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1、第八章第八章 应力和应变状态应力和应变状态 强度理论强度理论一、应力状态概述一、应力状态概述二、二向应力状态（解析法）二、二向应力状态（解析法）三、二向应力状态分析（图解法）三、二向应力状态分析（图解法）四、三向应力状态和最大剪应力四、三向应力状态和最大剪应力五、位移与应变分量五、位移与应变分量六、平面应变状态分析六、平面应变状态分析七、广义虎克定律：七、广义虎克定律：八、强度理论概述八、强度理论概述九、四个常用的强度理论及其强度条件九、四个常用的强度理论及其强度条件九九*、莫尔强度理论：、莫尔强度理论：十、构件含裂纹时的断裂准则十、构件含裂纹时的断裂准则十一、关于强度失效分析的现状十一、关于
2、强度失效分析的现状一、一、 应力状态概述应力状态概述1.一般性结论：一般性结论：1）受力构件上应力随点的位置变化而变化；）受力构件上应力随点的位置变化而变化；2）即使在同一点应力也是随截面的方向变化而变化。）即使在同一点应力也是随截面的方向变化而变化。2.一点处的应力状态一点处的应力状态: 通过受力构件内的一点的各个方位截面上的应力通过受力构件内的一点的各个方位截面上的应力集合。集合。3.研究方法研究方法4. 主平面：主平面： = 0 = 0 的平面。的平面。主应力：主应力：主主平面上的正应力平面上的正应力。 一般来说，过受力构件的任意一点都可找到一般来说，过受力构件的任意一点都可找到 三个互
3、相垂直的主平面，因而每点都有三个相互三个互相垂直的主平面，因而每点都有三个相互垂直的主应力（垂直的主应力（123）应力状态：应力状态：1）单向（一向）应力状态：）单向（一向）应力状态：2）平面（二向）应力状态：）平面（二向）应力状态：3）空间（三向）应力状态：）空间（三向）应力状态：5. 二向、三向应力状态的实例二向、三向应力状态的实例1）二向应力状态）二向应力状态薄壁圆筒（薄壁圆筒（tDtD、L)L)属二向应力状态。属二向应力状态。2）三向应力状态）三向应力状态二、二向应力状态（解析法）二、二向应力状态（解析法） 在二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力在二向应力状态下，已知通过一点
4、的某些截面上的应力（互相垂直的截面）后，如何确定通过这一点的其它斜截面（互相垂直的截面）后，如何确定通过这一点的其它斜截面上的应力，从而确定该点的主平面和主应力。上的应力，从而确定该点的主平面和主应力。1）斜截面上应力：）斜截面上应力：正负号规定：正负号规定： ：拉（拉（+），压（），压（ ）使单元体绕其内部一点有顺时针转动趋势时为正，使单元体绕其内部一点有顺时针转动趋势时为正，逆时针为负。逆时针为负。： ：从从x轴正方向逆时针转到轴正方向逆时针转到角终边，则为正，顺时角终边，则为正，顺时针为负。针为负。2）主平面、主应力）主平面、主应力（刚好是剪应力为零（刚好是剪应力为零 的截面）的截面）4
5、）两个导出公式：）两个导出公式：3）最大剪应力）最大剪应力例例1. 已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应力和已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应力和maxmax、minmin、maxmax、minmin及主平面和最大剪应力所在平面的方位。及主平面和最大剪应力所在平面的方位。解：解： 1）取坐标轴）取坐标轴2）已知条件命名）已知条件命名3）计算）计算 30， 304）计算）计算maxmax、minmin及主平面方位角及主平面方位角5）计算）计算maxmax、minmin及其所在及其所在平面的方位角。平面的方位角。例例2. 解：解：1）求主应力、主平面并画出主应力单元体；）求主应力
6、、主平面并画出主应力单元体；2）求最大剪应力及其作用面；）求最大剪应力及其作用面；1）取坐标轴）取坐标轴2）已知条件）已知条件3）主平面方位角主平面方位角yx4）主应力主应力5）最大剪）最大剪应力应力例例3. 图示简支梁由36a工字钢制成，P=140kN,L=4m，A点位于集中力P左侧截面上的下翼缘与腹板的交界处，试求：1）A点处图中指定斜截面上的应力；2）A点处的主应力及主应力单元体。解：解：1）外力分析）外力分析2) 内力分析内力分析(Q、M图图)3）A点横截面上的点横截面上的、4）在单元体上）在单元体上5）斜截面上的）斜截面上的 60， 60：6）A点处的主应力及方位点处的主应力及方位6
7、022三、二向应力状态分析（图解法）三、二向应力状态分析（图解法）1.应力圆应力圆:则：圆心则：圆心半径半径圆心圆心半径半径 则单元体任意截面上的正应力则单元体任意截面上的正应力、剪应力剪应力必将位于此必将位于此圆上。圆上。2. 应力圆与它的单元体之间的对应关系应力圆与它的单元体之间的对应关系:1）点面对应关系：圆上任一点的纵、横坐标值对应）点面对应关系：圆上任一点的纵、横坐标值对应着单元体上某截面上剪、正应力值；着单元体上某截面上剪、正应力值；2）圆上每一条半径对应着应力单元体上某截面的外）圆上每一条半径对应着应力单元体上某截面的外法线；法线；3）夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对）
8、夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。3.应力圆的应用应力圆的应用:1）确定单元体上任一斜截面上的正应力）确定单元体上任一斜截面上的正应力、 剪应力剪应力；2）确定两个主应力的大小和方位；）确定两个主应力的大小和方位；3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；例例1 x=60MPa,xy=20.6MPa ,y= 0 , 用图解法求：用图解法求： 1）该点的）该点的主应力和主平面的方位；主应力和主平面的方位； 2）求与轴线方向成）求与轴线方向成-450的应力的应力-450、 -450
9、？20MPax=60MPa, xy=20.6MPa ,解：解：按比例作应力圆按比例作应力圆y= 0 ,yx=- -20.6MPa ,得两点：得两点：D(60，20.68)，D(0，-20.68)20MPa测量:按比例作应力圆按比例作应力圆，得两点：得两点：D(60，20.68)，D(0，-20.68)例例2 两相交于一点处的斜截面上的应力如图，试用应力圆求该点两相交于一点处的斜截面上的应力如图，试用应力圆求该点的主应力，并画出主应力单元体。的主应力，并画出主应力单元体。解：解：得两点：得两点： CD1顺时针转顺时针转2400到到CD2，由此可画出应力由此可画出应力圆。圆。由应力圆可计算出：由应
10、力圆可计算出：例例3 已知受力构件的已知受力构件的A点处于平面应力状态，过点处于平面应力状态，过A点两斜截面上点两斜截面上的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应力。力。100解：解：四、三向应力状态和最大剪应力四、三向应力状态和最大剪应力1. 三向应力圆三向应力圆已知已知1 1,2 2,3 3, ,l,l,m,nm,n，求求该截面上的应力该截面上的应力 n n，n n 。1. 三向应力圆三向应力圆由和经推导可得：经推导可得：2. n n，n n 的范围的范围 :D点点3. 三向应力状态下的三向应力状态下的maxmax 和
11、和 maxmax， minmin例例1.某三向应力状态单元体如图所示，求主应力与最大剪应力。某三向应力状态单元体如图所示，求主应力与最大剪应力。20解法解法2五、位移与应变分量五、位移与应变分量1.平面应变状态：平面应变状态：平面应力所对应的应变状态。平面应力所对应的应变状态。2.位移与应变分量的关系位移与应变分量的关系M的位移函数：的位移函数：六、平面应变状态分析六、平面应变状态分析1 1、已知、已知 ，求平面内任意一个方向上的线应，求平面内任意一个方向上的线应变和剪应变。变和剪应变。符号规定：2 2、主应变及其方向：、主应变及其方向：3 3、应变圆：、应变圆：4 4、应变的实例：、应变的实
12、例：例例1、已知：已知：求该点处的主应变及其方向。求该点处的主应变及其方向。解：解： 1）取坐标系：）取坐标系： 90为为x方向方向2）已知条件：）已知条件：3）计算）计算yxy4）主应变及主方向：）主应变及主方向：5）应变圆：）应变圆：七、广义虎克定律七、广义虎克定律应用条件应用条件： p p ，小变形小变形 和各向同性材料：和各向同性材料：1 1、简单应力状态下虎克定律、简单应力状态下虎克定律. .正应力仅引起线应变正应力仅引起线应变( (正应变正应变) )，. .剪应力仅引起自身平面内的剪应变剪应力仅引起自身平面内的剪应变2、复杂应力状态下的广义虎克定律、复杂应力状态下的广义虎克定律+某
13、点在某方向上的线应某点在某方向上的线应变与其三个互相垂直方变与其三个互相垂直方向的正应力有关。向的正应力有关。三个互相垂直的平面，三个互相垂直的平面，各平面内的剪应变仅与各平面内的剪应变仅与该平面内的剪应力有关。该平面内的剪应力有关。 若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力；若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力；各方向的主应变为：各方向的主应变为：各平面的剪应变为零各平面的剪应变为零例例1、测得测得A点处的点处的 x=40010-6， y=-12010-6 （）。）。已知：已知：E=200GPa， =0.3，求求A点在点在x和和y方向上的正应力。方向上的正应力。解：解：1、应力状态图
14、、应力状态图2、平面应力状态平面应力状态解得：解得：讨论题：讨论题：若知该点的截面位置及其在截面上的位置，如若知该点的截面位置及其在截面上的位置，如何推算外力何推算外力P？要测出要测出 xy，又将如何做？又将如何做？例例3、设在筒内无内压作用时，两端以刚性壁无初应力地夹住。设在筒内无内压作用时，两端以刚性壁无初应力地夹住。当筒承受内压当筒承受内压时，试求圆筒作用于刚性壁上的力，设材料的时，试求圆筒作用于刚性壁上的力，设材料的E、， 已知。已知。解：解： 1）2）解得：解得：讨论题：讨论题： 若要使筒不掉下，应有若要使筒不掉下，应有什么条件？什么条件？+例例4、圆轴直径为圆轴直径为，受到扭转力偶
15、和轴向外力的共同作用，材受到扭转力偶和轴向外力的共同作用，材料常数、料常数、已知。已知。现测得现测得 aa 及及 bb 方向的线应变分别为方向的线应变分别为-45 及及45，求该轴所受外力偶矩求该轴所受外力偶矩T Te e和轴向力的大小。和轴向力的大小。解：在测点取单元体，如图所示。解：在测点取单元体，如图所示。其中：其中：此时：此时：作业：作业：P342 8.268.278.28*3、主单元体的体积应变：主单元体的体积应变：体积虎克定律：体积虎克定律：m变形前：变形前：V=dx.dy.dz变形后：变形后：V1=(1+ x) )dx. (1+ y) ) dy. (1+ z) ) dz4、复杂应
16、力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能：单位体积内的变形能（歪形能）。单位体积内的变形能（歪形能）。总变形总变形=体积改变体积改变形状改变形状改变+=+八、强度理论概述八、强度理论概述目的：目的：建立危险点处于复杂应力状态下的强度条件建立危险点处于复杂应力状态下的强度条件1.两类材料两类失效形式及其失效因素的准则两类材料两类失效形式及其失效因素的准则脆性材料脆性材料(断裂失效断裂失效)塑性材料塑性材料(屈服失效屈服失效)横截面断裂横截面断裂沿沿450方向断裂方向断裂屈服屈服(450滑移线滑移线)横截面屈服横截面屈服(max、或或max)(max)(max、或或max)(max)2.简单应力
17、状态下的强度条件简单应力状态下的强度条件:3.用强度理论建立处于复杂应力状态下危险点的强度条用强度理论建立处于复杂应力状态下危险点的强度条件件:强度理论强度理论:关于材料强度失效主要原因的假说。关于材料强度失效主要原因的假说。 “材料无论处于复杂应力状态还是处于简单应力材料无论处于复杂应力状态还是处于简单应力状态，引起失效的因素是相同的状态，引起失效的因素是相同的”。（与应力状态无关）（与应力状态无关）这样：一方面由简单应力状态（拉压）的实验，测出引起材料失效的那这样：一方面由简单应力状态（拉压）的实验，测出引起材料失效的那个因素的极限值，另一方面计算实际受力构件上处于复杂应力状态下的个因素的
18、极限值，另一方面计算实际受力构件上处于复杂应力状态下的危险点处的相应因素，从而建立材料处于复杂应力状态下的强度条件。危险点处的相应因素，从而建立材料处于复杂应力状态下的强度条件。简单应力状态简单应力状态复杂应力状态复杂应力状态失效因素实验测量fjx计算fmax失效条件Fmax= fjx 用强度理论建立复杂应力状态下的强度条件的用强度理论建立复杂应力状态下的强度条件的方法可用示意图表示。方法可用示意图表示。 选用相应的强度理论计算相当应力九、四个常用的强度理论及其强度条件或或相当应力例例1图示应力状态，试根据第三、第四强度理论建立相应的图示应力状态，试根据第三、第四强度理论建立相应的强度条件。强
19、度条件。解：解：1. 求单元体的主应力求单元体的主应力:2、建立强度条件、建立强度条件按第三强度理论：按第三强度理论：按第四强度理论：按第四强度理论：例例2 某铸铁构件危险点处的应力状态如图所示，且某铸铁构件危险点处的应力状态如图所示，且已知已知： +=35MPa， =120MPa，试选择强度理论校核其强度。试选择强度理论校核其强度。解：解：1）. 主应力主应力:2）. 以拉为主的脆性材料，以拉为主的脆性材料，选选第第I强度理论。强度理论。3）. 强度满足。强度满足。例例3 试对试对N020a工字梁进行全面强度校核，已知：工字梁进行全面强度校核，已知： =150MPa， =95MPa，Iz=2
20、370cm4，Wz=237cm3，Iz/Sz*=17.2cm。解：解：i）. 外力分析外力分析ii）. 内力分析内力分析iii）危险点：危险点：K1 ,(K4),K2,K3危险横截面危险横截面C和和DK1与与K4点属单向应力状态点属单向应力状态K1K3点属纯剪切应力状态注：若按第四强度理论C截面截面K3点点强度也满足K2点属二向应力状态点属二向应力状态 ，C截面K2点选用第四强度理论选用第四强度理论整个梁的强度不能满足要求。整个梁的强度不能满足要求。作业：P249 10-20 10-22P250 10-27九九*、莫尔强度理论：、莫尔强度理论：例例4：某铸铁构件危险点处的应力状态如图，且：某铸
21、铁构件危险点处的应力状态如图，且： +=35MPa， =120MPa为已知，试为已知，试用莫尔强度理论用莫尔强度理论校核其强度校核其强度。(前例前例2)解：解：十、构件含裂纹时的断裂准则：十、构件含裂纹时的断裂准则：2.材料的断裂韧性：材料的断裂韧性：抵抗裂纹扩展的能力。抵抗裂纹扩展的能力。KIC：材料的固有性能。材料的固有性能。3.失稳扩展的强度条件：失稳扩展的强度条件：1.应力强度因子：应力强度因子：是表征裂纹尖端附近区应力强弱程度的是表征裂纹尖端附近区应力强弱程度的力学量。力学量。十一、关于强度失效分析的现状：十一、关于强度失效分析的现状：a. 四个常用强度理论和莫尔理论；四个常用强度理
22、论和莫尔理论；b. 疲劳强度设计准则疲劳强度设计准则；c. 断裂强度设计准则断裂强度设计准则；d. 以损伤理论为基础的耐久性设计准则。以损伤理论为基础的耐久性设计准则。习题课：习题课：1. 薄壁圆筒，薄壁圆筒，D = 300mm，内压内压p = 0.5MPa， t = 1mm，求沿焊缝斜面上的正应力和剪应力。求沿焊缝斜面上的正应力和剪应力。解：解：1）焊缝处的应力状态：）焊缝处的应力状态：2）焊缝截面上的）焊缝截面上的和和：已知：已知：P = 20kN，T = 600Nm，d = 50mm，= 2mm= 2mm，试求：试求：1 1）A A点在指定斜截面上的应力；点在指定斜截面上的应力；2 2）
23、A A点的主应力和方向；点的主应力和方向；3 3）若若 = 170Mpa = 170Mpa，用第三强度理论校核危险点的强度。用第三强度理论校核危险点的强度。（习（习题题19)19)解：解：1）载荷分组：拉、扭。）载荷分组：拉、扭。2）A点处的应力状态：点处的应力状态：2.2）A点处的应力状态：点处的应力状态：y3）取）取x、Y轴如图：轴如图：4）A点处斜截面上的应力：点处斜截面上的应力： -60、 -605）主应力、主平面：）主应力、主平面：6）y3、d=60mm，T=2.5kN.m，E=210GPa， =0.28；试求试求 30解：解：1）任一点的应力状态，为纯剪应力状态任一点的应力状态，为
24、纯剪应力状态2）3）讨论：用广义虎克定律可求讨论：用广义虎克定律可求 30吗吗? 4） 30， 30。（。（ x=0， y=0）1) 计算计算 30和和 - -602）用广义虎克定律求）用广义虎克定律求 304、在刚性槽内无间隙地放入一块边长为在刚性槽内无间隙地放入一块边长为10mm的立方体，已知：的立方体，已知：E=70GPa， =0.33，在在立方体上面施加力立方体上面施加力P=6kN，求立方体的求立方体的3个主应力和各边长度的改变。个主应力和各边长度的改变。解：建立参考系如图所示。解：建立参考系如图所示。xyz由由得得:4、在刚性槽内无间隙地放入两块边长为、在刚性槽内无间隙地放入两块边长为a的立方体，已知：的立方体，已知：E1，E2， 1， 2，在在“1”的的立方体上面施加力立方体上面施加力P，求立方求立方体的体的3个主应力和主应变值。个主应力和主应变值。已知：已知： d=30mm, 0 =50010-6 ， 90 =42610-6 ， E=210GPa, =0.28.求求M1和和M2。已知：已知： ， ，E , ，A，且且，求求P。解：解：两式相加，两式相加，PP
