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1、 第五节第五节 平面及其方程平面及其方程 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法向量法向量法向量的法向量的特征特征： 垂直于平面的任一非零向量垂直于平面的任一非零向量已知已知设平面上的任一点设平面上的任一点必有必有一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程其中法向量其中法向量平面上一点平面上一点解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般式方程平面的一般式方程法向量法向量二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程平面的一般式方程的几种特殊情况：平面的一般式方
2、程的几种特殊情况：平面通过原点平面通过原点取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解即即设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程设所求平面为设所求平面为（两向量平行的充要条件）（两向量平行的充要条件）解解化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为由对称性，得：由对称性，得：也满足要求。也满足要求。定义定义（通常取锐角）通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角
3、. .三、两平面的夹角三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.解解点到平面的距离公式点到平面的距离公式解解设所求平面的法向量设所求平面的法向量从而有从而有即即（1）从而有从而有（2）由由(1)(2)解得解得: 另解：另解：另解：另解：即即平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般式方程一般式方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答
