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1、高中数学恒成立问题常见类型高中数学恒成立问题常见类型及解法及解法1优学课堂 在高三复在高三复习中中经常遇到不等式恒成立常遇到不等式恒成立问题。这类问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基向基本本类型型转化，正确化，正确选用函数法、最小用函数法、最小值法、数形法、数形结合法合法等解等解题方法求解。解方法求解。解题过程本身程本身渗透着换元、化归、数渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质
2、。2优学课堂 恒成立恒成立问题在解在解题过程中大致可分程中大致可分为以下几种以下几种类型：型：（1 1）一次函数型；）一次函数型；（2 2）二次函数型；）二次函数型；（3 3）变量分离型；量分离型；（4 4）利用函数的性）利用函数的性质求解；求解；（5 5）直接根据函数的）直接根据函数的图象求解；象求解；（6 6）反）反证法求解。法求解。下面分下面分别举例示之。例示之。3优学课堂一、一次函数型一、一次函数型4优学课堂典例导悟5优学课堂二、二次函数型二、二次函数型6优学课堂典例导悟7优学课堂8优学课堂三、变量分离型三、变量分离型【理论阐释理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量若
3、在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。9优学课堂典例导悟10优学课堂11优学课堂【理理论阐释】 若函数若函数f(x)f(x)是奇是奇( (偶偶) )函数，函数，则对一切定一切定义域中的域中的x,f(-x)= x,f(-x)= f(x)f(x)，(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数恒成立；若函数y=f(x)
4、y=f(x)的周期的周期为T T，则对一切定一切定义域中的域中的x,x,有有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)恒成立；若函数恒成立；若函数图象平移前后象平移前后互相重合，互相重合，则函数解析式相等。函数解析式相等。四、利用函数的性质解决恒成立问题四、利用函数的性质解决恒成立问题12优学课堂典例导悟13优学课堂14优学课堂五、五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的号两边对应函数的
5、图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。件，就能解决问题。15优学课堂典例导悟16优学课堂17优学课堂18优学课堂六、采用逆向思维，考虑使用反证法六、采用逆向思维，考虑使用反证法【理论阐释理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，有时会有问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村柳暗花明又一村”的效果，所谓的效果，所谓“正难则反正难则反”就是这个道理。就是这个道理。19优学课堂典例导悟20优学课堂21优学课堂22优学课堂
