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1、11.2.2 11.2.2 三角形的外角三角形的外角1.1.了解三角形外角的性质的推理过程了解三角形外角的性质的推理过程；2.2.能综合利用三角形的内外角和定理及外角的性质解决能综合利用三角形的内外角和定理及外角的性质解决问题问题. . 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（方都转了一个角度（1 1，2 2，3 3），那么回到原来位），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？123ABCD三角形的一边与另一边的延长线组成的三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三
2、角形的角，叫做三角形的外角外角画一个画一个ABC ABC ，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试，你能画出它的所有外角吗？请动手试一试同时想一想同时想一想ABCABC的外角共有几个呢？的外角共有几个呢？每一个三角形都有个外角每一个三角形都有个外角每一个顶点相对应的外角都有个每一个顶点相对应的外角都有个, ,它们相等它们相等. .注：每个外角与相应的内角互为补角注：每个外角与相应的内角互为补角A AB BC CD DE E若若BACBAC5555， B=60B=60，试求试求 ACB, ACD, CAEACB, ACD, CAE的的度数度数分别是分别是6565，115115，125125图中哪些
3、角是三角形的内角，哪些角图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？是三角形的外角？内角有：内角有：B,BAC,ACB.B,BAC,ACB.外角有外角有:EAC,ACD.:EAC,ACD. 通过上题的计算，你发现通过上题的计算，你发现ACDACD， CAECAE与三角形的与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说一说你能简述一下推导过程吗？一说你能简述一下推导过程吗？ACD= BAC+B; ACD+ ACB=180ACD= BAC+B; ACD+ ACB=180. .CAE= ACB+B; CAE+ BAC=180CAE=
4、 ACB+B; CAE+ BAC=180. .A AB BC CD DE E2.2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. .1.1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；三角形的一个外角与它相邻的内角互补；三角形的外角与内角的关系三角形的外角与内角的关系三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和它不相邻的两个内角的和. . 推论是由定理直接推出的结论推论是由定理直接推出的结论. .和定理一和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据样，推论可以作为进一步推理的依据. .1.1.求下列
5、各图中求下列各图中1 1的度数的度数. .30 60 1 1 35 120 1 145 50 1 19090959585852.2.如图，如图，D D是是ABCABC的的BCBC边上一点，边上一点，B BBADBAD，ADCADC8080, ,BAC=70BAC=70. . 求：（求：（1 1）B B的度数；的度数； （2 2）C C的度数的度数. .ABCD80807070【答案答案】（1 1）4040 （2 2） 7070 ABC123三角形的外角和为三角形的外角和为360360. .112 2 3 3 ? ?从哪些途径探究这个结果从哪些途径探究这个结果? ?ABC1232 2 ABC=1
6、80ABC=180, ,3 3 ACB=180ACB=180, ,三个式子相加得到三个式子相加得到1 12 23 3BACBACABCABCACB=540ACB=540, ,而而BACBAC ABCABCACB=180ACB=180, ,故故1 1 2 2 3 3360360. .方法一：方法一：1 1 BAC=180BAC=180, ,解：解：解：解：方法二：过方法二：过A A作作ADAD平行平行于于BCBC，3 34,4,BC1234A2 2BAD,BAD,所以，所以， 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 BAD=360BAD=360. .两直线平行，两直线平行，同位角相等同位角相等D
7、2 2 3 3 4 4BAD,BAD,判断题：判断题：1.1.三角形的外角和是指三角形所有外角的和三角形的外角和是指三角形所有外角的和. .（ ）2.2.三角形的外角和等于它内角和的三角形的外角和等于它内角和的2 2倍倍. .（ ）3.3.三角形的一个外角等于两个内角的和三角形的一个外角等于两个内角的和. .（ ）ABCDEF1H2【例例】已知已知: :国旗上的一个五角星如图所示国旗上的一个五角星如图所示. .求求:A+B+C+D+E:A+B+C+D+E的度数的度数. .【解析解析】设法利用外角把这五个角设法利用外角把这五个角“凑凑”到一个三角形到一个三角形中中, ,运用三角形内角和定理来求解
8、运用三角形内角和定理来求解. .【例题例题】 1= 1=B+D(B+D(三角形的一个外角等于与它不相邻的三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和两个内角的和).). 2= 2=C+E(C+E(三角形的一个外角等于与它不相邻的三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和两个内角的和).).又又A+1+2A+1+2=1=18080( (三角形内角和等于三角形内角和等于180180) )，又又 2 2是是EHCEHC的一个外角的一个外角( (外角的定义外角的定义),), A+B+C+D+EA+B+C+D+E =1 =18080( (等式的性质等式的性质).).【解析解析】11是是BDFBDF的一
9、个外角的一个外角( (外角的定义外角的定义),),AAB BC CD DE EF F . .123360360A AB BC CD DE EF F【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知已知ABCABC的一个外角为的一个外角为5050，则，则ABCABC一定是（一定是（ ）A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.钝角三角形钝角三角形C.C.直角三角形直角三角形 D.D.钝角三角形或锐角三角形钝角三角形或锐角三角形【解析解析】选选B. ABCB. ABC的一个外角为的一个外角为5050，则与这个外角相，则与这个外角相邻的内角是邻的内角是130130，所以，所以ABCABC一定是钝角三角形一定是钝角三角形.
10、 .2.2.（昆明昆明中考）如图，在中考）如图，在ABCABC中，中，CDCD是是ACBACB的平的平分线，分线，A = 80A = 80，ACB=60ACB=60，那么，那么BDC=BDC=（）（）A.80A.80 B.90 B.90C.100C.100 D.110 D.110D D A AB B C C【解析解析】选选D.D.因为因为CDCD是是ACBACB的平分线，的平分线，所以所以ACD= ACD= 6060=30=30，所以，所以BDC=A+ACD= 80BDC=A+ACD= 80+ 30+ 30= 110= 110. .3.3.（铜仁（铜仁中考）一副三角板，如图叠中考）一副三角板，
11、如图叠放在一起，放在一起，1 1的度数是的度数是_度度【解析解析】1=CBE+ADB =451=CBE+ADB =45+30+30=75=75. .【答案答案】75754.4.（潼南（潼南中考）如图，在中考）如图，在ABCABC中，中，A=80A=80, ,点点D D是是BCBC延延长线上一点，长线上一点，ACD=150ACD=150，则，则B=B= . .【解析解析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以角的和，所以B=150B=1508080=70=70. .【答案答案】70705.5.已知图中已知图中A A，B B，C C分别为分别为8080，2
12、020，3030，求求1的度数的度数. .B 3 32 21 1ACDE【解析解析】 1= 2+ B= A+ C+ B1= 2+ B= A+ C+ B= 80= 80+ 30+ 30+ 20+ 20= 130= 130. .1.1.三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论. . 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. . 2.2.三角形的外角和是三角形的外角和是360360. .通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握： 第一个青春是上帝给的；第二个青春第一个青春是上帝给的；第二个青春是靠自己努力得到的。是靠自己努力得到的。
