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1、微 积 分 (下)微微积分分微分微分积分分1微积分极限与连续一元函数无穷级数多元函数微分方程差分方程导数与微分积分刻画函数的改变中值定理（洛必达法则）导数的应用（画函数图形）不定积分（求导的逆运算）定积分偏导数和全微分重积分刻画函数的变化率计算：求导数、求微分关于本门课程的学习方法关于本门课程的学习方法: :1 1）课前预习）课前预习（前一天通读下次要讲的内容）（前一天通读下次要讲的内容）. . 2 2）认真听讲）认真听讲（提倡超前的动脑思维）（提倡超前的动脑思维）. . 3 3）课后复习）课后复习（弄懂每一个细节（弄懂每一个细节, ,并适当看一些参考书并适当看一些参考书, ,帮帮助并加深理解
2、该讲的内容）助并加深理解该讲的内容）. . “成功就是成功就是简单的事情反复做简单的事情反复做” 李开复李开复花时间学习！花时间学习！最好的学习方法最好的学习方法奥巴马的同学，曾任微软中国研究院院长、奥巴马的同学，曾任微软中国研究院院长、GoogleGoogle全球副总裁兼中国区总裁全球副总裁兼中国区总裁 4 4）完成作业）完成作业（要独立完成（要独立完成, ,可以讨论或询问可以讨论或询问, ,但切忌抄袭）但切忌抄袭）. .吴巧梅老师吴巧梅老师5 5）小结）小结（总结所学内容、归纳方法、写出体会（总结所学内容、归纳方法、写出体会).).3一道有意一道有意义的的计算算题！如果令如果令ABCDEF
3、GHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ分分别等于百分之等于百分之1234567891011121314151617181920212223242526那么那么Hardwork（努力工作）（努力工作）H+A+R+D+W+O+R+K=8+1+18+4+23+15+18+11=98%Knowledge（知（知识）K+N+O+W+L+E+D+G+E=11+14+15+23+12+5+4+7+5=96%Love（爱情）情）L+O+V+E=12+15+22+5=54%Luck（好运）（好运）L+U+C+K=12+21+3+11=47%4什么能使得生活变得圆满？什么能使得生活变得圆满？是是Money（金钱
4、）吗（金钱）吗?.M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72%是是Leadership（领导能力）吗（领导能力）吗?.L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=12+5+1+4+5+18+19+9+16=89%那么，什么能使生活变成那么，什么能使生活变成100%的圆满呢？的圆满呢？ATTITUDE（态度）（态度）A+T+T+I+T+U+D+E=1+20+20+9+20+21+4+5=100%一道有意一道有意义的的计算算题！5oAttitude-100%o态度决定一切！态度决定一切！61)1)考核成绩构成：考核成绩构成： 期末考试成绩：期末考试成绩：4040分分 平时成绩：平时成绩： 6
5、060分分关于本课程的要求：关于本课程的要求：平时成绩包括：平时成绩包括： 出勤：出勤：3030分分. .考勤缺一次扣考勤缺一次扣3 3分分, ,迟到一次扣迟到一次扣1 1分分, ,扣完为止扣完为止. . 作业：作业：1010分分. .少做一次扣少做一次扣2 2分分, ,扣完为止扣完为止. . 平时测验：平时测验：2020分分. . 缺一次扣缺一次扣5 5分分. .2)2)关于作业：关于作业： 1) 1)每两周收一次每两周收一次, ,用用作业纸作业纸写；写； 2) 2)每个班由每个班由课代表课代表收作业收作业, ,然后统一交给老师然后统一交给老师. .7一、复习：一、复习： 导数导数 : 微分
6、微分 : 关系关系 :可导可导可微可微微分学微分学导数导数: :描述函数变化快慢描述函数变化快慢. .微分微分: :描述函数变化程度描述函数变化程度. .微积分微积分积分学：积分学：微分学：微分学： 研究导数、微分及其应用研究导数、微分及其应用. .研究不定积分、定积分及其应用研究不定积分、定积分及其应用. .8记住常住常见函数的函数的导数公式：数公式：9记住常住常见函数的函数的导数公式：数公式：10四四则运算运算的求的求导法法则：注意：注意：复合函数求复合函数求导法法则：初等函数在定初等函数在定义区区间内可内可导,且且导数仍数仍为初等函数初等函数.11第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一
7、节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质第二节第二节 换元积分法换元积分法第三节第三节 分部积分法分部积分法12第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质三、不定积分的性质13比如：已知直线运动的位置函数比如：已知直线运动的位置函数S = S(t)，用微分法，用微分法可求运动速度可求运动速度:但若已知运动速度但若已知运动速度v(t)，怎么求其位置函数，怎么求其位置函数S(t)呢？呢？在数学中，一般来说一种运算的出现都伴随着它的逆运算在数学中，一般来说一种运算的出现都伴随着它的逆运算.
8、引言引言微分微分(求导求导)是否有逆运算？若有是否有逆运算？若有,是什么？是什么？例如：例如：加法加法的逆运算是的逆运算是减法减法;乘法乘法的逆运算是的逆运算是除法除法;指数指数的逆运算是的逆运算是对数对数等等.微分微分有逆运算，有逆运算，不定积分不定积分是微分的逆运算！是微分的逆运算！ 14例例1定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 求给定函数的原函数是积分学中的第一个基本问题，求给定函数的原函数是积分学中的第一个基本问题，也是本章讨论的中心问题。也是本章讨论的中心问题。15 1 1）已知函数）已知函数 应具具备什么条件，才可以保什么条件，才可以保证它的它的原函数
9、一定存在？原函数一定存在？ 原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. .问题：问题：2)如果如果f (x)有原函数，一共有多少？即有原函数，一共有多少？即原函数是否唯一原函数是否唯一？当一个函数具有原函数时，它的原函数不只是一个当一个函数具有原函数时，它的原函数不只是一个. 比如：比如：cosx的原函数除的原函数除sinx外，外，一般地，一般地，设F(x)是是f (x)的一个原函数，则的一个原函数，则对于任意的对于任意的常数常数C，F (x)+C也是也是f (x)的一个原函数的一个原函数.都是都是cosx的原函数。的原函数。16例例（C C 为
10、任意常数）为任意常数）3)F (x)的原函数不唯一，那这些原函数之间有什么联系的原函数不唯一，那这些原函数之间有什么联系？只差一个常数只差一个常数 ， 即当即当C为任意常数任意常数时，表达式，表达式就可以表示就可以表示的任意一个原函数。的任意一个原函数。 设是是的另一个原函数，即的另一个原函数，即则(C(C为常数），常数）， 结论：结论：如果函数如果函数f(x)有一个原函数有一个原函数F(x)，那末它就有无穷，那末它就有无穷多个原函数，并且多个原函数，并且f(x)的无穷多个原函数仅限于的无穷多个原函数仅限于F(x)+C.17任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数定义定义2：被被积积表表达
11、达式式积积分分变变量量求求f (x) 的不定积分，只要找出它的一个原函数的不定积分，只要找出它的一个原函数,再加再加任意常数即可任意常数即可.检验检验不定积分运算是否正确，只需求导验证不定积分运算是否正确，只需求导验证.18例例1 1：求求解：解：19解：解：例例2 2：求求20例例3：已知已知,求求解：解：21例例4：求求解：解：而而这是因为这是因为不定积分答案形式不惟一，但本质是一样的不定积分答案形式不惟一，但本质是一样的!即选择的不同原函数之间仅仅相差一个常数即选择的不同原函数之间仅仅相差一个常数C.22这两个原函数的图像可以通过这两个原函数的图像可以通过“上下平移上下平移”互互变变,表
12、明这两个函数在任一点的函数值都只相差一个常数表明这两个函数在任一点的函数值都只相差一个常数。思考：思考：的的全部原函数全部原函数的图像应该是什么样子的？的图像应该是什么样子的？232424f (x)的不定积分，是的不定积分，是f (x)的的“全部原函数全部原函数”，它可，它可以表示为以表示为“f (x)的一个原函数加任意常数的一个原函数加任意常数C ” 的形式。的形式。“不定积分不定积分”与与“原函数原函数”的联系和区别的联系和区别f(x)的原函数，是的原函数，是f (x)求导以前求导以前“原来的函数原来的函数”；为了形象地理解为了形象地理解“f (x)的原函数的原函数”的概念，我们用的概念，
13、我们用“填空填空”的方式来说明的方式来说明“原来的函数原来的函数”的含义：的含义：的括号中需要填的，就是的括号中需要填的，就是的的原函数原函数.25以前接触的运算，先做运算再做逆运算相当于没有变以前接触的运算，先做运算再做逆运算相当于没有变化，例如：化，例如：不定积分是微分的逆运算，对函数进行先微分再积分不定积分是微分的逆运算，对函数进行先微分再积分的运算和先积分再微分的运算，函数是否也没有变化？的运算和先积分再微分的运算，函数是否也没有变化？积分与微分的关系积分与微分的关系26设设F(x)为为f (x)的一个原函数，的一个原函数，先微分再积分先微分再积分:先积分再微分先积分再微分:结论：结论
14、：27显然，求不定积分得到一积分显然，求不定积分得到一积分曲线族曲线族.2.2.不定积分的几何意义：不定积分的几何意义： 在每一条积分曲线上横坐标在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，这些切线是相同的点处作切线，这些切线是彼此平行的。彼此平行的。 一个原函数对应于一条积分曲线一个原函数对应于一条积分曲线不定积分则对应于积分曲线簇不定积分则对应于积分曲线簇无数条积分曲线无数条积分曲线被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率同一横坐标处，切线平行同一横坐标处，切线平行28例：例：设曲线通过点（设曲线通过点（1 1，2 2），且其上任一点处的切线），且其上任一
15、点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. .解：解： 设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1 1，2 2）所求曲线方程为所求曲线方程为29二、二、 基本积分表基本积分表 积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式公式得出积分公式. .( k( k是常数是常数););3031证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质三、不定积分的性质（不定积分的线性运算）（不定积分的线性运算
16、）32例：例：计算不定算不定积分分解：解：注意：注意：本题化为三个积分，应出现三个任意常数，但由其本题化为三个积分，应出现三个任意常数，但由其任意性，可写成一个任意常数。任意性，可写成一个任意常数。33解：解：例：例： 求积分求积分34例：例：求不定求不定积分分解：解：35例：例：求（求（1 1） （2 2）解：解：（1）（2）36例：例：求积分求积分解：解：说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表才能使用基本积分表. .37例例1：求求解：解：38基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、 小结小结39思考题思考题 符号函数符号函数在在内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以在在内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有原函数的函数都没有原函数.40
