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1、第一章第一章 古古典概型和概率空间典概型和概率空间1. 条件概率和乘法公式条件概率和乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B) 2. 事件的独立性事件的独立性 对对 任任 意意 的的 事事 件件 A， B， 若若 P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件则称事件A，B是相互独立的。是相互独立的。3. 全概率公式和全概率公式和Bayes公式公式离散型随机变量连续型随机变量概率分布函数随机变量函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1.1.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布2. 2. 几种常用的离散型随机变量几种常用的离散型随机变量1.两点分布 (Bernoulli分
2、布) 2.二项分布 (Binomial分布)3.泊松分布(Poisson 分布)4.几何分布(Geometric分布)分布函数分布函数分布列分布列3.分布列与分布函数的关系图示如下分布列与分布函数的关系图示如下4.4.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 设设 X 是离散型是离散型随机变量，随机变量，其分布列为其分布列为Y 是是 X 的函数的函数 ， 则则 Y 也是离散也是离散型随机变量型随机变量. . 它的取值为它的取值为或或设设X 是随机变量是随机变量, ,如果存在非负函数如果存在非负函数使得对任何满足使得对任何满足 的的 有有则称则称 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,
3、,称称 是是 X 的的概率密度函数概率密度函数, ,简称为简称为概率密度概率密度或或密度密度1.1.连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布2. 2. 几种几种常用的常用的连续型随机变量连续型随机变量1.均匀分布(Uniform 分布) 2.指数分布(Exponential 分布) 3.3.正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）重要结论重要结论 若若 ，则，则 1 1、3 3、2 2、3. 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数 1 1、 如果如果 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, 有概率有概率 密度密度 则则 并且在并且在 的连续点有的连续点有 4.4.连续型随机变
4、量函数的分布连续型随机变量函数的分布也是连续型随机变量. 试求 Y = g ( X ) 的密度函数 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 再设 Y = g ( X )是 X 的函数，假定 Y （1）先求 Y = g ( X ) 的分布函数（2）利用 Y = g ( X ) 的分布函数与密度函数的关系 ，求 Y = g ( X ) 的密度函数 设设 X X 是一个取值于区间是一个取值于区间 a , b a , b ，具有，具有概率密度概率密度 f f ( ( x x ) ) 的连续型随机变量的连续型随机变量 ；又设；又设 y = g y = g ( ( x x ) ) 处处可导，且对于任意处处
5、可导，且对于任意 x x , , 恒有恒有 或恒有或恒有 ；则则 Y = g Y = g ( (X X) ) 是一个连续型随机变量是一个连续型随机变量 , , 它的概率密度为它的概率密度为定理定理 其中，其中， x = h x = h ( ( y y ) ) 是是 y = g y = g ( ( x x ) ) 的反函数的反函数定理定理 5.1 (5.1 (续续) )上逐段严格单调，其上逐段严格单调，其反函数分别为反函数分别为随机变量，其概率密度为随机变量，其概率密度为若若 g g ( ( x x ) ) 在不相叠的区间在不相叠的区间均为连续可导函数，那么均为连续可导函数，那么Y = g (
6、x ) 是连续型是连续型补充定理补充定理第第 3 章章随机向量及其独立性随机向量及其独立性联合分布边缘分布随机变量的独立性随机向量函数的概率分布1. 二维离散型随机向量二维离散型随机向量 ( X,Y ) 的分布律的分布律联合分布律的性质联合分布律的性质2.边缘分布列边缘分布列3. 离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性 1. 连续型随机向量联合概率密度连续型随机向量联合概率密度 联合概率密度的联合概率密度的性质性质2. 联合分布与联合密度联合分布与联合密度连续型随机变量连续型随机变量(X,Y)，其概率密度，其概率密度与分布函数的关系如下：与分布函数的关系如下：同理，同理， Y的的边缘密度
7、为边缘密度为X的的边缘密度为边缘密度为3. 3. 边缘密度边缘密度4. 连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性1. 二维均匀分布2. 二维正态分布五、两个常用的分布五、两个常用的分布下面介绍两个常用的二维随机变量.均匀分布均匀分布 设D为平面上的区域, 面积若 (X,Y)的联合密度为则称(X,Y)在D上服从均匀分布.二二 维正态分布维正态分布一个重要的结论一个重要的结论即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,5. 随机向量的函数的分布随机向量的函数的分布 设设(X, Y)是二维随机变量是二维随机变量,z = (x, y)是一个是一个已知的二元函数已知的二元函数,如果当如果当(X,
8、Y)取值为取值为(x, y)时时, 随机变量随机变量Z取值为取值为z = (x, y),则则称称Z是二维随是二维随机变量的函数机变量的函数,记作记作Z = (X, Y)问题问题: 已知已知(X, Y)的分布的分布, 求求Z = (X, Y)的分布的分布.一、离散型随机向量函数的分布一、离散型随机向量函数的分布 二、连续型随机变量函数的概率分布二、连续型随机变量函数的概率分布1. 已知已知(X,Y) f(x,y)，求，求Z = (X,Y)的概率分布的概率分布. 2. 若若Z为连续型随机变量为连续型随机变量, 则在则在 f(z) 的连续的连续点处点处推论推论 设设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密度
9、分别为的边缘密度分别为fX(x) , fY(y). 若若X和和Y独立独立, 则则Z=X+Y的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式极大极小值的分布极大极小值的分布 设设X X，Y Y是两个是两个相互独立的相互独立的随机变量，随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为F FX X( (x x) )和和F FY Y( (y y), ), 求求M=M=max(max(X X, ,Y Y) ) 及及 N N= =min(min(X X, ,Y Y) )的分布函数的分布函数. .M=max(X,Y)FM(z) = PMz = Pmax(X,Y)z= PXz,Yz= PXz PYz= FX(z)
10、FY(z) 类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是=1-PXz,YzFN(z) =PNz =Pmin(X,Y) z=1 Pmin(X,Y) z=1- PXzPYz= 1-1-FX(z)1-FY(z) 第四章第四章 数学期望和方差数学期望和方差q 随机变量的平均取值随机变量的平均取值 数学数学 期望期望q 随机变量取值平均偏离平均值的随机变量取值平均偏离平均值的 情况情况 方差方差q 描述两个随机变量之间的某种关描述两个随机变量之间的某种关 系的数系的数 协方差协方差与与相关系数相关系数本本章章内内容容定义定义1.1：设离散型设离散型随机变量随机变量X 的概率分布为的概率分布为若无穷级数若
11、无穷级数绝对收敛绝对收敛，则称其和为随机变量，则称其和为随机变量 X 的的数学期望数学期望或或均值，均值，记作记作 E( X )。数学期望的定义数学期望的定义定义定义1. 2 ：设设 X 为连续型随机变量为连续型随机变量, , 其密度函数为其密度函数为，若积分，若积分绝对收敛绝对收敛，则称此积分为随机变量，则称此积分为随机变量 X 的的数学期望数学期望或或均值，均值，记作记作 E( X )。 离散型随机向量函数的数学期望离散型随机向量函数的数学期望q 设设X=(X1 , Xn)为离散型随机向量，概率为离散型随机向量，概率 分布为分布为Z = g(X1 , Xn),若级数若级数绝对收敛，则绝对收
12、敛，则连续型随机向量函数的数学期望连续型随机向量函数的数学期望q 设设X=(X1 , Xn)为连续型随机向量，联合为连续型随机向量，联合 密度函数为密度函数为 Z = g(X1 , Xn),若积分若积分绝对收敛，则绝对收敛，则A. 方差的概念和计算公式方差的概念和计算公式Var (X)=E(X-E(X)2性质性质2: Var(b+X)=Var(X) .特别地，特别地，若若X=C，C为常数，则为常数，则 Var(C)=0B. 方差的性质方差的性质Var (aX + b ) = a2 Var(X)性质性质3: 若若a,b为常数为常数, 则则性性质质1: 若若b为为常常数数,随随机机变变量量X的的方
13、方差差存存在在， 则则bX的方差存在，且的方差存在，且 Var(bX) = b2Var(X)若随机变量若随机变量X,Y 的方差都存在，的方差都存在，则则X+Y的方差存在，且的方差存在，且 性质性质5:性质性质4:Var(X Y)= Var(X) +Var(Y) 2cov(X,Y)若若X, Y 独立，独立， Var(X Y)= Var(X) +Var(Y)A. 协方差函数和相关系数协方差函数和相关系数协方差协方差相关系数相关系数协方差的性质协方差的性质q q q q q 当且仅当当且仅当时，等式成立时，等式成立Cauchy-Schwarz不等式不等式B. 协方差和相关系数的性质协方差和相关系数的
14、性质47相关系数的性质相关系数的性质q 48q X , Y X , Y 不相关不相关注：注：X X与与Y Y不相关不相关仅仅是仅仅是不线性相关不线性相关，可以非线性，可以非线性相关。相关。49q X,Y X,Y 相互独立相互独立X,Y X,Y 不相关不相关若若 X , Y X , Y 服从二维正态分布，服从二维正态分布，X,Y X,Y 相互独立相互独立X,Y X,Y 不相关不相关第五章第五章 极限定理极限定理强大数律强大数律中心极限定理中心极限定理 设随机序列设随机序列 独立同分布，并且独立同分布，并且 ，则有，则有 定理定理 （中心极限定理中心极限定理）这里这里 是标准正态分布的分布函数是标
15、准正态分布的分布函数. . 设随机序列设随机序列 独立同分布独立同分布, ,有共同有共同的数学期的数学期望望 和方差和方差 . 部分和部分和则则 的标准化的标准化依分布收敛到标准正态分布依分布收敛到标准正态分布. . 即对任何即对任何 , ,(3.2)点估计和矩估计最大似然估计抽样分布及其上分位数正态总体的区间估计第七章第七章 参数估计参数估计参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计点估计点估计 估计未知参数的值估计未知参数的值区间估计区间估计 根据样本构造出适当的区根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真值未知参数的
16、已知函数的真值记总体记总体k阶矩为阶矩为样本样本k阶矩为阶矩为用相应的样本矩去估计总体矩的用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为估计方法就称为矩估计法矩估计法. .1. 1. 矩估计法矩估计法矩估计的一般步骤矩估计的一般步骤设总体分布含有设总体分布含有m个未知参数个未知参数 1 ， m（1）根据未知参数的个数求总体的各阶矩根据未知参数的个数求总体的各阶矩（2 2）解方程组（即从方程组中解出未知参数）解方程组（即从方程组中解出未知参数）（3 3）用）用Ai代替上述方程组中的代替上述方程组中的 ，i=1,2,m得到得到i=1,2,m作为作为 的矩估计量的矩估计量i=1,2,m（4 4）若估计的
17、是参数的函数）若估计的是参数的函数则用则用代替代替得到得到作为作为的矩估计量的矩估计量最大似然估计法的基本思想：根据样本观测值，选择参数p的估计 ，使得样本在该样本值附近出现的可能性最大2. 2. 最大似然估计法最大似然估计法求最大似然估计求最大似然估计(MLE)(MLE)的一般步骤是：的一般步骤是：(1) (1) 由总体分布导出样本的联合分布列由总体分布导出样本的联合分布列 ( (或联合密度或联合密度););(2) (2) 把把样本联合分布列样本联合分布列( (或联合密度或联合密度) )中自变中自变 量看成已知常数量看成已知常数, ,而把参数而把参数 看作自变量看作自变量, , 得到得到似然
18、函数似然函数L L( );( );(3) (3) 求似然函数求似然函数 的最大值点的最大值点( (常转化为求对常转化为求对 数似然函数数似然函数 的最大值点的最大值点) ) 即即 的的MLE;MLE;离散型样本的似然函数离散型样本的似然函数连续型样本的似然函数连续型样本的似然函数点估计的无偏性点估计的无偏性则称 为 的无偏估计 .设是未知参数 的估计量，若注：注： 样本均值 与样本方差S2 分别是 总体均值和总体方差2的无偏估计量. 设设X1 ，X2, ,，Xn为来自总体为来自总体X F(x; )的一个的一个样本样本， 是未知参数是未知参数. 若对于给定的若对于给定的 （0 1），），存在两个
19、统计量存在两个统计量 使得对任意的使得对任意的 满足满足 区间估计区间估计则称随机区间则称随机区间 为参数为参数 的的置信水平置信水平(confidence level)为为1-1- 的的置信区间置信区间(confidence interval).置信水平置信水平又称为又称为置信度置信度，置信区间的左端点，置信区间的左端点 又称为又称为置信下界置信下界，置信区间的右端点，置信区间的右端点 又称为又称为置信上界置信上界. .正态总体参数的置信区间正态总体参数的置信区间总体总体个数个数待估待估参数参数条件条件枢轴枢轴 量量置置 信信 区区 间间一一个个正态总体参数的置信区间正态总体参数的置信区间总
20、体个数待估参数条件枢轴 量置 信 区 间一个第八章第八章 假设检验假设检验统计学专题：统计学专题：http:/bbs.pinggu.org/tongjixue/ 0 0 0 0 0均值的正态均值的正态 检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域 0 0 0 0 0均值的均值的T 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域 2 02 2 02 2 02 2 02 2= 02 2 02原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域( 未知)关于关于 2 2 的卡方检验法的卡方检验法
