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1、第6课时 对数函数1.对数及运算法则对数及运算法则(1)对数的概念：如果对数的概念：如果axN(a0，且且a1)，那么数，那么数x叫做以叫做以a为底为底N的对数，的对数，记作记作 ，其中，其中a叫做对数的底数，叫做对数的底数，N叫做叫做 基础知识梳理基础知识梳理xlogaN真数真数(2)积、商、幂、方根的对数积、商、幂、方根的对数(M，N都是正数，都是正数，a0，且，且a1)loga(MN) ；loga ；logaMn .基础知识梳理基础知识梳理logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM(3)对数的换底公式及对数的恒等式对数的换底公式及对数的恒等式alogaNN(对数的恒等式，对数的
2、恒等式，a0，且，且a1，N0)；logaann(a0，且，且基础知识梳理基础知识梳理(a0，且，且a1，b0，且，且b1)；logaNloganNn(a0，且，且a1，N0，n0)基础知识梳理基础知识梳理2对数函数及性质对数函数及性质(1)一般地，我们把函数一般地，我们把函数y (a0，且且a1)叫做对数函数叫做对数函数(2)对数函数对数函数ylogax(a0且且a1)的图象的图象性质如下表所示：性质如下表所示：logax基础知识梳理基础知识梳理a10a10a1时，y0当当0x1时，y1时，y0当当0x0基础知识梳理基础知识梳理指数函数指数函数yax与对数函数与对数函数ylogax有何关系？
3、有何关系？【思考思考提示提示】对数函数数函数ylogax(a0，且，且a1)和指数函数和指数函数yax(a0，且，且a1)互互为反函数，反函数，它它们的的图象在同一坐象在同一坐标系中关于系中关于直直线yx对称称1以下四个结论：以下四个结论：lg(lg10)0；lg(ln e)0；若若10lgx，则，则x10；若若elnx，则，则xe2.其中正确的是其中正确的是()ABC D答案：答案：C三基能力强化三基能力强化Aa1，b0 Ba1，b0C0a1，b0 D0a1，b0答案：答案：A三基能力强化三基能力强化3.当当a1时，在同一坐标系中，函数时，在同一坐标系中，函数yax与与ylogax的图象是的
4、图象是()三基能力强化三基能力强化答案：答案：A三基能力强化三基能力强化答案：答案：1，)三基能力强化三基能力强化答案：答案：4课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一对数式的化简与求值对数式的化简与求值2利用对数的运算法则，将对利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算数真数的积、商、幂再运算3约分、合并同类项，尽量求约分、合并同类项，尽量求出具体值出具体值课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1【思路点拨思路点拨】运用对数的运算运用对数的运算法则，将对数式进行合并或分拆等法则，将对数式进行合并或分拆等课堂互
5、动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练比较同底的两个对数值的大小，比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成可利用对数函数的单调性来完成1a1，f(x)0，g(x)0，则，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0；20a1，f(x)0，g(x)0，则则logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二比较大小比较大小课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小(2)log1.10.7与与log1.20.7.【思路点拨思路点拨】(1)引入中间引入中间量比较；量比较；(2)利用对数函数的图象利用对数
6、函数的图象或利用换底公式或利用换底公式课堂互动讲练课堂互动讲练(2)法一法一：00.71,1.11.2，0log0.71.1log0.71.2.即由换底公式可得即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.法二：法二：作出作出ylog1.1x与与ylog1.2x的图象的图象如图所示，两图象与如图所示，两图象与x0.7相交可知相交可知log1.10.7log1.20.7.课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】比较大小常用比较大小常用的方法：的方法：(1)作差作差(商商)法；法；(2)利用函利用函数的单调性；数的单调性；(3)特殊值法特殊值法(特别是特别是1和和0为中间值为中间值)课
7、堂互动讲练课堂互动讲练与对数函数有关的复合函数的与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤单调性的求解步骤(1)确定定义域；确定定义域；(2)弄清函数是由哪些基本初等弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数成基本初等函数yf(u)，ug(x)；课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三对数函数的性质对数函数的性质(3)分别确定这两个函数的单调区分别确定这两个函数的单调区间；间；(4)若这两个函数同增或同减，则若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数，若一增一减，则为增函数，若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即为减函数，即“同增异减
8、同增异减”课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3已知已知f(x)log4(2x3x2)，(1)求函数求函数f(x)的单调区间；的单调区间；(2)求函数求函数f(x)的最大值，并求的最大值，并求取得最大值时的取得最大值时的x的值的值课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】(1)中求复合中求复合函数单调区间，依据函数单调区间，依据“同增异减同增异减”；(2)中注意中注意u2x3x2的最值与的最值与f(x)的最值的关系的最值的关系【解解】(1)先求定义域得，先求定义域得，x (1,3)，由于由于u2x3x2(x1)24在区间在区间(1,1上是增函数，在区间上是增函数，在区
9、间1,3)上是减函数，上是减函数，又由又由ylog4u在在(0，)上是增上是增函数，函数，故原函数的单调递增区间为故原函数的单调递增区间为 (1,1，递减区间为，递减区间为1,3)课堂互动讲练课堂互动讲练(2)因为因为u(x1)244，当当x1时，时，u4，所以，所以ylog4ulog441，所以当所以当x1时，时，f(x)取最大值取最大值1.【失误点评失误点评】最易忽视函数定最易忽视函数定义域义域课堂互动讲练课堂互动讲练解：解：由例由例3解析知，解析知，函数的增区间为函数的增区间为1,3)，减区间为，减区间为(1,1，无最大值，只有最小值无最大值，只有最小值1.课堂互动讲练课堂互动讲练互动探
10、究互动探究无论讨论函数的性质，还是利无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质，首先要分清其底数用函数的性质，首先要分清其底数a(0,1)还是还是a(1，)，其次再，其次再看定义域如果将函数变换，务必看定义域如果将函数变换，务必保证等价性保证等价性课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四对数函数的综合问题对数函数的综合问题课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)问是否存在实数问是否存在实数a，使函数，使函数f(x)loga(ax2x)在区间在区间2,4上上是增函数？如果存在，求出是增函数？如果存在，求出a的的取值范围；如果不存在，请说明取值范围；如果不存在
11、，请说明理由理由课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】这是存在性探索这是存在性探索问题，解题方法是先假设实数问题，解题方法是先假设实数a存在，存在，然后以此作条件求出然后以此作条件求出a的范围，考虑到的范围，考虑到a作为对数的底，要分作为对数的底，要分a1和和0a1时，时，为使函数为使函数f(x)loga(ax2x)在区间在区间2,4上是增函数，需上是增函数，需g(x)ax2x在在区间区间2,4上是增函数，故应满足上是增函数，故应满足课堂互动讲练课堂互动讲练又又a1，a1. 6分分当当0a1时，函数时，函数f(x)loga(ax2x)在区间在区间2,4上是增函数上是增函数. 12分分【误
12、区警示误区警示】无论无论a1或或0a0或或g(4)0.课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分10分分)已知函数已知函数f(x)loga(3ax)(1)当当x0,2时，函数时，函数f(x)恒有意恒有意义，求实数义，求实数a的取值范围；的取值范围；(2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a，使得，使得函数函数f(x)在区间在区间1,2上为减函数，并上为减函数，并且最大值为且最大值为1？如果存在，试求出？如果存在，试求出a的的值；如果不存在，请说明理由值；如果不存在，请说明理由课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅解：解：(1)由题设，由题设，3ax0，对一，对一切切x0,2恒成立，恒成立，
13、a0且且a1，a0，g(x)3ax在在0,2上上为减函数，为减函数， 3分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)假设存在这样的实数假设存在这样的实数a，由题设知由题设知f(1)1，课堂互动讲练课堂互动讲练当当x2时，时，f(x)没有意义，没有意义，故这样的实数故这样的实数a不存在不存在. 10分分规律方法总结规律方法总结复习对数、对数函数应注意下复习对数、对数函数应注意下列问题：列问题：1应重视指数式与对数式的应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决想，也往往是解决“指数、对数指数、对数”问问题的关键题的关键2指数函数指数函数yax与对数函数与对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数，可从概互为反函数，可从概念、图象、性质几方面理解它们间的念、图象、性质几方面理解它们间的联系与区别联系与区别3在讨论对数函数的性质时应注在讨论对数函数的性质时应注意定义域及对数底数的取值范围意定义域及对数底数的取值范围规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入
