二次函数辅导讲义

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1、名思教育辅导讲义名思教育辅导讲义学员姓名学员姓名年级年级课题课题授课时间授课时间教学目标教学目标重点、难点重点、难点考点及考试要求考点及考试要求张晓楠张晓楠初三初三辅导科目辅导科目授课教师授课教师数学数学刘琳琳刘琳琳二次函数教学内容教学内容一、知识点梳理一、知识点梳理一、定义与定义表达式一、定义与定义表达式一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a0），则称 y 为 x 的二次函数。二、二次函数的三种表达式二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）交点式：y=a(x-

2、x1)(x-x2)（a0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为 A（x1，0）和 B（x2，0），对称轴所在的直线为x=x1 x22注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系：bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质四、抛物线的性质1抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特别地，2a当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=

3、0）bb4ac-b24ac-b22抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。 当 x=-时，y最值=，当 a0 时，函数2a2a4a4ay 有最小值；当 a0 时，函数 y 有最大值。当-b=0 时，P 在 y 轴上（即交点的横坐标为0）；当 = b2-4ac=0 时，P 在 x 轴上（即函数与 x 轴只有一2a个交点）。3二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。当 a0 时，抛物线开口向上；当a0 时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。4二次项系数 a 和一次项系数 b

4、共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在 y 轴左边时，a 与 b 同号（即 ab0）；当对称轴在 y 轴右边时，a 与 b 异号（即 ab0）。5常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c）。6抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交点个数与方程ax2+bx+c=0 的根的判定方法：= b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点，对应方程有两个不相同的实数根；= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点，对应方程有两个相同的实数根。= b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一

5、元二次方程五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a0），当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）二、考点分析二、考点分析考点一、图象考点一、图象 1 1、根据二次函数图象提供的信息，判断与、根据二次函数图象提供的信息，判断与 a a、b b、c c 相关的代数式是否成立相关的代数式是否成立例 1、已知二次函数 y=ax +bx+c（a0）的图象如图 1 所示，有下列 5 个结论：；，（的实数）其2中正确的结论有（）A. 2

6、个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个2 2、根据二次函数图象提供的信息，比较与、根据二次函数图象提供的信息，比较与 a a、b b、c c 相关的代数式的大小相关的代数式的大小例 2、二次函数 y=ax +bx+c（a0）的图象如图 2 所示，且 P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，则 P、Q 的大小关系为。3 3、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解2例 3、已知二次函数为。的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解4 4、根据二次函数图象提供的信息，确定有、根据二次函数图象提供的信息

7、，确定有 a a、b b、c c 构成横坐标和纵坐标的点的位置构成横坐标和纵坐标的点的位置例 4、已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限。5 5、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象例 5、在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+b 和 y=ax2+bx+c 的图象只可能是。6 6、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的范围、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的范围例 6、如图 6 所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是。考点考点 2 2、考抛物线的解析式、考抛物线的解析式求二

8、次函数的解析式，是重点内容。1 1、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式例 1、已知抛物线经过点A（1，2） 、B（2，2） 、C（3，4） ，求抛物线的解析式。2 2、已知抛物线与、已知抛物线与 x x 轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式例 2、已知抛物线与 x 轴的交点是 A（-2，0）、B（1，0），且经过点 C（2，8）。求该抛物线的解析式。3 3、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式例 3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（

9、1，-4），且过点 B（3，0）求该二次函数的解析式。4 4、 已知抛物线的对称轴已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式和某两个点的坐标，求解析式例 4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时， AB 宽为 20 米，水位上升3 米就达到警戒水位线 CD，这时水面的宽度为 10 米。请你在如图所示的平面直角坐标系中， 求出二次函数的解析式。5 5、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式例 5、将抛物线 y=x2的图象向右平移 3 个单位，接着再向上平移 6 个单位，则平移后的抛物线的解析式为_。例 6、将抛物线 y=2（x+1）2-3 向右平移

10、1 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得抛物线的表达式为例 7、在同一坐标平面内，图象不可能由函数 y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（） y=2（x+1）2-1 y=2x2+3 y=-2x2-16 6、抛物线关于、抛物线关于 x x 轴对称的抛物线的解析式轴对称的抛物线的解析式结论：抛物线结论：抛物线 y= ay= ax+bx+c+bx+c 关于关于 x x 轴的对称抛物线为：轴的对称抛物线为：y=-y=-（a ax+bx+c+bx+c）。）。22例 8、抛物线 y=2（x-1） +3 关于 x 轴对称的抛物线的解析式为。7 7、抛物线关于、抛物线关于 y y 轴对

11、称的抛物线的解析式轴对称的抛物线的解析式结论：抛物线结论：抛物线 y= ay= ax+bx+c+bx+c 关于关于 y y 轴的对称抛物线为：轴的对称抛物线为：y=ay=ax-bx+c-bx+c。例 9、抛物线 y=2（x-1） +3 关于 y 轴对称的抛物线的解析式为。22228 8、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式结论：抛物线结论：抛物线 y= ay= ax+bx+c+bx+c 关于关于 x x 轴的对称抛物线为：轴的对称抛物线为：y=-ay=-ax+bx-c+bx-c。例 10、抛物线 y=2（x-1） +3 关于原点对称的抛物线的解析式为。考点

12、考点 3 3、图形面积最优化问题、图形面积最优化问题1 1、只围二边的矩形的面积最值问题只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图 1，用长为 18 米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1）设矩形的一边长为 x（米） ，面积为 y（平方米） ，求 y 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？2 2、只围三边的矩形的面积最值只围三边的矩形的面积最值例2、如图 2， 用长为 50 米的篱笆围成一个养鸡场， 养鸡场的一面靠墙。 问如何围， 才能使养鸡场的面积最大？2224 4、截出图形面积的最值问题、截出图形面积的最值问题例 4、如图 4,ABC 是

13、一块锐角三角形的余料,边 BC=120mm,高 AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN ,使长方形 PQMN 的边 QM 在 BC 上,其余两点 P、N 在 AB、AC 上。（1）问如何截才能使长方形 PQMN 的面积 S 最大？（2）在这个长方形零件 PQMN 面积最大时，能否将余下的材料APN、BPQ NMC 剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件 PQMN 大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。5 5、采光面积的最值、采光面积的最值例 5、 用 19 米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。（1）求窗框的透光面积 S（平方米）与窗框的宽 x（米）之间

14、的函数关系式；（2）求自变量 x 的取值范围；（3）问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？y三、课堂练习三、课堂练习一、选择题：1.抛物线y (x 2)2 3的对称轴是（）A. 直线x 3B. 直线x 3C. 直线x 2OD. 直线x 2x2.二次函数y ax2 bx c的图象如右图，则点M (b,A. 第一象限C. 第三象限B. 第二象限D. 第四象限c)在（）a3.已知二次函数y ax2 bx c，且a 0，a b c 0，则一定有（）A.b2 4ac 04.把抛物线y x2 bx c向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是y x23x 5，则有

15、（）A.b 3，c 7C.b 3，c 35.已知反比例函数y B.b2 4ac 0C.b2 4ac 0D.b2 4ac0B.b 9，c 15D.b 9，c 21k的图象如右图所示，则二次函数y 2kx2 x k2的图象大致为（）xyyyyOyxOAxOBxOCxODx6.下面所示各图是在同一直角坐标系内， 二次函数y ax2 (a c)x c与一次函数y ax c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）yyyyOxOBxOCxODxAy7.二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，若M 4a 2b c N a b c，P 4a b，则（）A.M 0，NB.M 0，NC.M 0，ND.M

16、 0，N二、填空题： 0，P 0 0，P 0 0，P 0 0，P 0-1O12x8.将二次函数y x22x 3配方成y (x h)2 k的形式，则 y=_.9.已知抛物线y ax2 bx c与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况是_.10. 已知抛物线y ax2 x c与 x 轴交点的横坐标为1，则a c=_.11. 请你写出函数y (x 1)2与y x21具有的一个共同性质：_.12. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x 4；乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角

17、形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：13. 已知二次函数的图象开口向上，且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_.14. 如图，抛物线的对称轴是x 1，与 x 轴交于 A、B 两点，若 B 点坐标是( 3,0)，则 A 点的坐标是_.y三、解答题：1.已知函数y x2 bx 1的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当x 0时，求使 y2 的 x 的取值范围.O1A116 题图Bx2.如右图，抛物线y x2 5x n经过点A(1, 0)，与 y 轴交于点 B.（1）求抛物线的解析式；（2）P 是 y 轴正半轴上一点，且PAB 是

18、以 AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标.yOA1x-1B3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？4.卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面 1:11000 的比例图上去，跨度 AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）. 在比例图上，以直线AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果精确到 1 米）.DACMO5cmEBADCMO0.9cmEB（1）（2）五、教师评定：1、 学生上次作业评价： 好 较好 一般 差2、 学生本次上课情况评价：好 较好 一般 差教师签字：_校长签字： _家长签字：_