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1、2-4 一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变 复合函数的微分则复合函数 一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性: 不论不论 是自变量，还是自变量，还是是 中间变量中间变量, 当当 利用微分的形式不变性计算微分时，能使计算不漏、不乱、不错,给计算带来方便 .解解 例例求 利用一阶微分的形式不变性，还可以求隐函数及由利用一阶微分的形式不变性，还可以求隐函数及由参数方程所确定的函数的微商参数方程所确定的函数的微商. 由表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如： （上半圆（上半圆）（下半圆（下半圆）（隐函数显化）（隐函数显化）但第二个方程所确定的隐函数
2、不能显化.利用一阶微分的形式不变性，对方程两边求微分，得即补例补例 1 求椭圆在点处的切线方程.解解对方程两边求微分，得故切线方程为即补充隐函数的微商补充隐函数的微商若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)补例补例2. 求由方程在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数补例补例3. 设由方程确定 , 解解: 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求题
3、改为求由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数若参数方程确定y与x间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.例如例如由参数方程所确定的函数求微商的方法由参数方程所确定的函数求微商的方法则（说明推出此公式的合理性）则例例1 求出椭圆周解解例例 2 弹道方程在不考虑空气阻力的情况下可以写作：o 解解故o若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得2-5 微分与近似计算微分与近似计算当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明 令得的近似值 .解解 设取则例例4. 求习题2-3 1.(3);3.6.7.8.( 1),(3);9.(2);10(2),(3).
