配元配元配元(凑微分凑微分)不换限不换限7高级教学例例1. 计算计算解解: 令令则则 原式原式 =且且8高级教学例例2 2 计算计算解解令令9高级教学例例3 3 计算计算解解10高级教学例例4 4 计算计算解解原式原式
4、11高级教学例例5 5 计算计算解解令令原式原式12高级教学证证奇偶函数在对称区间上的定积分奇偶函数在对称区间上的定积分13高级教学14高级教学奇函数奇函数例例7 7 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积15高级教学Exercises: Compute the following definite integrals练习练习 求下列定积分求下列定积分设函数设函数连续，且连续，且已知已知，求，求 的值。的值。求导，得求导，得令令，然后求导，最后得，然后求导，最后得16高级教学证证（1）设）设17高级教学（2）设）设18高级教学19高级教学20高级教学21高级教学22高级教学练
5、习练习 23高级教学6. 设设解法解法1解法解法2 对已知等式两边求导对已知等式两边求导,思考思考: 若改题为若改题为提示提示: 两边求导两边求导, 得得得得24高级教学例例9 925高级教学周期函数定积分的性质周期函数定积分的性质故故（令令x=0）26高级教学27高级教学例例10.10. 证明证明 证证：是以是以 为为周期的函数周期的函数.是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.(A)正常数正常数 ; (B)负正常数负正常数; (C) 0； (D)非常数非常数 28高级教学几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法二、小结二、小结29高级教学思考题思考题解解令令思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是30高级教学练练 习习 题题31高级教学32高级教学33高级教学34高级教学练习题答案练习题答案35高级教学
