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1、3 3.1 1.3 3复数的几何意义1.掌握复数的几何意义,即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系,掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系.2.能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目.123123123【做一做1-1】对于复平面,下列命题中是真命题的是()A.虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B.实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的C.实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D.实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的123解析：当虚数为纯虚数时,所对应的点位于虚轴上,不属于任何象限,因此选项A不正确;实、虚部都是负数
2、的虚数的集合与第三象限内的点的集合是一一对应的,因此选项B不正确;实部是负数的实数所对应的点位于实轴上,不属于第二、三象限,因此选项C不正确;选项D正确.答案：D123【做一做1-2】设z=(2a2+5a-3)+(a2-2a+3)i(aR),则下列命题正确的是()A.z的对应点Z在第一象限B.z的对应点Z在第四象限C.z不是纯虚数D.z是虚数解析：由2a2+5a-3=(2a-1)(a+3),得其实部可正,可负也可以是零,而虚部a2-2a+3=(a-1)2+20,故z是虚数.答案：D1232.复平面建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.x轴的单位
3、是1,y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点,原点(0,0)对应复数0.名师点拨1.复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点.2.复数z的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件.123【做一做2】下面有关复平面的命题,其中正确的有.(填序号)实轴与虚轴无交点;实轴上的点对应的复数为实数,虚轴上的点对应的复数为虚数;实轴与虚轴的单位都是1;实数对应的点在实轴上,纯虚数对应的点在虚轴上.解析：由于实轴与虚轴相交于原点,故错;由于原点也在虚轴上,它与复数0对应,故不正确;虚轴的单位为i,所以错;正确.答案：123123123【做一做3-1】复数i+2i2的共轭
4、复数是()A.2+i B.2-iC.-2+iD.-2-i解析：i+2i2=-2+i,其共轭复数是-2-i.答案：D123【做一做3-2】满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是()A.一条直线 B.两条直线C.圆D.椭圆121.如何理解复数的两种几何形式? 剖析：这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.12122.复数的模、共轭复数有什么联系? 题型一题型二题型三题型四复数的几何表示 【例题1】已知aR,则z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的
5、点在第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么?分析：根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关;求复数z对应的点的轨迹问题,首先把z表示成为z=x+yi(x,yR)的形式,然后寻求x,y之间的关系,但要注意参数限定的条件.题型一题型二题型三题型四解：a2-2a+4=(a-1)2+30,a2-2a+2=(a-1)2+10,复数z的实部为正,虚部为负,即复数z对应的点在第四象限.上述两式相加,得x+y=2.又x=a2-2a+4=(a-1)2+33,复数z对应的点的轨迹是一条射线,其方程为x+y-2=0(x3).题型一题型二题型三题型四共轭复数 【例题2】
6、已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值.分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x,y.解：因为i-3x的共轭复数为-3x-i,所以x-1+yi=-3x-i,题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四复数的模 分析：根据模的定义及几何意义来求解. 题型一题型二题型三题型四(2)由|z2|z|z1|,得1|z|2.因为|z|1表示圆|z|=1上及其外部所有点组成的集合,|z|2表示圆|z|=2上及其内部所有点组成的集合,所以符合题设条件的点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括边界),如图.题型一题型二题型三题型四反思复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离.计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部,再利用公式进行计算,复数的模可以比较大小.题型一题型二题型三题型四易错辨析 易错点:复数的模是实数的绝对值概念的扩充,但在求解有关问题时,不能当成实数的“绝对值”加以求解,否则易丢解、漏解,造成答案不完整或错误.题型一题型二题型三题型四123451若复数a+bi(a,bR)在复平面内对应的点在第二象限,则()A.a0,b0,b0C.a0,b0D.a0答案：D1234512345123454复数z=1+itan 200的模是. 12345
