《矩阵的概念与运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的概念与运算（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章矩阵这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下：例1.1.1矩阵的概念一一.引例引例45例2.某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表： 44二、矩阵的概念二、矩阵的概念定义定义1.1设设F是由一些数组成的集合，其中包含是由一些数组成的集合，其中包含0和和1.如果如果F中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是仍然是F中的数，则称中的数，则称F为一个为一个数域数域.常见的数域常见的数域:有理数域有理数域Q、实数域、实数域R、复数域、复数域C.所有整数组成的集合不是数域所有整数组成的集合不是
2、数域.说明： 1.一般情况用大写字母A,B,C 等表示矩阵.2.矩阵中所有元素均为零,称为零矩阵,记为O.3.若m=n,则称A为n阶矩阵(方阵).三三. .几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵放在放在1.2后面讲后面讲定义定义1.3若若A 与与B有相同行数，相同的列数，并且对应位有相同行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等，则称置上的元素均相等，则称A=B.1.2矩阵的运算矩阵的运算举例举例一、矩阵的加法例1有某种物资(单位：吨)从3个产地运往4个销地,两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B,则从各产地运往各销地两次的物资调运量(单位：吨)共为定义以数 k乘矩阵 A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k
3、与矩阵A 的积，记作kA.例2.设3个产地与4个销地之间的里程(单位:公里)为矩阵A，已知货物每吨公里的运费为1.5元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费(单位:元/吨)可以记为矩阵二、数与矩阵的乘法负矩阵把矩阵中各元素变号得到的矩阵,称为A 的负矩阵,记作A.即运算律设A,B,C,O 都是矩阵,l ,k 是数,则（1）A + B =B+A（2）(A + B)+ C =A + (B + C)（3）A + O =A（4）A + (-A)=O（5）k (A +B)=kA + kB（6）(k + l)A = kA + lA（7）(kl)A = k (lA)三、矩阵的乘法例4某地区有4个工厂、,生产甲
4、、乙、丙3种产品,矩阵A表示一年中各工厂生产各种产品的数量,矩阵B 表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元),矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.单价单利总收入总利润讨论C 与A,B间的关系（厂的总收入）（厂的总利润）（厂的总收入）（厂的总利润）则矩阵A，B，C的元素之间有下列关系=矩阵A 第3行元素与矩阵B第1列对应元素乘积的和.=矩阵A第i 行元素与矩阵B第j 列对应元素乘积的和.注意：前一个矩阵的列数=后一个矩阵的行数.（前后位置不能互换）*矩阵乘法不满足交换律.1.两矩阵相乘的条件：例5求与矩阵 可交换的一切矩阵.解显然与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵,设为则方程组可以表示为矩阵形式矩阵的乘法有下列运算规则：(1)(AB)C =A(BC)(2)(A +B)C = AC +BC(3)C(A + B)= CA + CB(4)k(AB)=（kA)B = A(kB)现在证明(2).作业：作业：P162,4(2)(4)(7)四、矩阵的转置转置矩阵的性质：现证（4）矩阵AB 中第i 行第j 列的元素矩阵第j 行第i 列的元素A 中第i 行元素与B中第j 列对应元素乘积的和矩阵第j 行第i 列的元素B 中第j 列元素与A中第i 行对应元素乘积的和. 中第j 行元素与中第i 列对应元素乘积的和.五、方阵的幂对于方阵A 及自然数k称为方阵A 的k次幂.设A是方阵，k 是自然数，
