《1.3 方阵的行列式【春苗教育】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.3 方阵的行列式【春苗教育】（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式1.3 方阵的行列式方阵的行列式二阶行列式的定义二阶行列式的定义n 阶行列式的定义阶行列式的定义行列式的性质行列式的性质行列式的计算行列式的计算*拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理P24-P24-1 1 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式一、二阶行列式的定义一、二阶行列式的定义1.Def.: 设矩阵设矩阵，则，则方阵方阵 A 的行列式的行列式，且，且记为记为 detA, 或或 =P24-P24-2 2 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 划去划去 A 中元中元 素素aij 所在的行、所在的列的元素，所在的
2、行、所在的列的元素，A 中剩下的中剩下的1. 余子式和代数余子式余子式和代数余子式设设 A = ( aij ) 是是n 阶矩阵，阶矩阵，的元素按照原来的排列顺序所组成的的元素按照原来的排列顺序所组成的 n 1 阶矩阶矩 阵的行列式，称为阵的行列式，称为元素元素 aij 的余子式的余子式，记作记作 Mij .令令 Aij = ( - 1 )i + j Mij 称称 Aij 为为元素元素 aij 的代数余子式的代数余子式 ( i, j = 1, , n ) 二、二、 n 阶行列式的定义阶行列式的定义P24-P24-3 3 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式2.Def.: n 阶矩阵阶
3、矩阵 A = ( aij ) 的行列式的行列式 (简称为简称为 n 阶行列式阶行列式 )defdefai1Ai1+ ai2Ai2 + + ainAin =式中式中 Ai1 , Ai2 , , Ain 是是 A 的第的第 i 行各元素的行各元素的代数余子式。代数余子式。二、二、 n 阶行列式的定义阶行列式的定义（该定义也称为（该定义也称为 按第按第 i 行展开）行展开），且，且注注:(1)行列式行列式是一个是一个数，数，而而 n 阶矩阵阶矩阵是一个是一个数表数表P24-P24-4 4 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式2.Def.: n 阶矩阵阶矩阵 A = ( aij ) 的行列
4、式的行列式 (简称为简称为 n 阶行列式阶行列式 )defdefai1Ai1+ ai2Ai2 + + ainAin =二、二、 n 阶行列式的定义阶行列式的定义（该定义也称为（该定义也称为 按第按第 i 行展开）行展开），且，且注注:(1)行列式行列式是一个是一个数，数，而而 n 阶矩阵阶矩阵是一个是一个数表数表a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj =defdef(2) 还可以按第还可以按第 j 列展开）列展开）P24-P24-5 5 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式二、二、 n 阶行列式的定义阶行列式的定义注注:(1)行列式行列式是一个是一个数，数，而而 n 阶
5、矩阵阶矩阵是一个是一个数表数表a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj =defdef(2) 还可以按第还可以按第 j 列展开）列展开）(3) 三阶三阶行列式行列式独有独有的的对角线展开法对角线展开法P24-P24-6 6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式二、二、 n 阶行列式的定义阶行列式的定义(3) 三阶三阶行列式行列式独有独有的的对角线展开法对角线展开法例例 1 设设设设，求，求，求，求 detdetA A P24-P24-7 7 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式二、二、 n 阶行列式的定义阶行列式的定义a1jA1j+ a2jA2j + + an
6、jAnj (3) 三阶三阶行列式行列式独有独有的的对角线展开法对角线展开法ai1Ai1+ ai2Ai2 + + ainAin 特例：对角形行列式特例：对角形行列式特例：对角形行列式特例：对角形行列式P24-P24-8 8 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式性质性质 1 | AT | = | A | 该性质表明，在行列式中，行与列的地位是相同的该性质表明，在行列式中，行与列的地位是相同的该性质表明，在行列式中，行与列的地位是相同的该性质表明，在行列式中，行与列的地位是相同的行列式有关行的性质对列也成立行列式有关行的性质对列也成立行列式有关行的性质对列也成立行列式有关行的性质对列也成
7、立性质性质 2 交换行列式的某两行交换行列式的某两行(列列)，行列式的值变号，行列式的值变号三、行列式性质三、行列式性质推论推论推论推论 若行列式中若行列式中若行列式中若行列式中有两行有两行有两行有两行 ( ( 列列列列 ) ) 的元素对应相等的元素对应相等的元素对应相等的元素对应相等，则，则，则，则该行列式该行列式该行列式该行列式等于等于等于等于0 0用数用数k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以该行列式乘以该行列式性质性质3该性质该性质该性质该性质 3 3 也可以叙述为：行列式某行也可以叙述为：行列式某行也可以叙述为：行列式某行也可以叙述为：行列式某行(
8、(列列列列) )的公因子可的公因子可的公因子可的公因子可因子可以提到行列式外面因子可以提到行列式外面因子可以提到行列式外面因子可以提到行列式外面P24-P24-9 9 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式性质性质 1 | AT | = | A | 性质性质 2 交换行列式的某两行交换行列式的某两行(列列)，行列式的值变号，行列式的值变号推论推论推论推论 若行列式中若行列式中若行列式中若行列式中有两行有两行有两行有两行 ( ( 列列列列 ) ) 的元素对应相等的元素对应相等的元素对应相等的元素对应相等，则，则，则，则该行列式该行列式该行列式该行列式等于等于等于等于0 0用数用数k乘以
9、行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以该行列式乘以该行列式性质性质3该性质该性质该性质该性质 3 3 也可以叙述为：行列式某行也可以叙述为：行列式某行也可以叙述为：行列式某行也可以叙述为：行列式某行( (列列列列) )的公因子可的公因子可的公因子可的公因子可因子可以提到行列式外面因子可以提到行列式外面因子可以提到行列式外面因子可以提到行列式外面若行列式中某两行若行列式中某两行若行列式中某两行若行列式中某两行( (列列列列) )的元素对应成比例，的元素对应成比例，的元素对应成比例，的元素对应成比例，则该行列式等于则该行列式等于则该行列式等于则该行列式等于0 0推论推论
10、推论推论2 2若行列式中某一行若行列式中某一行若行列式中某一行若行列式中某一行( (列列列列) )的元素全为的元素全为的元素全为的元素全为0 0，则该，则该，则该，则该行列式等于行列式等于行列式等于行列式等于0 0推论推论推论推论1 1P24-P24-1010 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式性质性质 1 | AT | = | A | 性质性质 2 交换行列式的某两行交换行列式的某两行(列列)，行列式的值变号，行列式的值变号用数用数k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以该行列式乘以该行列式性质性质3若行列式的某一行若行列式的某一行(列列)的所有
11、的所有元素都是两项元素都是两项之和之和，则则该行列式等于该行列式等于两个行列式之和两个行列式之和性质性质4一行一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列) ，行列式的，行列式的值不变值不变性质性质5P24-P24-1111 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式性质性质性质性质 1 1 | | A AT T | = | | = | A A | | 性质性质性质性质 2 2 交换行列式的某两行交换行列式的某两行交换行列式的某两行交换行列式的某两行( (列列列列) )，行列式的值变号，行列式的值变号，行列式的值变号，行列式的值变号用数用数用数用数k k乘以行列式的某一行乘以行列式的
12、某一行乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行( (列列列列) )，等于用数，等于用数，等于用数，等于用数k k乘以该行列式乘以该行列式乘以该行列式乘以该行列式性质性质性质性质3 3若行列式的某一行若行列式的某一行若行列式的某一行若行列式的某一行( (列列列列) )的所有的所有的所有的所有元素都是两项元素都是两项元素都是两项元素都是两项之和之和之和之和，则则则则该行列式等于该行列式等于该行列式等于该行列式等于两个行列式之和两个行列式之和两个行列式之和两个行列式之和性质性质性质性质4 4一行一行一行一行( (列列列列) )的的的的k k倍加到另一行倍加到另一行倍加到另一行倍加到另一行( (列列列列)
13、 ) ，行列式的，行列式的，行列式的，行列式的值不变值不变值不变值不变性质性质性质性质5 5例例例例3 3 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式4 4P24-P24-1212 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式性质性质性质性质 2 2 交换行列式的某两行交换行列式的某两行交换行列式的某两行交换行列式的某两行( (列列列列) )，行列式的值变号，行列式的值变号，行列式的值变号，行列式的值变号用数用数用数用数k k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行( (列列列列) )，等于用数，等于用数，等于用数，等于用数k k乘以该行列式乘以该行列式乘以该
14、行列式乘以该行列式性质性质性质性质3 3若行列式的某一行若行列式的某一行若行列式的某一行若行列式的某一行( (列列列列) )的所有的所有的所有的所有元素都是两项元素都是两项元素都是两项元素都是两项之和之和之和之和，则则则则该行列式等于该行列式等于该行列式等于该行列式等于两个行列式之和两个行列式之和两个行列式之和两个行列式之和性质性质性质性质4 4一行一行一行一行( (列列列列) )的的的的k k倍加到另一行倍加到另一行倍加到另一行倍加到另一行( (列列列列) ) ，行列式的，行列式的，行列式的，行列式的值不变值不变值不变值不变性质性质性质性质5 5性质性质性质性质6 6行列式中某一行行列式中某
15、一行(列列)的所有元素与另一行的所有元素与另一行(列列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即，即P24-P24-1313 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式性质性质性质性质6 6行列式中某一行行列式中某一行(列列)的所有元素与另一行的所有元素与另一行(列列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即，即定理定理 : 对于对于n 阶行列式，有阶行列式，有P24-P24-1414 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式四、行列式的计算四、行列式的计算例例例例4 4 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式
16、P24-P24-1515 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式四、行列式的计算四、行列式的计算例例例例4 4 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式P24-P24-1616 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式四、行列式的计算四、行列式的计算例例例例4 4 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式P24-P24-1717 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式四、行列式的计算四、行列式的计算例例例例4 4 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式(4) 已知已知求求P24-P24-1818 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式四、行列式的计算四、
17、行列式的计算例例例例2 2 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式P24-P24-1919 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式四、行列式的计算四、行列式的计算例例例例2 2 计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式P24-P24-2020 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式1. Def.: 1. Def.: 若若若若 k k 阶子式阶子式阶子式阶子式 MM 在在在在 A A 中所在的行和列的标号分中所在的行和列的标号分中所在的行和列的标号分中所在的行和列的标号分别为别为别为别为 i i1 1 , , i i2 2 , , , , i ik k ; ; j j1 1
18、 , , j j2 2 , , , , j jk k , , 则在则在则在则在 MM 的余子式的余子式的余子式的余子式 N N前添加符号前添加符号前添加符号前添加符号后，所得到的后，所得到的后，所得到的后，所得到的 n n k k 阶行列式，称为阶行列式，称为阶行列式，称为阶行列式，称为 k k 阶子式阶子式阶子式阶子式 MM 的的的的代数余子式代数余子式.子式子式子式子式 MM 的代数余子式记为的代数余子式记为的代数余子式记为的代数余子式记为 B B，即，即，即，即五、拉普拉斯定理五、拉普拉斯定理P24-P24-2121 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式组成的所有组成的所有组
19、成的所有组成的所有 k k 阶子式阶子式阶子式阶子式 MMi i （i i = 1, 2, , = 1, 2, , t t）与它们）与它们）与它们）与它们即即即即五、拉普拉斯定理五、拉普拉斯定理在在在在 中任意选定中任意选定中任意选定中任意选定 k k 行行行行( 1( 1 k k n n ) )，由这，由这，由这，由这 k k行元素行元素行元素行元素的代数余子式的代数余子式的代数余子式的代数余子式 B Bi i ( ( i i = 1, 2, , = 1, 2, , t t ) )乘积之和等于乘积之和等于乘积之和等于乘积之和等于 , ,例例 利用拉普拉斯定理，利用拉普拉斯定理，利用拉普拉斯定
20、理，利用拉普拉斯定理， 计算计算计算计算 4 4 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式P24-P24-2222 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式组成的所有组成的所有组成的所有组成的所有 k k 阶子式阶子式阶子式阶子式 MMi i （i i = 1, 2, , = 1, 2, , t t）与它们）与它们）与它们）与它们即即即即五、拉普拉斯定理五、拉普拉斯定理在在在在 中任意选定中任意选定中任意选定中任意选定 k k 行行行行( 1( 1 k k n n ) )，由这，由这，由这，由这 k k行元素行元素行元素行元素的代数余子式的代数余子式的代数余子式的代数余子式 B Bi i ( ( i i = 1, 2, , = 1, 2, , t t ) )乘积之和等于乘积之和等于乘积之和等于乘积之和等于 , ,推广：推广：P24-P24-2323 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式y作业作业: 第第34页页: 第第1题之（题之（6）；）； 第第3题之（题之（1）；）； 第第4题之（题之（4）；）； 第第6题之（题之（5）；）； 第第7题之（题之（1）。）。P24-P24-2424
