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1、1.补成三角形成三角形例例1.如如图1，已知，已知E为梯形梯形ABCD的腰的腰CD的中点；的中点；证明：明：ABE的面的面积等于梯形等于梯形ABCD面面积的一半。的一半。初中几何初中几何证明明题辅助助线训练营分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。初中数学几何证明题模型 分析：因分析：因为角是角是轴对称称图形，角平分形，角平分线是是对称称轴，故根据，故根据对称性作出称性作出辅助助线，不不难发现CFCF2CE2CE，再再证BDBDCFCF即可。即可。2.补成等腰三角形成等腰三角形例例2 如如图2.已知已知A90，ABAC，12，C
2、EBD，求，求证：BD2CE初中数学几何证明题模型3.补成直角三角形成直角三角形 例例3.如如图3，在梯形，在梯形ABCD中，中，ADBC，BC90，F、G分分别是是AD、BC的中点，若的中点，若BC18，AD8，求，求FG的的长。分析：从B、C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。图图3 3初中数学几何证明题模型4.补成等成等边三角形三角形例例4.图4，ABC是等是等边三角形，延三角形，延长BC至至D，延，延长BA至至E，使，使AEBD，连结CE、ED。证明：明：ECED分析：要证明ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长B
3、D到F，使BFBE，连结EF。初中数学几何证明题模型5.补成平行四成平行四边形形 例例5.如如图5，四，四边形形ABCD中，中，E、F、G、H分分别是是AB、CD、AC、BD的中点，并且的中点，并且E、F、G、H不在同一条直上，不在同一条直上，求求证：EF和和GH互相平分。互相平分。分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。初中数学几何证明题模型6.补成矩形成矩形例例6.如如图6，四，四边形形ABCD中，中，A60，BD90，AB200m，CD100m，求，求AD、BC的的长。分析：矩形具有分析：矩形具有许多特殊的性多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使，
4、巧妙地构造矩形，可使问题转化化为解直角三角形，于是解直角三角形，于是一些四一些四边形中形中较难的的计算算题不不难获解。解。图图6 6初中数学几何证明题模型7.补成菱形成菱形例例7.如如图7，凸五，凸五边形形ABCDE中，中，A=B120，EAABBC2，CDDE4，求其面，求其面积分析：延长EA，CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。图图7 7初中数学几何证明题模型8.补成正方形 例8.如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC45，BD3，DC2。求ABC的面积。图图8 8分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC45，ADBC出发，可以捕捉到利用轴对
5、称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。初中数学几何证明题模型9.补成梯形成梯形例例9如如图9，已知：，已知：G是是ABC中中BC边上的中上的中线的中点，的中点，L是是ABC外的一条直外的一条直线，自，自A、B、C、G向向L作垂作垂线，垂足，垂足分分别为A1、B1、C1、G1。求。求证：GG1 1/4(2AA1BB1CC1)。图图9 9分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题
6、快速获证。初中数学几何证明题模型1 1、在、在ABCABC中，中，AC=BCAC=BC，D D是是ACAC上一点，且上一点，且AEAE垂直垂直BDBD的延的延长线于于E E，又，又AE=BDAE=BD，求，求证：BEBE平分平分ABCABC。课后作后作业：2 2、如、如图，已知：在，已知：在ABCABC内，内，BAC=60BAC=60，ACB=40ACB=40，P P、Q Q分分别在在BCBC、CACA上，并且上，并且APAP、BQBQ分分别是是BACBAC、ABCABC的角平的角平分分线，求，求证：BQ+AQ=AB+BPBQ+AQ=AB+BP初中数学几何证明题模型3 3、已知：、已知：BAC
7、=90BAC=90，AB=ACAB=AC，AD=DCAD=DC，AEBDAEBD，求，求证：ADB=CDEADB=CDE4 4、设正三角形正三角形ABCABC的的边长为2 2，M M是是ABAB边上的中点，上的中点，P P是是BCBC边上的任意一点，上的任意一点，PA+PMPA+PM的最大的最大值和最小和最小值分分别记为S S和，求：和，求：S St t的的值。初中数学几何证明题模型5.ABC5.ABC中，分中，分别以以AB,AC,BCAB,AC,BC为边在同在同侧作等作等边三角形三角形ABD,BCF,ACE ABD,BCF,ACE 探究下探究下列列问题（1 1）当）当ABCABC满足足_条件
8、条件时，四，四边形形DAEFDAEF是矩形是矩形. .（2 2）当）当ABCABC满足足_条件条件时，四，四边形形DAEFDAEF是菱形是菱形. .（3 3）当）当ABCABC满足足_条件条件时，以以D D、A A、E E、F F为顶点的四点的四边形不存在形不存在. .如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形，首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB, BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可证:DA=FE所以:DAEF为平行四边形(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形则必须:角BAC=360
9、度-2*60度-90度=150度(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC90度)(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形，则必须:AB=AC(3)如果:角BAC=60度则:角DAE=3*60度=180度D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在据此,(2)的结论应稍加改变为:当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形初中数学几何证明题模型6.已知已知:如如图,三角形三角形ABC中中,BAC=90度度,ADBC于点于点D,BE平分角平分角ABC交交AD于点
10、于点M,EFBC于于F.求求证:四四边形形AEFM是菱形是菱形.解答：解答：CE是角平分是角平分线，EACA，EFCF，CE=CE，CAECFE，EA=EF，AEC=FEC，又又ADCB，EFCB，ADEF，AGE=GEF，AEG=AGE，AG=AE，AG=EF，四四边形形AGFE是平行四是平行四边形形有一有一组对边平行且相等的四平行且相等的四边形是平行四形是平行四边形形又又AG=AE，平行四平行四边形形AGFE是菱形是菱形一一组邻边相等的平行四相等的平行四边形是菱形形是菱形。即：四即：四边形形AEFG是菱形。是菱形。初中数学几何证明题模型7.如如图，在正方形，在正方形ABCD中，中，O为对角
11、角线AC和和BD的交点，的交点，E为CO上一点，上一点，连接接BE，F为OBE角平分角平分线上一点，上一点，连接接OF、AF，G为BE上一点且上一点且BO=BG。（。（1）若）若FGOF，OF=1,求求线段段OG的的长度；（度；（2）若）若AFB90，求，求证：AFBF+OG（1）、）、BF平分平分OBEOBF=GBFBO=BG，BF=BFOBFGBFOF=FGFGOFOFG是等腰直角三角形是等腰直角三角形OG=(OF+FG)=2（2）、作）、作OH垂直于垂直于OF交交AF于于HABCD是正方形，是正方形，BD、AC是是对角角线OA=OB，AOB=90HOF=90(做的做的OHOF)AOH=B
12、OF(同同为HOB的余角）的余角）AFB=AOB=90设AF与与OB交于交于M，OMA=FMB(对顶角）角）OAH(OAM)=OBF(MBF)在在AHO和和BOF中中OA=OB，AOH=BOF，OAH=OBFAHOBOFAH=BF，OH=OFOF=FG(第一步已第一步已经证明）明）OH=FGOFG=HOF=90(这一步有点一步有点问题，OFG在第一步是假在第一步是假设的，）的，）OG=FHAF=AH+HF=BF+OG初中数学几何证明题模型8.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E，F分别是边AB，BC的中点,点P在上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值为
13、多少？拓展：若点在AC上运动，存在PE+PF的最小值，则这个最小值为多少？解：依解：依题意得，当意得，当P为EF与与BD的交点的交点时，PE+PF最小，最小，为EF的的长.点点E、F分分别为AB、BC的中点，的中点，EF是是ABC的的中位中位线，EF=0.5AC=3. 即即PE+PF的最小的最小值为3.初中数学几何证明题模型拓展：用两拓展：用两张等等宽的的长方形方形纸条交叉重叠地放在一起条交叉重叠地放在一起,重合的重合的部分部分为四四边形形abcd，若，若长为8，宽为2，求四，求四边形形abcd的最大的最大9.将将俩张等等宽的的长方形方形纸条交叉叠放条交叉叠放,重叠部分是一个四重叠部分是一个四
14、边形形ABCD,若若AD6，ABC60，则四四边形形ABCD的面的面积是是?初中数学几何证明题模型10.如如图，已知菱形，已知菱形ABCD中，中，E,F分分别是是BC,CD上的点，且上的点，且B=EAF=60，BAE=18，求，求CEF的度数的度数证明：明：连接接AC菱形菱形ABCD中，中， B=60AB=BC=CD=DA， AB=AC，FCA=B=60，又，又EAF=60，CAF=BAE=18BAE全等于全等于CFA，AE=AFFEA=60，AEB=180-18-60=102CEF=180-FEA-AEB=180-60-102=18初中数学几何证明题模型11.如如图，ABC中，中，BAC=9
15、0，BG平分平分ABC，GFBC于点于点F，ADBC于点于点D，交，交BG于点于点E，连结EF。（1）、求）、求证：、AE=AG；四四边形形AEFG为菱形。菱形。（2）、若）、若AD=8，BD=6，求，求AE的的长。证明明:(1)AE=AG的关的关键是是证明明AGE=AEG；AEG=BED，又，又ADB=90；AEG+GBD=90；又因；又因为AGE+ABG=90且且BG为角角ABD的角平分的角平分线，因此可以推断，因此可以推断AEG=AGE，所以得出，所以得出AEG为等腰三角形，所以等腰三角形，所以AE=AG。 (2)线段段GF平行于平行于线段段AD，所以，所以AEGFGE；AGB=FGB，
16、有前面的条件可知，有前面的条件可知ABG=角角FBG，又，又BG=BG，所以三角形，所以三角形ABG全等于三角形全等于三角形GFB，所以，所以AG=AF，从而推出，从而推出AE=GF，根据菱形的定，根据菱形的定义：四：四边形形AEFG为平行平行四四边形，又形，又邻边相等，所以四相等，所以四边形形为菱形。菱形。(3) AD=8,BD=6,AB=BF=8,DE/GF,BD/BF=DE/FG.设AE=x，则ED=8-x,GF=X,即：6/10=(8-x)/x.解得x=8/3.初中数学几何证明题模型ABCDEFG（1）解：连接BD, 点E为CD边的中点,BECD BD=BCDBE=CBE FBE=2E
17、BC DBE=CBE=DBF BF=BG FBDGBC初中数学几何证明题模型13.如如图，在矩形，在矩形ABCD中。已知中。已知AD=12,AB=5，P是是AD上任上任意一点，意一点，PEBD，PFAC，E和和F分分别是垂足，求是垂足，求PE+PF的的值.A B D CPF E 提示：用三角形的等面积法. SABO=SAPO +SDPOO初中数学几何证明题模型14.已知：如已知：如图，在直角三角形，在直角三角形ABC中中,C=90, AD/BC,CBE= ABE.求求证：ED=2AB取取ED的中点的中点F 并与并与A连接接因因为，C=90，AD/BC，所以，所以EAB=90，AF为直角直角EA
18、B斜斜边ED上上的中的中线，AF=DF=1/2ED三角形三角形AED为等腰三角形，等腰三角形，D=FADD+FAD=2D=AFB又因又因为CBE=D（内（内错角），所以角），所以CBE=1/2AFB而已知而已知CBE=1/2ABE，所以，所以AFB=ABE，三角形子，三角形子BAF为等腰三等腰三角形，角形，AB=AF=1/21/2ED所以，所以，ED=2ABADBCEF初中数学几何证明题模型15.如如图，E是矩形是矩形ABCD边CB延延长线上一点上一点, CECA，F是是AE的中点的中点. 求求证：BFFD过F点做点做AD 的平行的平行线 交交AB 于于 G 点点,则 有有 FG 垂直于垂直于
19、 AB,三角形三角形 AFG 全全等于等于 三角形三角形 BFG （全等条件：（全等条件： F中点中点 所以所以 G 也是也是重点重点 AG=FG 都有一直角都有一直角 和和 公共公共边FG 边角角边） 所以所以 有有 AF= BF 角角FAB = 角角 FBA 又得又得 角角FAD=角角FBC（都加一直角）（都加一直角）,又又 AD=BC 所以所以 三角形三角形 FAD 全等于全等于三角形三角形 FBC (边角角边) 所以所以 有有 角角 BFC= 角角AFD 角角AFD + 角角DFC = 90 换量量 角角BFC+ 角角DFC = 90 ,所以所以 BF FD初中数学几何证明题模型圆的经
20、典例题模型解：解：连接接OA，设正方形正方形ABCD的的边长为X正方形正方形ABCD的的边长为XABBCCDXPOM45OCCDXOBBC+CD2XMN10OAMN/25AB+OBOAX+4X25X5X5AB51、如、如图，已知在，已知在圆O中，直径中，直径MN=10，正方形，正方形ABCD的的4个个顶点分点分别在半径在半径OM,OP,及及圆O上，且上，且POM=45，问：AB？M初中数学几何证明题模型2、如、如图，已知，已知A,B,C，为圆O上三点，上三点，D,E分分别为弧弧AB,弧弧AC的中点，的中点，连DE,分分别交交AB,AC于点于点F,G求求证：AF=AG证明：明：连接接OD、OE，分，分别与与AB、AC交于点交于点M、N，由垂，由垂径定理，径定理，ODAB，OEAC因因为OD=OE，所以，所以ODE=OED在在RtMDF与与RtNEG中中MFD=90-ODENGE=90-OED所以所以MFD=NGE，即，即AFG=AGF所以所以AF=AG，MN初中数学几何证明题模型
