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1、 我珍视我珍视类比类比胜过任何别的东胜过任何别的东西，它是我最可西，它是我最可信赖的老师，它信赖的老师，它能揭示自然界的能揭示自然界的秘密！秘密！ -数学家开普勒数学家开普勒走近大师走近大师鲁班的思维过程是：鲁班的思维过程是：茅草是茅草是齿形齿形的；的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断我需要一种能割断木头的工具；木头的工具；它也可以是它也可以是齿形齿形的的 (1). (1). 传说我国古代工匠鲁班（被认为是木匠业传说我国古代工匠鲁班（被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他了手，这桩倒霉事却使他发明了
2、锯子发明了锯子. .可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕
3、太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、行星、围绕太阳运行、行星、围绕太阳运行、行星、围绕太阳运行、绕轴自转绕轴自转绕轴自转绕轴自转火星火星火星火星地球地球地球地球创设情境创设情境试将平面上的圆和空间里的球进行类比试将平面上的圆和空间里的球进行类比球球. .合作探究合作探究1.类似特征类似特征圆圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形是平面内封闭的曲线所围成的对称图形 球球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形是空间中封闭的曲面所围成的对称图形. .圆圆球球的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合圆圆的定义：平面内，到定点的距离等于定
4、长的点的集合的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合 弦弦 直径直径 切线切线周长周长（封闭曲线的长）（封闭曲线的长）面积面积（封闭曲线围成的面积）（封闭曲线围成的面积）试将平面上的圆和空间里的球进行类比试将平面上的圆和空间里的球进行类比截面圆截面圆过球心的截面圆过球心的截面圆( (大圆大圆) )切面切面表面积表面积（封闭曲面的面积）（封闭曲面的面积）体积（体积（封闭曲面围成的体积）封闭曲面围成的体积）球球. .合作探究合作探究2.类比类比. .圆圆圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不与圆心距离不
5、相等的两弦不相等相等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点( (x0 0, ,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径的圆的方程为为半径的圆的方程为( (x- -x0 0) )2 2+(+(y- -y0 0) )2 2 = = r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的中点的连线垂直于弦连线垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面与球心距离相等的两截面面积相等积相等与球心距离不相等的两截面面与球心距离不相等的两截面面积不相等积不相等, ,距球心较近的面积距球心较近的面积较
6、大较大以点以点( (x0 0, ,y0 0, ,z0 0) )为球心为球心, r, r为为半径的球的方程为半径的球的方程为 ( (x- -x0 0) )2 2+(+(y- -y0 0) )2 2+(+(z- -z0 0) )2 2 = = r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积. . . 总结概括总结概括类比推理的描述性定义类比推理的描述性定义所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,
7、b,c相似或相同）相似或相同）从构成几何体的从构成几何体的元素数目元素数目看：看： 三角形三角形四面体四面体 你认为平面几何中的你认为平面几何中的三角形三角形可以类比立体几何中的什么几何可以类比立体几何中的什么几何体？体？例例1. 1.在平面几何里在平面几何里, ,有勾股定理有勾股定理: “: “设设ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC互相垂直，则互相垂直，则ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2.”.”拓展到空拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，间，类比平面几何的勾股定理， “ “设三棱锥设三棱锥A-A-BCDBCD的三个侧面的三个侧面ABCABC、ACDACD、ADBAD
8、B两两互相垂直，两两互相垂直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系, ,可以得可以得出的猜想是出的猜想是_.”_.”DABCabcc2 2= =a2 2+ +b2 2 检验猜想。检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论 找出两类对象之间可以确切表述的找出两类对象之间可以确切表述的相似特征相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；的特征，从而得出一个猜想；即即类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤1.1.若三角形内切圆半径为若三角形内切圆半径为 , ,三边长为三边长
9、为 则则三角形的面积为三角形的面积为 , , 根根据类比思想据类比思想, ,若空间四面体内切球的半径为若空间四面体内切球的半径为 , ,四个面的面积分别为四个面的面积分别为 , ,则四则四面体的体积为面体的体积为 变式训练变式训练s1s2s3分析分析继续继续例例4等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公通项公式式前前n项项和和例例3.利用等差数列性质类比得等比数列性质利用等差数列性质类比得等比数列性质等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质n+m=p+q时时,am+an= ap+aqn+m=p+q时时,aman= apaq任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为当
10、且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为成等差数列成等差数列成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比例例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质。：试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。思考思考：这样猜想出的结论是否一定正确呢？：这样猜想出的结论是否一定正确呢？又如又如, ,在平面内，若在平面内，若a
11、c, ,bc, ,则则a/b. . 类比到空间，你会得到类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误什么结论？并判断正误. .错误错误（可能相交）可能相交）猜想猜想:在空间中，若在空间中，若a a g g，b b g, g, 则则a a/b b。平面直角坐标平面直角坐标（二维）（二维）几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）圆圆球球平面图形平面图形立体图形立体图形点点点或线点或线线线线或面线或面空间直角坐标系空间直角坐标系 （三维）（三维）想一想？想一想？课堂小结课堂小结4.几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象3.类比推理的几个特点：
12、类比推理的几个特点：(1).以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的结果，的结果， 具有具有发现发现的功能的功能(2).由由特殊特殊到到特殊特殊的推理；的推理；(3).类比推理的结论类比推理的结论不一定不一定成立。成立。1.类比推理的描述性定义；类比推理的描述性定义；2.类比推理的一般步骤；类比推理的一般步骤； 如图，已知如图，已知O是是 ABC内任意一点，内任意一点， 连接连接AO、BO、CO，并延长交对边于，并延长交对边于A 、B 、C ，则其证明方法常用面积法：则其证明方法常用面积法：运用类比，猜想对于空运用类比，猜想对于空间中的四面体，存在什间中的四面体，存在什么类似的结论？并用么类似的结论？并用“体积法体积法”证明。证明。OABCA B C P30,3 ; P35,6课后实践课后实践课内作业课内作业课外思考课外思考
