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1、6.8 6.8 二重积分的计算二重积分的计算计算方法计算方法：把：把二重积分二重积分化为化为两次定积分两次定积分来计算来计算1yx面积元素面积元素6.8.1 在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算2先先 后后 的两次积分的两次积分.记作记作:1.积分区域积分区域为为:X型区域型区域o 3不妨设不妨设由几何意义知由几何意义知:故故即42.积分区域积分区域D为为Y型区域型区域先先后后的两次积分的两次积分.5说明说明3).如果平行于坐标轴的直线与积分区域如果平行于坐标轴的直线与积分区域D的的边界交点多于两点边界交点多于两点， 则作辅助线把则作辅助线把D分为若干分为若干X-区域区域或
2、或Y-型区域型区域.1).积分区域积分区域D为为 矩形矩形2).若被积函数若被积函数 f (x,y) = f1(x) f2(y) , 积分区域积分区域D为为 矩形矩形6步步 骤骤：（2）写出区域）写出区域D上的点的坐标满足的不等式，上的点的坐标满足的不等式， 从而定出积分的上下限从而定出积分的上下限.2.在在 x 轴上轴上 a , b 内任取一点内任取一点 x ，做做 x 轴的垂线，垂线落在轴的垂线，垂线落在 D 内的线段，内的线段，y 从从 1(x) 到到 2(x)说明说明二重积分化为两次积分时，二重积分化为两次积分时，确定积分限确定积分限是关键是关键.（1）画出区域）画出区域D的图形的图形
3、1. x 从从 a 到到 b,例：若例：若D为为X-区域区域o 7例例1. 化二重积分化二重积分为两次积分为两次积分.解解:画草图画草图,或或8解解:或或例例2. 交换积分次序交换积分次序9解解123+例例3. 交换积分次序交换积分次序10例例4. 计算计算其中其中 是由直线是由直线所围所围.解解: 画草图画草图,另解另解:11例例5. 计算计算其中其中由由所围所围.解解:画草图画草图另解：另解：12解解:画草图画草图,所围所围.例例6. 计算计算注意注意选择积分次序的原则：选择积分次序的原则：1.积分区域积分区域, 尽量避免分块尽量避免分块;2.被积函数被积函数, 第一次积分易积第一次积分易
4、积.或或:不能计算不能计算13例例7. 用二重积分计算由用二重积分计算由所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解: 画草图画草图,或或14例例8. 求两个底圆半径等于求两个底圆半径等于R 的直交圆柱所围成的立体的体积的直交圆柱所围成的立体的体积.解解. 建立坐标系如图建立坐标系如图,两圆柱面的方程为两圆柱面的方程为:由对称性知由对称性知,所求体积为第一卦限部分的所求体积为第一卦限部分的8倍倍.所求体积所求体积yxRRxyzoRR15o在极坐标系中在极坐标系中M点的极坐标点的极坐标代表以极点为圆心的圆代表以极点为圆心的圆代表从极点出发的一条射线代表从极点出发的一条射线极坐标系极坐标系2、在极坐
5、标系下二重积分的计算、在极坐标系下二重积分的计算16在直角坐标系中在直角坐标系中o在极坐标系中在极坐标系中171.极点在区域之外极点在区域之外.182. 极点在区域的边界上极点在区域的边界上.3. 极点在区域之内极点在区域之内.一般一般,积分区域为圆形、扇形或环形时，积分区域为圆形、扇形或环形时，或者被积函数为或者被积函数为 利用极坐标计算比较简单利用极坐标计算比较简单.19解解. 画草图画草图例例1. 计算计算所围第一象限部分所围第一象限部分., D由圆周由圆周及直线及直线1212o20, 例例2. 计算计算解解: 画草图画草图.121解解: 画草图画草图.例例3. 计算计算,2o22解解. 画草图画草图例例4.计算计算所围第一象限部分所围第一象限部分.,由圆周由圆周及直线及直线1313o23例例5. 求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在圆柱面内的部分含在圆柱面内的部分)立体的体积立体的体积.解解: 由对称性知由对称性知,所求体积为第一卦限的所求体积为第一卦限的4倍倍.2a2a24
