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1、2.1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 第二章第二章 数列数列1沐风教育64个格子个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒 依次类推2沐风教育456781567812334264个格子你认为国王你认为国王有能力满足有能力满足上述要求吗上述要求吗每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是前 一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的 2倍 且共有且共有64 格子格子?184467440737095516153沐风教育三角形三角形数数1, 3
2、, 6, 10, . 正方形数正方形数1, 4, 9, 16, 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：提问：这些数有什么规律吗？提问：这些数有什么规律吗？4沐风教育v上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：v1，2，3，4的倒数排列成的一列数：的倒数排列成的一列数：v高一（高一（4）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：v-1的的1次幂，次幂，2次幂，次幂，3次幂，次幂，排列成一列数：排列成一列数：v无穷多个无穷多个1排列成的一列数：排列成的一列数：三角
3、形数：三角形数：1，3，6，10，正方形数：正方形数：1，4，9，16，5沐风教育共同特点：共同特点：1. 都是一列数；都是一列数；2. 都有一定的顺序都有一定的顺序1，3，6，10，1，4，9，16，6沐风教育定义：按一定顺序排列着的一列数称为定义：按一定顺序排列着的一列数称为问问1： 数列数列 ，2 ， 改为改为13 ， ，35 , 2 ， ， ，3531请问：是不是同一数列？请问：是不是同一数列？问问2: 数列数列改为：改为：-1，1，-1，11，-1，1，-1，请问：是不是同一数列？请问：是不是同一数列？(数列具有数列具有有序性有序性)7沐风教育数列中的每一个数叫数列中的每一个数叫做这
4、个数列的做这个数列的项项。各项依次叫做这个数列各项依次叫做这个数列的的第第1项项，第第2项项，第第n项项， 数列的分类数列的分类(1)按按项数项数分：分：项数有限的数列叫项数有限的数列叫有穷数列有穷数列项数无限的数列叫项数无限的数列叫无穷数列无穷数列(2)按按项之间的大小项之间的大小关系：关系：递增数列，递增数列， 递减数列，递减数列，摆动数列摆动数列，常数列。常数列。有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递增数列递增数列递减数列递减数列摆动数列摆动数列常数列常数列8沐风教育 数列的一般形式数列的一般形式可以可以 写成：写成：简记为简记
5、为 ,其中其中是数是数第第1项项 第第2项项 第第3项项第第n项项 的第的第n项项与项数之间的关系可以用一与项数之间的关系可以用一个公式来表示，个公式来表示，列的第列的第n项。项。 那么这个那么这个公式就叫做这个数列的公式就叫做这个数列的通项公式通项公式。如果数列如果数列=19沐风教育三三.数列数列的表示方的表示方法法第第n项项数列的一般形式数列的一般形式： 或简记为或简记为 . 与与 的的区别是什么？区别是什么？ 表示数列表示数列 ，而而 只表示这个数列的第只表示这个数列的第n项项.第第1项项(或首项或首项)序序号号1.列举法列举法10沐风教育序号序号n 1 2 3 4 20 项项数列的数列
6、的通项公式通项公式.数列数列 的第的第n项项 与与 n 之间的关系之间的关系 (公式公式) 数列可以看作是一个定义域为正整数集数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限（或它的有限子集子集1，2，n）的函数，那么数列的通项公式也就是相）的函数，那么数列的通项公式也就是相应函数的解析式应函数的解析式.2.通项公式法通项公式法11沐风教育 1 2 3 4 5 6 710 9 8 7 6 5 4 3 2 1yx特点：特点：它们都是一群孤立的点它们都是一群孤立的点. 1 2 3 4 5 6 710 9 8 7 6 5 4 3 2 1yx3.图象法图象法12沐风教育（1）（2） 例例1 根据下面
7、数列根据下面数列 的的通项公式，写出它的前通项公式，写出它的前5项：项：解：解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2， 3，4，5，得到数列 的前5项为 （2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，那么数列 的前5项为1，2， 3，4， 5.13沐风教育 例例2 写出数列的一个通项公式，写出数列的一个通项公式，使它的前使它的前4项分别是下列各数：项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项解：此数列的前四项1，3，5，7都都是序号的是序号的2倍减去倍减去1，所以通项公式，所以通项公式是：是：14沐风教育（2） 解：解：此数列的前四项的分母都此数列的前四项的分母都是序号加是序
8、号加1，分子都是分母的平方减，分子都是分母的平方减去去1，所以通项公式是：，所以通项公式是：15沐风教育（3） 解：解：此数列的前此数列的前4项的绝对值都等项的绝对值都等于序号与序号加上于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：项为负，偶数项为正，所以通项公式是：16沐风教育观察下面数列的特点，用适当的数填空，并观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：写出每个数列的一个通项公式：17沐风教育数列的通项公式唯一吗？是否每数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？个数列都有通项公式？基础知识梳理基础知识梳理18沐风教育
9、122.544.534567a1a2a3a4a512345xynan通项公式：通项公式：数列数列an的第的第n项项an与与n的关系式的关系式数列是一种特殊函数！数列是一种特殊函数！定义域是N*(或它的有限子集)19沐风教育（1）数列）数列an中是一列数，而集合中的元素中是一列数，而集合中的元素不一定是数；不一定是数；（2） 数列数列an中的数是有一定次序的，而集中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序；合中的元素没有次序；（3） 数列数列an中的数可以重复，而集合中的中的数可以重复，而集合中的元素不能重复。元素不能重复。思考：数列与集合的概念有何区别20沐风教育问题问题：如果一个数列如果一
10、个数列an的首项的首项a1=1，从第二，从第二项起每一项等于它的前一项的项起每一项等于它的前一项的2倍再加倍再加1， 即即 an = 2 an-1 + 1（n N，n1），（），（）你能写出这个数列的前三项吗？你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中其中an=2an-1+1(n1)称为称为递推公式递推公式。递推公。递推公式也是数列的一种表示方法。式也是数列的一种表示方法。21沐风教育定义定义 已知数列已知数列an的第一项的第一项(或前几项或前几项)，且任一项且任一项an与它的前一项与它的前一项an1(或前几或前几项项)间的关系
11、可以用一个公式来表示，间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式.22沐风教育递推公式是数列所特有的表示递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者推关系，一是初始条件，二者缺一不可缺一不可 23沐风教育例例1.已知数列已知数列an的第一项是的第一项是1，以后，以后的各项由公式的各项由公式讲解范例讲解范例:写出这个数列的前五项写出这个数列的前五项.给出，给出，24沐风教育例例1.已知数列已知数列an的第一项是的第一项是1，以后，以后的各项由公式的各项由公式讲解范例讲解范例:写出这个数
12、列的前五项写出这个数列的前五项.给出，给出，25沐风教育小结：小结：26沐风教育课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；27沐风教育课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是：28沐风教育课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是：(1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系.29沐风教育课堂小
13、结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是：(1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系.(2)对于对于通项公式通项公式，只要将公式中的，只要将公式中的n依次取依次取1, 2, 3, 4,即可得到相应的项，而即可得到相应的项，而递推公式递推公式 则要已知首项则要已知首项(或前或前n项项)，才可依次求出其，才可依次求出其 他项他项.30沐风教育课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；2
14、. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是：(1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系.(2)对于对于通项公式通项公式，只要将公式中的，只要将公式中的n依次取依次取1, 2, 3, 4,即可得到相应的项，而即可得到相应的项，而递推公式递推公式 则要已知首项则要已知首项(或前或前n项项)，才可依次求出其，才可依次求出其 他项他项.3. 用用递推公式递推公式求通项公式的方法：求通项公式的方法： 观察法、累加法、迭乘法观察法、累加法、迭乘法.31沐风教育思考题：思考题： 1、 写出下列数列的一个通项公式：写出下列数列的一个通项公式： （1）1，1，1，1； （2）2，0，2，0； （3）9，99，999，9999； （4）0.9，0.99，0.999，0.9999。答案： （1） （2） （3） （4）32沐风教育
