《概率论与数理统计3-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计3-1（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第1 1页页引例引例. .有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表试问哪一个射手本领较好（高）？试问哪一个射手本领较好（高）？引言引言：r.v.r.v.的分布虽然可以完整地描述随机变量，但有时的分布虽然可以完整地描述随机变量，但有时 使用起来并不方便，此时可借助于一些有代表性的量，使用起来并不方便，此时可借助于一些有代表性的量， 从不同的角度来刻画从不同的角度来刻画r.v.r.v.的各种的各种“特征特征”。第三章 随机变量的数字特征第一节 数学期望乙中环数乙中环数第第2 2页页解：假定两射手各射击解：假定两射手各射击 n 次，命中情况如下次，命中情况如下故故认
2、认为为甲甲射射击击本领要高些。本领要高些。当当n越来越大时，频率渐近于概率，故理论上平均环数为越来越大时，频率渐近于概率，故理论上平均环数为平均命中环数平均命中环数第第3 3页页（连续型情形）（连续型情形）设设 X 为连续型随机变量，其分布密度为为连续型随机变量，其分布密度为 f( (x) )。如果如果 绝对收敛，则称其为绝对收敛，则称其为 X 的的数数 学期望学期望，记为，记为 EX。即。即（离散型情形）（离散型情形） 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为 如果如果 绝对收敛，绝对收敛，则称其为则称其为 X 的的数学期望数学期望或或均值均值，记为，记为EX。即即 一一.
3、 .（定义）数学期望（定义）数学期望第第4 4页页关于定义之注关于定义之注： （1 1）随机变量的数学期望描述了随机变量取值的平均）随机变量的数学期望描述了随机变量取值的平均情况。比如若情况。比如若 X 表示某厂生产的电视机的寿命，则表示某厂生产的电视机的寿命，则EX 就就表示该厂所生产的电视机的平均寿命。表示该厂所生产的电视机的平均寿命。（2 2）随机变量的数学期望是一个常数。）随机变量的数学期望是一个常数。（3 3）当（离散型）级数）当（离散型）级数 、（连续型）积分、（连续型）积分 非绝对收敛非绝对收敛时，称时，称 X 的数学期望不存在。的数学期望不存在。（4）若离散型）若离散型 r.v
4、. X 只取有限个值只取有限个值, 则则 EX一定存在。一定存在。 若连续型若连续型 r.v. X 只在有限区间内取值只在有限区间内取值, 则则 EX一定存在。一定存在。第第5 5页页解：解：例例1 1 （1 1）求两点分布的数学期望。）求两点分布的数学期望。（2 2）设）设 ，求，求 。解：泊松分布分布律解：泊松分布分布律 由此可知由此可知泊松分布泊松分布的参数的参数 就是它的就是它的数学期望数学期望第第6 6页页例例2 2 有有2 2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为服从同一指数分布，其概率密度为若将这若将这2个电子装置
5、串联联结组成整机，求整机寿命个电子装置串联联结组成整机，求整机寿命(以以小时计）小时计）N的数学期望。的数学期望。解：解： 的分布函数为的分布函数为 整机寿命整机寿命 ，其分布函数为，其分布函数为 密度函数为密度函数为 第第7 7页页由上知，若由上知，若 则则 第第8 8页页例例3 3 按规定某车站每天按规定某车站每天8:008:009:00,9:00, 9:00 9:0010:0010:00都恰有都恰有 一辆客车到站一辆客车到站, ,但到站的时刻是随机的但到站的时刻是随机的, ,且两者到站的时且两者到站的时 间相互独立间相互独立, ,其规律为其规律为: :一旅客一旅客8:208:20到站到站
6、, ,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望. .解解 设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为X( (以分计以分计),),则则X的分布律为的分布律为第第9 9页页例例4.4.设随机变量设随机变量 X 的分布律如下，问的分布律如下，问EX是否存在？是否存在？ 解：因为解：因为所以所以 X 的数学期望不存在。的数学期望不存在。例例5.5.求均匀分布求均匀分布U( (a, ,b) ) 的数学期望。的数学期望。解：均匀分布的分布密度为解：均匀分布的分布密度为故故第第1010页页故故由此可知正态分布中的第一个参数由此可知正态分布中的第一个参数 正是它的数学期望。正是它的数学期望。例例6.6.求正态分
7、布求正态分布 的数学期望。的数学期望。 解：解： 的分布密度为的分布密度为第第1111页页二二. .随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 (2)(2)X 是连续型随机变量且概率密度为是连续型随机变量且概率密度为 f( (x) )。 如果如果 绝对收敛，则有绝对收敛，则有1.一维情形一维情形注：定理证明略，此结论表明，在求注：定理证明略，此结论表明，在求 E(Y) 时，不必先算时，不必先算 出出 Y 的分布，只需利用的分布，只需利用 X 的分布即可。的分布即可。定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X 函数，函数，Y=g(X) , （g是连续函数）是连续函数） (1)(1)X 是离散型随机
8、变量且分布律为是离散型随机变量且分布律为 如果如果 绝对收敛，则有绝对收敛，则有第第1212页页解：解：例例7.7.已知离散型随机变量已知离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为求求 。第第1313页页例例8 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品 的产量，他们估计出售一件产品可获利的产量，他们估计出售一件产品可获利 m元，而积压一元，而积压一 件产品导致件产品导致 n 元的损失，再者他们预测销售量元的损失，再者他们预测销售量Y（件）件） 服从指数分布，其概率密度为服从指数分布，其概率密度为问要获得利润的数学期望最大，应生产多少产品？问要获
9、得利润的数学期望最大，应生产多少产品？解解 设要生产设要生产 x 件产品，则获利件产品，则获利 Q 是是 x 的函数。的函数。可见可见 Q 是是 r.v. Y 的函数的函数,其数学期望为其数学期望为第第1414页页第第1515页页定理定理 1)1)设设( (X，Y) )为二维离散型随机向量，其分布律为为二维离散型随机向量，其分布律为Z 是是 X, ,Y 的函数的函数 ，则，则2)2)设设( (X, ,Y) )为二维连续型随机向量，其分布密度为为二维连续型随机向量，其分布密度为 ，Z是是 X，Y 的函数的函数 ，则，则2.二维情形二维情形第第1616页页例例9 9设（设（X，Y）的分布密度为的分
10、布密度为求求 。解：解：第第1717页页三数学期望的性质三数学期望的性质(1)(1)设设 C 为常数，则为常数，则 。(3)(3)设设 X、Y为两个随机变量，则为两个随机变量，则(4)(4)当随机变量当随机变量 X 与与 Y 相互独立时，相互独立时， 。注注：对有限个相互独立随机变量之积的情况亦成立。：对有限个相互独立随机变量之积的情况亦成立。(2)(2)设设X 随机变量设随机变量设 C 为常数，则为常数，则第第1818页页例例10. 求二项分布的数学期望。求二项分布的数学期望。解：本题利用性质来求数学期望。解：本题利用性质来求数学期望。设设则则 服从两点分布，故服从两点分布，故 。设设，则，
11、则故故本题中本题中随机变量分解的方法随机变量分解的方法是解题中常用的一种方法。是解题中常用的一种方法。第第1919页页1 1）两点分布：）两点分布：常见分布的数学期望。常见分布的数学期望。3 3）泊松分布：）泊松分布：5 5）指数分布：）指数分布：4 4）均匀分布：）均匀分布：2 2）二项分布：）二项分布：6 6）正态分布：）正态分布：另柯西分布的期望不存在。另柯西分布的期望不存在。第第2020页页例例11 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出, 旅客有旅客有10个个车站可以下车车站可以下车, 如到达一个车站如到达一个车站,没有旅客下车没有旅客下车, 就不停车就
12、不停车,以以 X 表示停车的次数表示停车的次数,求求 EX (设每位旅客是否下车相互独立设每位旅客是否下车相互独立)。解：设解：设则则 同分布同分布, ,共同的分布为共同的分布为第第2121页页解：由于解：由于例例12 12 设随机变量设随机变量 X 、Y相互独立，且它们的分布密度分相互独立，且它们的分布密度分 别为别为求求 ， 。又由又由X 、Y 相互独立，相互独立，第第2222页页解法解法1 1 由独立性知联合分布密度函数为由独立性知联合分布密度函数为例例13 13 设设X, Y 相互独立相互独立, ,同服从同服从 分布分布, ,求求 E| |X-Y| |。上述方法积分较麻烦，下面先求上述
13、方法积分较麻烦，下面先求 Z 的分布，的分布，于是于是解法解法2 2 由正态分布的可加性知由正态分布的可加性知第第2323页页引例引例. .有甲、乙两名学生，考试成绩分布如下表有甲、乙两名学生，考试成绩分布如下表试问哪一位学生成绩较稳定？试问哪一位学生成绩较稳定？又若丙的成绩分布如下又若丙的成绩分布如下, 问谁的成绩最稳定问谁的成绩最稳定? 由上可见由上可见,要描述一个要描述一个r.v.,仅仅用均值还不够用均值还不够,往往需要考往往需要考虑虑r.v.取值的波动情况取值的波动情况. r.v.取值的波动情况不仅与取值的波动情况不仅与r.v.的取的取值有关值有关,也与取值的概率有关也与取值的概率有关
14、.第二节第二节 方方 差差第第2424页页1.方差的定义方差的定义注注 方差描述了方差描述了r.v.r.v.取值偏离其数学期望的变化情况。取值偏离其数学期望的变化情况。 若若 X 取值越集中，则取值越集中，则 DX 越小；反之，则越小；反之，则 DX 越大。越大。 设设 X 为随机变量，若为随机变量，若 存在，则称其为存在，则称其为 X 的的方差方差，记为，记为DX 。即。即称称 为为标准差标准差或或均方差均方差，记为，记为 。注注 随机变量随机变量 X 的方差的方差 DX 其实就是一个随机变量的函其实就是一个随机变量的函 数数 的数学期望，因此要求方差只的数学期望，因此要求方差只 需求需求
15、的数学期望即可。的数学期望即可。注注 任何一个随机变量的方差都是非负的，即任何一个随机变量的方差都是非负的，即 。第第2525页页在引例中在引例中可见学生丙成绩最为稳定。可见学生丙成绩最为稳定。注注 若若 X 为离散型随机变量，则为离散型随机变量，则 若若 X 为连续型随机变量，则为连续型随机变量，则 第第2626页页2.2.几种常见分布的方差：几种常见分布的方差： (1(1) ) 两点分布。两点分布。 解解：两点分布的分布律为：两点分布的分布律为定理（方差计算公式的常用形式）定理（方差计算公式的常用形式）证证第第2727页页( (2) 2) 泊松分布。泊松分布。解解 泊松分布的分布律为泊松分
16、布的分布律为第第2828页页 由此可知，对于服从泊松分布的随机变量，它的数学期由此可知，对于服从泊松分布的随机变量，它的数学期望与方差相等，都等于参数望与方差相等，都等于参数 。因为泊松分布只含一个参。因为泊松分布只含一个参数，因而只要知道它的数学期望或方差，就能完全确定它数，因而只要知道它的数学期望或方差，就能完全确定它的分布了。的分布了。例例2.2.求均匀分布的方差。求均匀分布的方差。解解：均匀分布的分布密度为：均匀分布的分布密度为第第2929页页例例3.3.求指数分布求指数分布 的期望和方差。的期望和方差。解解 的密度为的密度为两边关于两边关于 求导求导两边关于两边关于 求导求导再由再由
17、第第3030页页3.3.方差的性质方差的性质 设设 为常数，则为常数，则 。 设设 为常数为常数，X 为随机变量，则为随机变量，则 。证证（因为（因为 ） （3 3）设）设X为随机变量，为随机变量，c 为常数，且为常数，且 则则注注: :此性质称为此性质称为方差的最小性方差的最小性. .第第3131页页（4 4）设）设X、Y 为两个为两个r.v.r.v.，则则 注注：对有限个相互独立随机变量之和：对有限个相互独立随机变量之和, ,有类似的结论。有类似的结论。（5）设）设 X 为随机变量，则为随机变量，则 ，C 为为 一常数。一常数。特别若特别若X、Y 为相互独立，则为相互独立，则 第第3232
18、页页注注：称：称 为为 X 的的标准化随机变量标准化随机变量。解：解：例例4.4.设随机变量设随机变量 X 的数学期望为的数学期望为EX，方差为方差为DX,第第3333页页又因为又因为 相互独立，所以相互独立，所以例例5. 求二项分布求二项分布 b(n, p) 方差。方差。解：解：则则 服从两点分布，故服从两点分布，故 ， 。设设，则，则前已求得前已求得设设第第 i 次试验中次试验中 A 发生发生第第 i 次试验中次试验中 A 发生发生第第3434页页故故 由此可知正态分布的第二个参数由此可知正态分布的第二个参数 恰好是它的方差。恰好是它的方差。因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。因
19、而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。特别地，特别地，对于标准正态分布，其均值为对于标准正态分布，其均值为0 0，方差为，方差为1 1。例例6.6.求正态分布求正态分布 的方差。的方差。解解： 的密度为的密度为第第3535页页4.4.几种常用分布随机变量的期望和方差几种常用分布随机变量的期望和方差第第3636页页例例7 设设r.v U 在区间在区间-2, 2上服从均匀分布，随机变量上服从均匀分布，随机变量解（解（1）先求）先求 X 和和 Y 的联合概率分布的联合概率分布 试求试求 (1) X 和和 Y 的联合概率分布的联合概率分布；（；（2）D(X+Y) 第第3737页页（2 2）X+Y 的分布为的分布为 例例7 设设r.v U 在区间在区间-2, 2上服从均匀分布，随机变量上服从均匀分布，随机变量试求试求 (1) X 和和 Y 的联合概率分布的联合概率分布；（；（2）D(X+Y) 第第3838页页作作 业业 教材教材P84第第 1 题、第题、第 4 题题 第第10题、第题、第13题题
