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1、磁场的磁场的“高斯定理高斯定理” 磁矢磁矢势势 n磁通量磁通量n任意磁场，磁通量定义为任意磁场，磁通量定义为 n磁感应线的特点：磁感应线的特点：n环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远磁高斯定理磁高斯定理 无源场无源场1磁高斯定理磁高斯定理 n通过磁场中任一闭合曲面通过磁场中任一闭合曲面S S的总磁通量恒等的总磁通量恒等于零于零 n证明：证明：n单个电流元单个电流元Idl的磁感应线：以的磁感应线：以dl方向为轴线的一方向为轴线的一系列同心圆，圆周上系列同心圆，圆周上B 处处相等；处处相等；2 n考考察察任任一一磁磁感感应应管管( (正正截截面面为为) )，
2、取取任任意意闭闭合合曲曲面面S S，磁磁感感应应管穿入管穿入S S一次，穿出一次一次，穿出一次。n结论：任一磁感应管经闭合曲面结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零的磁通量为零3推广到任意载流回路的磁场推广到任意载流回路的磁场n一一个个电电流流元元产产生生的的磁磁场场可可看看成成由由许许多多磁磁感应管组成感应管组成n有的穿入又穿出，有上述结论有的穿入又穿出，有上述结论 n有的没穿过有的没穿过S S，磁通量为零，磁通量为零 n任任意意载载流流回回路路由由许许多多电电流流元元串串联联而而成，由叠加原理得成，由叠加原理得n结论结论：通过磁场中任一闭合曲面：通过磁场中任一闭合曲面S S的总的总磁通
3、量恒等于零。磁通量恒等于零。 4磁高斯定理的微分形式磁高斯定理的微分形式n利用数学的高斯定理利用数学的高斯定理n说明恒磁场的散度为零说明恒磁场的散度为零无源场无源场5磁矢势磁矢势 p111/p128n然而磁场的主要特征：无源（无散）然而磁场的主要特征：无源（无散）磁高斯定理磁高斯定理n其其更根本更根本的意义：使我们可能引入磁矢势的意义：使我们可能引入磁矢势 无源场无源场有旋场有旋场非保守场一般非保守场一般不引入标势不引入标势6n磁高斯定理表明：对任意闭合面磁高斯定理表明：对任意闭合面 磁通量仅由磁通量仅由的共同边界线所决定的共同边界线所决定可可能能找找到到一一个个矢矢量量A，它它沿沿L作线积分
4、等于通过作线积分等于通过S的通量的通量n数学上可以证明，这样的矢量数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，的确存在，对于磁感应强度对于磁感应强度B，A叫做叫做磁矢势磁矢势，A在空间在空间的分布也构成矢量场，简称的分布也构成矢量场，简称矢势矢势7根据矢量分析根据矢量分析n对任意矢量对任意矢量A有有 n矢势的特点矢势的特点 其实标势也不唯其实标势也不唯一，零点可选一，零点可选n如：对于任意标量场如：对于任意标量场 的梯度的梯度，有有 描述同一个磁感应强度描述同一个磁感应强度Bn类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取n通常选库仑规范通常选库仑规范: : A=0
5、8找电流产生的磁场中找电流产生的磁场中磁矢势的表达式磁矢势的表达式n电流元的磁矢势电流元的磁矢势 p112p112式（式（2.55)2.55)n任意闭合回路的磁矢势任意闭合回路的磁矢势 式（式（2.56)2.56) n例题例题9 9 n例题例题1010n例题例题1111n两种办法两种办法电动力学的做法电动力学的做法普通物理普通物理的方法的方法9电流元的磁矢势电流元的磁矢势 n设磁矢势设磁矢势a与电流元平行与电流元平行（因为对矢势变换规范可（因为对矢势变换规范可以任选，选库仑规范以任选，选库仑规范A=0 的结果）的结果）a只有只有z分量分量以电流元为轴以电流元为轴, ,取取柱坐柱坐标（ 、 、z
6、 ) ) 取闭合环路取闭合环路L只有这一段只有这一段积分有贡献积分有贡献？10计算通过计算通过L的通量的通量 n场点场点P P和回路和回路L在在 0 0的的平面内平面内n通过通过L的磁感应通量为：的磁感应通量为： 消去消去dl11n上式为电流元所产生的磁场中矢势的上式为电流元所产生的磁场中矢势的 一个表达式一个表达式 矢势表达式不唯一矢势表达式不唯一n任意闭合载流回路任意闭合载流回路L L1 1 在空间某点的矢势在空间某点的矢势电流在导电流在导线截面上线截面上均匀分布均匀分布电流回路电流回路n假如电流在载流截面上不均匀分布假如电流在载流截面上不均匀分布12矢势公式的应用举例矢势公式的应用举例n
7、例题例题9：一对平行无限长直导线，载有：一对平行无限长直导线，载有等量反向电流等量反向电流In先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）设矢势设矢势A只有只有z分量分量无限长无限长Az与与z无关无关轴对称轴对称Az与与 无关无关Az只是只是 的函数：的函数： Az Az( )取回路取回路求磁通量求磁通量13一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差n两根无限长载流直导线的磁矢势两根无限长载流直导线的磁矢势n矢量叠加（如图）矢量叠加（如图）叠加得叠加得P点总矢势点总矢势取取Q零点零点14n例题例题10：无限长圆柱型导体，半径为：
8、无限长圆柱型导体，半径为R，载有在，载有在界面上均匀分布的电流界面上均匀分布的电流I，求磁矢势，求磁矢势nrR：导线外部同例题：导线外部同例题9，取，取Q点在导体表面，外点在导体表面，外部任意点部任意点P与与Q点的矢势差为点的矢势差为15求矢势小结求矢势小结n依据公式依据公式(a)求矢势的基本步骤求矢势的基本步骤n根据对称性，假设一个矢势的方向根据对称性，假设一个矢势的方向n取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出积取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出积分号，或积分好算）分号，或积分好算）n算出通过回路的磁通量算出通过回路的磁通量n得出得出A 一个表达式一个表达式 n以上几个例子（例题以上几个例子（例题11自己看）都属于强对称性自己看）都属于强对称性场，实际上是已知场，实际上是已知B求求A，也可以直接根据电流分，也可以直接根据电流分布求矢势布求矢势更多的问题在电动力学中学习更多的问题在电动力学中学习n相关的习题很少，掌握这种方法相关的习题很少，掌握这种方法nP145/p162 2-20(3)、22116
