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1、1培训类一、复习引入：一、复习引入：1、什么叫平面的斜线、垂线什么叫平面的斜线、垂线,什么叫射影？什么叫射影？aAPo PO是平面是平面的斜线的斜线, O为斜足为斜足; PA是平面是平面的垂线的垂线, A为垂足为垂足; AO是是PO在平面在平面内的射影内的射影.三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2培训类aAPo二二、新课学习新课学习: :2. 如果如果 a , aAO，思考思考 a 与与 PO 的关系如何？你能的关系如何？你能否由此得出一般的规律否由此得出一般的规律?3培训类P Pa aA Ao o 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理已知已知: : PAPA、PO PO 分别是平面
2、分别是平面的垂线、斜线，的垂线、斜线，AOAO 是是POPO在平面在平面内的射影，且内的射影，且a a , aAO aAO求证：求证： aPOaPO 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。4培训类已知已知: PA、PO分别是平面分别是平面的垂线、斜线，的垂线、斜线，AO是是PO 在平面在平面内的射影，且内的射影，且a ，aAO求证：求证： aPOP Pa aA Ao o 证明证明：线面垂直定义判定定理线面垂直定义线面线面垂直垂直线线线线垂直垂直线面垂直线面垂直线线线线垂直三
3、垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理PAa PAaAOaPO 平面PAOaPOa平面PAO5培训类三垂线定理：三垂线定理：P Pa aA Ao o 提提 问问 : : 若若 将将 条条 件件 aAO与与结结论论中中a PO交交换换位位置置是否还成立？是否还成立？ 线射垂直线斜垂直三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理已知已知: PA、PO分别是平面分别是平面的垂线、斜线，的垂线、斜线， AO是是PO在平面在平面内的射影，且内的射影，且a ，aAO求证：求证： aPO 在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个 平
4、面的一条斜线的平面的一条斜线的平面的一条斜线的平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条垂直，那么它也和这条 垂直。垂直。垂直。垂直。射影射影射影射影斜线斜线斜线斜线6培训类 在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条平面的一条平面的一条平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的垂直，那么它也和这条斜线的垂直，那么它也和这条斜线的垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。垂直。垂直。垂直。P Pa aA Ao o 已知已知: PA、PO分别是平面分别是平面的垂线、斜线，的垂线、斜线，
5、AO是是PO在平面在平面内的射影，且内的射影，且a ，aPO求证：求证： aAO斜线斜线斜线斜线射影射影射影射影三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理证证明明:PAa PAaPOaaAOa平面PAOAO 平面PAO7培训类 在平面内的一条直线，如果和这在平面内的一条直线，如果和这在平面内的一条直线，如果和这在平面内的一条直线，如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。三垂线逆定理：三垂线逆定理： 线斜垂直线射垂直已知已
6、知: PA、PO分别是平面分别是平面的垂线、斜线，的垂线、斜线，AO是是PO在平面在平面内的射影，且内的射影，且a ，aPO求证：求证： aAOP Pa aA Ao o 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理8培训类 (1)(1)(1)(1)、三垂线定理及逆定理描述的是、三垂线定理及逆定理描述的是、三垂线定理及逆定理描述的是、三垂线定理及逆定理描述的是PA(PA(PA(PA(垂线垂线垂线垂线) ) ) )与与与与(平面平面平面平面 )、 AO(AO(AO(AO(射影射影射影射影) ) ) )与与与与a (a (直线直线直线直线) ) 、 PO(PO(斜线斜线斜线斜线) )与与与与 a(a(a
7、(a(直线直线直线直线) ) ) )之间的垂直关系之间的垂直关系之间的垂直关系之间的垂直关系; ; ; ; (2)(2)(2)(2)、a a a a与与与与POPOPOPO可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面; ; ; ; (3)(3)(3)(3)、三垂线定理实质是平面的一条斜线和、三垂线定理实质是平面的一条斜线和、三垂线定理实质是平面的一条斜线和、三垂线定理实质是平面的一条斜线和平面内平面内平面内平面内的一条直线的一条直线的一条直线的一条直线垂直的判定定理垂直的判定定理垂直的判定定理垂直的判定定理; ; ; ;逆定理是逆定理是逆定理是逆定理是平面内
8、平面内平面内平面内一条直线和斜线的射影的一条直线和斜线的射影的一条直线和斜线的射影的一条直线和斜线的射影的垂垂垂垂直的判定定理直的判定定理直的判定定理直的判定定理. .三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理使用三垂线定理及逆定理还应注意使用三垂线定理及逆定理还应注意 的问题的问题 PAOadcb9培训类三三、例题分析：例题分析： 例例 1 1、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确? ? (1)(1)若若b b是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线a a垂直于垂直于b b在平面在平面内的射影，则内的射影，则baba。 ( ) ( ) (2)若若b是平面是平面的斜线、的斜线、平面平面平面平面
9、 内的内的内的内的直线直线a垂直于垂直于b在平面在平面内的射影，则内的射影，则ba。( ) 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理仔细想一想10培训类例例 2. 如如图图；PA面面ABC，AB是是圆圆O的的直直径径,C是是圆圆O上上的的任任一一点点（异异于于A、B两两点点).则则图中直角三角形的个数是图中直角三角形的个数是( ) A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个 三三、例题分析例题分析: D想想有几个？PCBA11培训类 例例例例3 3 3 3、路旁有一条河，彼岸有电塔、路旁有一条河，彼岸有电塔、路旁有一条河，彼岸有电塔、路旁有一条河，彼岸有电塔ABABABAB，只有测角器和，
10、只有测角器和，只有测角器和，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？ 解：解：解：解：在路边取一点在路边取一点在路边取一点在路边取一点C C C C， 使使使使BCBCBCBC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于90909090，再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点D D D D，使水平角使水平角使水平角使水平角CDBCDBCDBCDB等于等于等于等于45454545，测得测得
11、测得测得C C C C、D D D D的距离等于的距离等于的距离等于的距离等于a m.a m.a m.a m.B BA AC C9090D D4545三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理三、例题分析：三、例题分析：12培训类B BA AC C9090D D4545 BCBCBCBC是是是是ACACACAC的射影的射影的射影的射影 且且且且CDBC CDACCDBC CDACCDBC CDACCDBC CDAC CDB=45CDB=45CDB=45CDB=45，CDBCCDBCCDBCCDBC，CD=a m BC=a mCD=a m BC=a mCD=a m BC=a mCD=a m BC=
12、a m，答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是 因此斜线因此斜线因此斜线因此斜线ACACACAC的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理测出仰角测出仰角ACB=,于是有于是有AC=13培训类(1) 已知已知:PA正方形正方形ABCD所在平所在平 面，面，O为对角线为对角线BD的中点的中点.求证：求证：POBD，PCBD 证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBD又又AOAO是是POPO在在AB
13、CDABCD上的射影上的射影 POBD 同理，同理，ACACBD ACAC是是PCPC在在ABCDABCD上的射影上的射影PCBD四四、课堂练习课堂练习:三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理POABCD14培训类PMCAB(2) 已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC， M是是BC的中点，的中点， 求证：求证：BCAMBCAM证明证明: PB=PCM是是BC的中点的中点 PM BCPA平面平面PBCPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理15培训类 1 1、三垂线定理、三垂线定理五五、课堂、课堂小结小结(3)(3)操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤“一垂一垂, ,二射二射, ,三证三证. .”(1)(1)定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言(2)(2)应用定理关键是找应用定理关键是找“基准面基准面”这个参照系这个参照系三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2、三垂线逆定理、三垂线逆定理P Pa aA Ao o 16培训类六六、课后作业课后作业:书书P25的习题的习题9.4的的3、4题题,并预并预习后面的内容习后面的内容.17培训类18培训类
