《多元复合函数的求导法则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元复合函数的求导法则（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、一、 链锁法则链锁法则二、二、 全微分的形式不变性全微分的形式不变性多元复合函数的求导法则一、链锁法则引入：复合函数怎样求它的偏导数？问：若上面三个函数都是具体函数，那么， 它们的复合函数也是具体函数，当然， 我们会求它的偏导数。但是，若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，那么，它们的复合函数也是抽象函数， 它的偏导数又怎么求？多元复合函数的求导法则这是一个新问题， 要求出这样一个函数的偏导数，还需要新的公式。 这就是下面要研究的多元函数的求导法则（或链锁法则）。多元复合函数的求导法则定理1 设函数 及 都在点t可导，函数z=f(u
2、,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 在点t可导 ，且有1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形来讨论：多元复合函数的求导法则将上式两边同时除以 ，得证：这时的对应增量为获得增量由第三节定理2 的证明过程，我们可得到由此，函数z=f(u,v)相应地其中，多元复合函数的求导法则令取极限，得，即即多元复合函数的求导法则=多元复合函数的求导法则 如果函数 都在点 t 可导，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w) 具有连续偏导数，则复合函数 在点 t 的导数存在，且有注多元复合函数的求导法则2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理
3、2 如果函数 及 在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 在点(x,y)的两个偏导数存在，且有多元复合函数的求导法则已知对y的偏导数，在点(x,y)具有对x及函数 z=f (u,v) 在对应点 (u , v) 具有连续偏导数，现在，将 y 取定为常数， 则由定理1得+得复合函数对 x 的偏导数存在，且有同理，将 x 取定为常数，则可得（4）式.此即（3）式.多元复合函数的求导法则 为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公式(3)、(4)的
4、示意图如下：zuvxy多元复合函数的求导法则在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算： 设 都在点(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)有连续偏导数，则复合函数注多元复合函数的求导法则(1)求下列函数的复合函数的导数或偏导数(3)(2)多元复合函数的求导法则解 (1)+=+=+多元复合函数的求导法则(2)+=+多元复合函数的求导法则+=(3)+相同, 但所表示的意思不同! 必须加以区别!对自变量 x的偏导数对中间变量 x的偏导数多元复合函数的求导法则为了避免混淆,一般地,将对中间变量的偏导数记为将对自变量的偏导数记为多元复合函数的求导法则
5、例如上面的(3)可写为: +=+=+多元复合函数的求导法则注意： 这里 与 是不同的， 是把复合函数 中的y看作常数而对x的导数, 是把 f(u,x,y) 中的 u 及y看作常数而对x的导数. 与 也有类似的区别.多元复合函数的求导法则由复合函数求导法则得解：=+=+多元复合函数的求导法则例2解：+=+=+=+=多元复合函数的求导法则例3解：+=+多元复合函数的求导法则解：+=+多元复合函数的求导法则解注多元复合函数的求导法则例6 设 ，f 具有二阶连续偏导数,求这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数， 下标2表示对第二个中间变量v求偏导数.解同理有多元复合函数的求导法则因所给函数由w=f(
6、u,v)及u=x+y+z，v=xyz复合而成，所以根据复合函数求导法则，有 =+根据复合函数求导法则，有+=+=+仍是 x, y, z的复合函数，多元复合函数的求导法则+=+()+=+多元复合函数的求导法则例7 设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中形式.解=由（1）式得这样，可看作由复合而成.得多元复合函数的求导法则两式平方后相加，得根据复合函数求导法则，得多元复合函数的求导法则=+=多元复合函数的求导法则再求二阶偏导数，得=+多元复合函数的求导法则=多元复合函数的求导法则=+多元复合函数的求导法则同理可得两式相加，得多元复合函数的求导法则二、全微分形式不变性: 设函数 具有连续偏导数，则有全微分若u、v又是x、y的函数, ，且这两个函数也具有连续偏导数, 则复合函数的全微分为多元复合函数的求导法则所谓全微分的形式不变性是指: 无论z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分的形式不变性.=+证=+多元复合函数的求导法则例8 用全微分形式不变性解下题:解: 将du、dv代入，得多元复合函数的求导法则
