1二次函数概念

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1、 在一个变化过程中在一个变化过程中, ,如果如果有两个变量有两个变量x x与与y, y, 并且对于并且对于x x的每一个的每一个确定的值确定的值,y,y都有唯一确定的值与其对都有唯一确定的值与其对应应, ,那么就说那么就说y y是是x x的函数的函数, x, x是自变量是自变量. .函数函数: :变量变量: :常量常量: : 在一个变化过程中可以取在一个变化过程中可以取不同数值的量叫变量不同数值的量叫变量. . 在一个变化过程中始终保在一个变化过程中始终保持不变的量叫常量持不变的量叫常量. .函数关系的表示方法函数关系的表示方法: :解析法解析法; ;列表法列表法; ;图像法图像法. .二次函

2、数二次函数变变量量之之间间的的关关系系函函数数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b (k0)正比例函数正比例函数y=kx (k0)y=k/x (k0) 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的设正方形的棱长为棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个值的每一个值,y都有都有一个对应值一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体关系可以它们的具体关系可以表示为表示为 问题问题: :y=6x2问题问题1 多边形的对角线数多边形的对角线数d d与边数与边数n n有什么关系？有什么关系？问题问题: :由图可以想出由图可以想出,如果多边形有如果多

3、边形有n条边条边,那么它有那么它有 个顶点个顶点,从一个顶点出发从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点连接与这点不相邻的各顶点,可以作可以作 条对角线条对角线.n(n-3) 因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连连接相同两顶点的对角线是同一条接相同两顶点的对角线是同一条对角线对角线,所以多边形的对角线总数所以多边形的对角线总数MN即即 式表示了多边形的式表示了多边形的对角线数对角线数d与边数与边数n之之间的关系间的关系,对于对于n的每一的每一个值个值,d都有一个对应值都有一个对应值,即即d是是n的函数的函数. 问题问题2 某工厂一种产品现在的年产量是某工厂一种产品现在的年产量是2020

4、件件, ,计划今后两年增加产量计划今后两年增加产量. .如果每年都比上一年的产如果每年都比上一年的产量增加量增加x x倍倍, ,那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y y将随计划将随计划所定的所定的x x的值而确定的值而确定, ,y y与与x x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？问题问题: : 这种产品的原产量是这种产品的原产量是20件件, 一年后的产量是一年后的产量是 件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是 件件,即即两年后的产量为两年后的产量为20(1+x)20(1+x)2即即 式表示了两年后的产量式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数与计划增产的倍数x之间之

5、间的关系的关系,对于对于x的每一个值的每一个值, y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数.y=6xy=6x2 2y=20xy=20x2 2+40x+20+40x+20d= nd= n2 2 n n1 12 23 32 2观察下列函数有什么共同点观察下列函数有什么共同点: :一般地一般地, ,形如形如 的函数的函数, ,叫做二次函数叫做二次函数. .其中其中, x, x是自变量是自变量, ,a a, ,b b, ,c c分别是函数表达分别是函数表达式的式的二次项系数二次项系数、一次项系数一次项系数和和常数项常数项. .y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 函数都是用自变

6、量函数都是用自变量的二次式表示的的二次式表示的. .(a,b,c都是常数都是常数,且且a0)一般地一般地, ,形如形如的函数的函数, ,叫做二次函数叫做二次函数. .其中其中, ,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项次项系数和常数项. .(1)(1)等号左边是函数等号左边是函数y y，右边是关于自变量右边是关于自变量x x的的 (3)(3)等式右边的最高次数为等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常，可以没有一次项和常数项，数项， 但但 . .注意注意: :(2) a,b,c(2) a,b,c为常数，且

7、为常数，且(4) (4) 自变量自变量x x的取值范围是的取值范围是 整式整式a0.a0.2 2任意实数任意实数y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)不能没有二次项不能没有二次项函数解析式函数解析式二次项系数二次项系数a a一次项系数一次项系数b b常数项常数项 c c00242158112130说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： 试一试试一试: :二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c+bx+c中中a0,a0,但但b b、c c可以为可以为0.0.例例1 1、下列

8、函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是, ,分别指分别指出二次项系数出二次项系数, ,一次项系数一次项系数, ,常数项常数项. . (1)y=x+ (1)y=x+ (2)v= r (3)y= x (4)s=32t1x_x1_(6) y=x(6) y=x+x+x+25+25(7)y=2(7)y=2+2x+2x(是是)(否否)(是是)(否否)(否否)(是是)(否否)(否否)( (9)y=mx9)y=mx+nx+p (+nx+p (m,n,pm,n,p为常数）为常数）(否否) (5)y=x-2+x (否否)(8) y(否否)先化简后判断先化简后判断(10) y=3(x1)-3

9、(11)y=(x+3)x二次函数的一般形式二次函数的一般形式: :二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b b0 0时，时， y yaxax2 2c c当当c c0 0时，时， y yaxax2 2bxbx当当b b0 0，c c0 0时，时， y yaxax2 2y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别分别指出二次项系数指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数项常数项. (1) y=3(x-1)+1 (2) y=x+ (3) s=3-2t (4)

10、y=(x+3)-x (5)y= -x (6) v=10 r1x_x1_解解:(1)y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:3-64(2) y=x+1x_不是二次函数不是二次函数.(3) s=3-2t是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:-203(4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函数不是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:1000不是二次函数不是二次函

11、数.(5)y= -xx1_(6) v=10 r是二次函数是二次函数.展示才智展示才智 例例、若函数、若函数 为二次函数，为二次函数，求求m的值。的值。注意注意:二次函数的二次项系数不能为零二次函数的二次项系数不能为零 例例2、y=（m+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是二次函数？取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（）当解：（）当m27=1且且m+30即即m= 时是正时是正比例函数。比例函数。（2）当）当m27=2且且m+30即即m=3时是二次函数。时是二次函数。看谁算得快看谁算得快!1.函数函数 是一次函数，求

12、是一次函数，求k的值。的值。02.函数函数 是二次函数，是二次函数， 求求m的值。的值。23.函数函数 是二次函数，是二次函数， 求求m的值的值2例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系（2）由题意得）由题意得 其中其中y是是x的二次函数；的二次函数；（3）由题意得）由题意得 其中其中S是是x的的 二次函数二次函数解解: （1）由题意得）由题意得 其

13、中其中S是是a的的二次函数二次函数；牛刀小试例5.已知二次函数已知二次函数 在实践中感悟在实践中感悟 横看成岭侧成峰，远近高低各不同横看成岭侧成峰，远近高低各不同 变换角度分析问题变换角度分析问题 若函数若函数y=x2m+n 2xm-n+3是以是以x为自变量的二次函为自变量的二次函数，求数，求m、n的值。的值。 2m+n=2m-n=1 m=1 n=02m+n=1m-n=2m=1n=-12m+n=2 m-n=2m=4/3n=-2/32m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/32m+n=0m-n=2m=2/3n=2/3如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数是二次函数,则则k的值一定是

14、的值一定是_ 0如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1 (x0)是一次是一次 函数函数,则则k的值一定是的值一定是_3或或1或或2开动脑筋开动脑筋 注意注意: :当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时, ,还必还必须根据题意确定自变量的取值范围须根据题意确定自变量的取值范围. .例如：圆的面积例如：圆的面积 y ( )y ( )与圆的半径与圆的半径 x x（cmcm) )的函数关系是的函数关系是 y =x2x 用用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）， 设连墙的一边为设连墙的一边为x,矩形的面积为矩形的面积为y, 求：求：(1) 写出写出

15、y关于关于x的函数关系式的函数关系式. (2) 当当x=3时时,矩形的面积为多少矩形的面积为多少?(2)当当x=3x=3时时(ox10)答：当答：当x3时，矩形的面积为时，矩形的面积为42m2。例例3:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这求这个二次函数的解析试个二次函数的解析试.待定系数法待定系数法例例4.4. 已知二次函数已知二次函数y=x+px+q,y=x+px+q,当当x=x=1 1时时, ,函函数值为数值为4,4,当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为- 5, -

16、5, 求这个二求这个二次函数的解析式次函数的解析式. .例例3 3、若二次函数、若二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图形经过的图形经过A A（1 1，0 0），），B B（0 0，1 1），），C C（1 1，6 6）三）三点，求这个函数的解析式点，求这个函数的解析式. . 思考：思考：2. 二次函数的一般式二次函数的一般式yax2bxc（a0）与）与一元二次方一元二次方程程axbxc0（a0）有什么有什么联系和区别？联系和区别？驶向胜利的彼岸联系联系(1)等式一边都是等式一边都是ax2bxc且且 a 0 (2)方程方程ax2bxc=0可以看成是可以看成是函数函数y= ax2bxc中

17、中y=0时得到的时得到的.区别区别:前者是函数前者是函数.后者是方程后者是方程.等式另等式另一边前者是一边前者是y,后者是后者是0 试一试:要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少?(ox10)1、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是二次函数是自变量），是二次函数的为的为( )A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+ x2+12.函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是( )A m,n是常数是常数,

18、且且m0 B m,n是常数是常数,且且n0C m,n是常数是常数,且且mn D m,n为任何实数为任何实数CC3.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径, ,写出它写出它的表面积的表面积 s 与半径与半径 r 之间的关系式之间的关系式.4. n4. n支球队参加比赛支球队参加比赛, ,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比赛, ,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m m与球队与球队数数 n n 之间的关系式之间的关系式. .S=4r2 即即5. 5. 圆的半径是圆的半径是1cm,1cm,假设半径增加假设半径增加xcmxcm 时时, ,圆的面积增加圆的面积增加ycmycm. . (

19、1)(1)写出写出y y与与x x之间的函数关系表达式；之间的函数关系表达式； (2)(2)当圆的半径分别增加当圆的半径分别增加1cm, 1cm, 2cm 2cm时时, ,圆的面积增加多少圆的面积增加多少? ?6. 将进货单价为将进货单价为4040元的商品按元的商品按5050元卖出时元卖出时, ,就就能卖出能卖出500500个个, ,已知这种商品每涨已知这种商品每涨1 1元元, ,其销售量其销售量就会减少就会减少1010个个, ,设售价定为设售价定为X X元元(x(x50)50)时的利时的利润为润为Y Y元。试求出元。试求出Y Y与与X X的函数关系式，并按的函数关系式，并按所求的函数关系式计

20、算出售定价为所求的函数关系式计算出售定价为8080元时所元时所得利润得利润7.7.如图如图,ABC,ABC中中,C=90,C=90,AC=6cm, BC=8cm,AC=6cm, BC=8cm, 点点P P从从A A开始沿开始沿ACAC向点向点C C以以1cm/s1cm/s的速度的速度, ,点点Q Q从从 C C点开始沿点开始沿BCBC向向B B点以点以2cm/s2cm/s的速度移动的速度移动. . (1)(1)如果如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B两点同时出发两点同时出发, ,求求PQCPQC的的 面积面积S S与运动时间与运动时间t t的函数关系式的函数关系式. . (2) (2)当当

21、t t为何值时为何值时S=8cmS=8cm2 2. .回味无穷回味无穷小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数. .其中其中, ,是是x x自变量自变量, ,a,b,ca,b,c分别分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. .y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式: :(1)y=ax(1)y=ax(

22、a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式, ,自变量自变量x x的最高次数的最高次数是二次是二次, ,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数. .知识运用知识运用 例例1:下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ ) (3)y=3x3+2x2 ( )

23、 (4)y=2x2-2x+1( ) (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )不是是不是不是是不是1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它写出它的表面积的表面积 s 与半径与半径 r 之间的关系式之间的关系式.2. n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比赛,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m与球队与球队数数 n 之间的关系式之间的关系式.S=2r2 +2r2 即即S=4r2 即即函数函数有什么共同点有什么共同点? 观察观察 y是是x的函数吗？的函数吗？y是是x的一次函数？反比例函数？的一次函数？反比例函数？y=6

24、x2 在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式函数都是用自变量的二次式表示的表示的,3、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是二次函数是自变量），是二次函数的有的有 。A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+ x2+14.函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是( )A m,n是常数是常数,且且m0 B m,n是常数是常数,且且n0C m,n是常数是常数,且且mn D m,n为任何实数为任何实数B CC 一农民用一农民用一农民用一农民用40m40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边

25、靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为XmXm，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为，菜园的面积为YmYm2 2，求求求求y y与与与与x x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当当当当x=12mx=12m时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。 x xmm y my m2 2 x xmm

26、 （40-2x 40-2x ）mm解：解：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得： Y=x(40-2x)即：即：Y=-2x2+40x(0x20)当当x12m时，菜园的面积为：时，菜园的面积为：Y=-2x2+40x-2122+4012 192（m2）九马画九马画山山 在在美丽的桂林美丽的桂林有一处非常有有一处非常有名的景观叫名的景观叫“九马画山九马画山”，在一处石壁上在一处石壁上的一些天然图的一些天然图案酷似各种形案酷似各种形态的骏马。传态的骏马。传说凡人只能找说凡人只能找出两三匹马，出两三匹马，谁要是找出其谁要是找出其中的九匹马就中的九匹马就能当能当“状元郎状元郎”。例例4.4.某果园

27、有某果园有100100棵橙子树，每一棵树平均结棵橙子树，每一棵树平均结600600个橙子个橙子. .现准备多种一些橙子树以提高产量现准备多种一些橙子树以提高产量, ,但是如果多种树但是如果多种树, ,那那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. .根根据经验估计据经验估计, ,每多种一棵树每多种一棵树, ,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5 5个橙个橙子子. .(1)(1)问题中有那些变量问题中有那些变量? ?(2)(2)假设果园增种假设果园增种x x棵橙子树棵橙子树, ,那么果园共有多少棵橙那么果园共有多少棵橙子树子树? ?这时平均每棵树

28、结多少个橙子这时平均每棵树结多少个橙子? ?(3)(3)如果果园橙子的总产量为如果果园橙子的总产量为y y个个, ,那么请你写出那么请你写出y y与与x x之之 间的关系式间的关系式. .果园共有果园共有(100+x)(100+x)棵树棵树, ,平均每棵树结平均每棵树结(600(6005x)5x)个橙子个橙子y=(100+x)(600y=(100+x)(6005x)=5x)=5x5x+100x+60000+100x+600002、定义：一般地，形如、定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫的函数叫做做x的的二次函数。二次函数。（1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x的的（3 ）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有，可以没有一次项和常数项，但一次项和常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。注意注意：（2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是 。整式整式a0.2任意实数任意实数二次函数的一般形式二次函数的一般形式: :yax2bxc (其中其中a、b、c是常数是常数,a0)二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b0时，时， yax2c当当c0时，时， yax2bx当当b0，c0时，时， yax2