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1、第一节第一节 多元函数的极限及连续多元函数的极限及连续一、多元函数概念一、多元函数概念二、二、 多元函数的极限多元函数的极限三、三、 多元函数的连续性多元函数的连续性四四、 小结小结 习题课习题课（一）区域（一）区域一、多元函数的概念一、多元函数的概念 1. 邻域邻域设设 是是 平面上的一个点，是平面上的一个点，是某一正数，与点某一正数，与点 距离小于距离小于 的点的点 的全体，称为点的全体，称为点 的的 邻域，记为邻域，记为 或（或（ ）。）。2.内点内点注意注意:例如，例如，即为开集即为开集3. 开集开集:4. 边界点边界点:5. 连通连通记为记为 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为
2、区域或开区域例如，例如，例如，例如，6. 区域区域:7.有界集、无界集有界集、无界集有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，8. n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明： n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 设设 为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称 元数组元数组 的全体为的全体为 维空间，而每个维空间，而每个 元数组元数组 称为称为 维空间中的一维空间中的一个点，数个点，数 称为该点的第称为该点的第 个坐标个坐标 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平时，便为数轴、平面、空间两点间的距离面、空间两点间的距离 n维空间中邻域、区域等概念
3、维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域、聚点等概念也内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义可类似定义邻域：邻域：设两点为设两点为(二二) 二元函数的定义二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 设设 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点 ， 变变量量 按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称 是是变变量量 的的二元函数，记为二元函数，记为 （或或记记为为 ）.注注: :与单元函数类似与单元函数类似, ,对公式表示的多元对公式表示的多元1. 1. 定义定义例例1 1 求求 的定义的定义域
4、域解解所求定义域为所求定义域为函数函数, ,使此算式有意义的自变量所确定的点使此算式有意义的自变量所确定的点集为这个函数的定义域集为这个函数的定义域. .2. 二元函数二元函数 的图形的图形 设函数的定义域为设函数的定义域为 ，对于任意，对于任意取定的取定的 ，对应的函数值为，对应的函数值为 ，这样，以，这样，以 为横坐标、为横坐标、 为纵坐标、为纵坐标、 为竖坐标在空间就确定为竖坐标在空间就确定一点一点 ，当，当 取遍取遍 上一上一切点时，得一个空间点集，这个点集切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数称为二元函数 的图形的图形.二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.
5、例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,右图球面右图球面.单值分支单值分支:二、多元函数的极限二、多元函数的极限任意给定的正数任意给定的正数 ，总存在正数，总存在正数，使得，使得对于对于适合不等式适合不等式的一切点的一切点 ，都有，都有成立，成立，则称则称A为函数为函数 当当时的极限，记为时的极限，记为 (1)(1)二重极限二重极限邻域内有定义邻域内有定义( (在在P P0 0处可以没定义处可以没定义) )，如果对，如果对定义定义1 设函数设函数 在点在点某个去心某个去心说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重
6、极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元）二元函数的极限运算法则与一元函数类似函数类似证明极限存在不能用沿特殊方式证明；但证明极限存在不能用沿特殊方式证明；但证明极限不存在时，只需找自变量沿两种证明极限不存在时，只需找自变量沿两种不同方式趋近时，函数的极限值不同即可不同方式趋近时，函数的极限值不同即可.（4）当动点）当动点 进入定点进入定点 的的所对应的曲面所对应的曲面 介于平面介于平面邻域时，邻域时，之间。之间。例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 解解其中其中证证例例4 4 证明证明 不存在不存在 取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化
7、， 故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察确定极限不存在的常用方法确定极限不存在的常用方法：单元函数求极限的方法、技巧在求多单元函数求极限的方法、技巧在求多元函数极限时也可以用。元函数极限时也可以用。例例5 求求 解解 利用点函数的形式有利用点函数的形式有定义定义2 设设 元函数元函数 的定义域为点集的定义域为点集 是其内点，如果对于任意给定的正数是其内点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 的一切点的一切点 ，都有，都有 成立，则称成立，则称A为为 元函数元函数 当当 时的极限，记为时的极限，记为 (2) (2) 二元函数的累次
8、极限二元函数的累次极限解释解释: :固定固定 , ,考察考察若此极限若此极限存在存在, ,记记再考察极限再考察极限若此极限存在并且等于若此极限存在并且等于A,A,则则注注: :二重极限二重极限 累次极限累次极限例例1 1 讨论函数讨论函数 在原点的二重极在原点的二重极限和累次极限限和累次极限. . 解解 累次极限累次极限, ,对任意对任意 有有 故故同理得同理得二重极限二重极限 沿沿沿沿二重极二重极限不存限不存在在例例2 2 讨论函数讨论函数的二重极限和累次极限的二重极限和累次极限. .解解 先考察累次极限先考察累次极限右端极限不存在右端极限不存在, ,因此累次极限不存在因此累次极限不存在.
9、.同理另一个累次极限也不存在同理另一个累次极限也不存在. .二重极限二重极限存在等于存在等于0.0.三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性（1）多元函数连续的定义）多元函数连续的定义(2)(2)极限极限存在存在; ;(3)(3)定义定义3 3 若若满足下列条件满足下列条件: :在在的的某个邻域内有定义某个邻域内有定义; ;(1)(1)则称则称函数函数在点在点连续连续. .如果函数如果函数在在区域区域上每上每一点一点都连都连续，那么就称函数续，那么就称函数 在区域在区域 上连上连续。续。 设设 是是函函数数 的的定定义义域域的的内内点点，如如果果 在在 点点处处不不连连续续，则则称称 是是函数
10、函数 的间断点的间断点.定义定义 5：例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时例例7 7 讨论函数讨论函数在在(0,0)点的连续性点的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续多元函数的极限、连续与单元函数多元函数的极限、连续与单元函数具有相同的运算性质。具有相同的运算性质。例如：连续函数的加、减、乘、除例如：连续函数的加、减、乘、除（作除法时，分母不为零）及复合构（作除法时，分母不为零）及复合构成的函数仍是连续函数。成的函数仍是连续函
11、数。（2）多元初等函数）多元初等函数定义定义5 由多元多项式及基本初等函数经由多元多项式及基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的、过有限次四则运算和复合运算所构成的、可用一个式子表示的多元函数称为多元可用一个式子表示的多元函数称为多元初等函数。初等函数。结论结论： 多元初等函数在定义区域上连续。多元初等函数在定义区域上连续。例如，例如，在在xoy平面平面上连续。上连续。（3）闭区域上连续函数的性质）闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函上的多元连续函数，在数，在D上至少取得它的最大值和上至少取得它的最大值和最小值各一次最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D
12、上的多元连续函上的多元连续函数，如果在数，如果在D上取得两个不同的函上取得两个不同的函数值，则它在数值，则它在D上取得介于这两值上取得介于这两值之间的任何值至少一次之间的任何值至少一次1.最大值和最小值定理最大值和最小值定理2.介值定理介值定理例例8 8解解 因为因为为为初等函数，且初等函数，且在其在其定义区域内，所以定义区域内，所以多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题 若点若点 沿着无数多条平面曲线趋向沿着无数多条平面曲线趋向于于点点 时时，函函数数 都都趋趋向向于于A，能否断能否断 定定 ？思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取练练 习习 题题练习题答案练习题答案
