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1、第三章第三章 金属塑性变形的力学基础金属塑性变形的力学基础第四节第四节 本构方程本构方程 1基础教学第一讲第一讲 增量理论本构方程增量理论本构方程弹性应力应变关系特点弹性应力应变关系特点塑性应力应变关系特点塑性应力应变关系特点增量理论本构方程增量理论本构方程2基础教学 在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达，即律表达，即广义虎克定律广义虎克定律一般应力状态，用广义虎克定律：一般应力状态，用广义虎克定律：E弹性模量；弹性模量；v泊松比；泊松比；G切变模量（剪切模量）；切变模量（剪切模量）；弹性应力应变关系弹性应力
2、应变关系3基础教学弹性应力应变关系弹性应力应变关系 物体弹性变形时其单位体积变化率与平均应力成正比，说明应力物体弹性变形时其单位体积变化率与平均应力成正比，说明应力球张量使物体产生弹性的体积改变。球张量使物体产生弹性的体积改变。4基础教学弹性应力应变关系弹性应力应变关系5基础教学弹性应力应变关系弹性应力应变关系广义虎克定律的张量形式广义虎克定律的张量形式6基础教学弹性应力应变关系弹性应力应变关系广义虎克定律的其它形式广义虎克定律的其它形式7基础教学弹性应力应变关系弹性应力应变关系8基础教学弹性应力应变关系弹性应力应变关系弹性应变强度弹性应变强度令令9基础教学弹性应力应变关系弹性应力应变关系应力
3、与应变完全成线性关系，即应力主轴与应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合全量应变主轴重合; ;变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应变之间存在单值关系变之间存在单值关系; ;弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变化，泊松比变化，泊松比v v0.5;0.5;10基础教学塑性应力应变关系塑性应力应变关系弹性变形弹性变形- -对应，如对应，如c c永远对应永远对应 c c塑性变形塑性变形理想理想 s s对应任何应变对应任何应变硬化硬化s s e e ( (加载）加载） e e f f e e ( (卸载）卸
4、载） f f 11基础教学塑性应力应变关系塑性应力应变关系相同的应力状态（相同的应力状态（2 2、4 4、5 5），），对应不同的应变状态；对应不同的应变状态；相同的应变状态（相同的应变状态（1 1、2 2及及3 3、4 4）对应不同的应力状态。对应不同的应力状态。12基础教学塑性应力应变关系塑性应力应变关系1 1、应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变、应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变主轴与应力主轴不一定重合；主轴与应力主轴不一定重合；2 2、变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力、变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力- -应变关系不再保持单值关系；应变关系不再保持单值关系；3
5、3、塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量、塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比为零，泊松比v v=0.5=0.5；4 4、对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的、对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高。应力要高。13基础教学弹性应力应变关系塑性应力应变关系应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变主轴与应力主轴不一定重合变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应变之间存在单值关系变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力-应变关系不再保持单值关
6、系弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变化，泊松比v0，卸载时，卸载时d=017基础教学应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论Levy-Mises方程的其它形式方程的其它形式18基础教学应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论19基础教学应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论20基础教学应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论21基础教学应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论1)Levy-Mises方程仅适用于理想塑性材料，只给出应变增量与应力偏量之间的关系；2)由dij只能求出ij,而不能求出ij3)由ij只能求出dij的比,而不能求出dij 22基础教学证明以前提到的结论1)平面变
7、形：设dz=0,按体积不变条件 dx +dy=02)均匀轴对称：应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论23基础教学2、应力-应变速率方程（Saint- Venant 塑性流动方程）同除以dt应变速率张量等效应变速率（应变速率强度）Saint- Venant 塑性流动方程应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论24基础教学3、Prandtl-Reuss理论（ Prandtl-Reuss方程）在Levy-Mises理论的基础上，考虑弹性变形部分。Prandtl-Reuss方程可写成：应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论25基础教学总结总结： 1) Prandtl-Reuss理论考虑了弹性变形
8、，而Levy-Mises理论不考虑弹性变形，实质上后者是前者的特殊情况。由此看来， Levy-Mises理论仅适用于大应变，无法求弹性回跳及残余应力场问题， Prandtl-Reuss理论主要用于小应变及求解弹性回跳及残余应力问题。2) Prandtl-Reuss理论和Levy-Mises理论都着重指出了塑性应变增量与应力偏量之间的关系。即3)整个变形过程可由各瞬时段的变形积累而得，因此增量理论能表达加载过程的历史对变形的影响，能反映出复杂加载情况。4)上述理论仅适用于加载情况(即变形功大于零的情况)，并没有给出卸载规律，卸载情况下仍按虎克定律进行。应力应变关系增量理论应力应变关系增量理论26基础教学例：已知 用Mises准则求 时屈服，并求应 变增量比。解： 1） 代入Mises准则2）27基础教学小结小结v应力、应变关系的特点应力、应变关系的特点v增量理论本构方程增量理论本构方程28基础教学
