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1、常州工学院数学部陶永祥概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.1随机事件及其运算一确定性现象与随机现象1确定性现象确定性现确定性现象是事前可预言结果的现象。2随机现象（非决定性现象）随机现象是事前不能预言结果的现象。以上两种现象（满足互补律），统称为分明现象。3模糊现象：即不分明现象。4统计规律性5概率统计的研究对象：随机现象的统计规律性。1）概率论的研究方法： 是根据问题提出相应的数学模型，然后去研究它们的性质、特征和规律性； 如大家马上要学习的古典概型、几何概型（蒲丰试验，1777年，2212/704=3.142,1901年 ,拉 查 里 尼 投 针3408次,得到3.14159）。2）数
2、理统计的研究方法： 是以概率论的理论为基础，利用对随机现象的观察所获得的数据资料,来研究数学模型。6概率统计的发展史1）概率统计的兴起:是由保险事业的发展而产生的.2）组合概率时期17-18世纪初(法国的pascal巴斯卡、Fermat费尔马和荷兰的惠更斯是概率统计的早期创立者3）分析概率时期18世纪初，贝努里发现了大数定律18世纪初到19世纪，发现母函数、特征函数、中心极限定理棣美弗、拉普拉斯、李雅普诺夫4）概率论与数理统计分家5）理论概率与应用概率分家6）蒙特卡罗方法6概率统计的应用二 样本空间与随机事件1 随机试验（1）试验：即对随机现象进行的观察（2）随机试验:它具有三个特点在相同条件
3、下可重复进行; 每次试验的可能结果是多种的,且能事先明确试验的所在可能结果; 每次试验出现什么结果事前不能确定.2 样本空间与样本点（1）样本空间S：即随机试验E的所有可能结果的集合(2）样本点：即S的元素(E的每一个结果) 3随机事件（1）随机事件：即样本空间S的子集.用A，B，C，；A0，A1，表示,简称为事件。（2）基本事件：即只含一个样本点的事件（3）复合事件:即由2个以上样本点构成的事件(4)必然事件S:即在每次试验中一定发生的事件（5）不可能事件:即在每次试验中一定不发生的事件（6）一个事件“发生” 它所包含的一个样本点出现。（7）一个事件“不发生” 它所包含的所有样本点都不出现。
4、（8）把必然事件、不可能事件看作（随机）事件 例例1 1求求任任意意掷掷一一枚枚骰骰子子两两次次的的随随机试验的样本点和样本空间。机试验的样本点和样本空间。n解：样本点样本点n样本空间样本空间例例2 2 观观察察某某电电话话交交换换台台在在上上午午9 9点钟内所接到的呼唤次数，点钟内所接到的呼唤次数，n求该试验的样本点和样本空间求该试验的样本点和样本空间。n解：样本点样本点n（i=0,1,2,3,i=0,1,2,3,）n样本空间样本空间例例3 3向向单单位位圆圆内内均均匀匀地地投投点点，求求这试验的样本点和样本空间。这试验的样本点和样本空间。n解：样本点n（x,y),x2+y21;n样本空间例
5、例4 4 连连续续不不断断地地投投篮篮，直直到到投投中中为为止止，若若记记“命命中中”为为1 1，“不不n命中命中”为为0 0，求这试验的样本，求这试验的样本点和样本空间。点和样本空间。n解：样本点为解：样本点为n000 000 ，1 1，0101，001001，001001，n样本空间样本空间4 4 事件的集合论定义事件的集合论定义n(1) (1) 必然事件：必然事件：S Sn(2) (2) 不可能事件：不可能事件：n(3) (3) 事件的个数：事件的个数：2 2n n,n,n为样本点的个数。为样本点的个数。n(4) (4) 事件事件A A发生发生 试验中出现的试验中出现的n(5) (5)
6、事件事件A A不发生不发生 试验中出现的试验中出现的n(6) (6) 比较事件的直观意义和集合论定义比较事件的直观意义和集合论定义例例5 5 投掷质量均匀的骰子，列投掷质量均匀的骰子，列n出所有事件，总共有64个不同的事件：n（1）含0个样本点的事件(不可能事件)1个n（2）含一个样本点的事件n（3）含两个样本点的事件n（4）含三个样本点的事件n（5）含四个样本点的事件n（6）含五个样本点的事件n（7）含六个样本点的事件(必然事件)1个三三、 事件的关系与运算事件的关系与运算n（一）（一） 用事件的集合论定义研究事件的用事件的集合论定义研究事件的关系与运算关系与运算n1 1 事件的包含事件的包
7、含n , ,A A发生发生 B B发生发生n2 2 事件的相等事件的相等nA=BA=B3 3事件的和事件的和( (并并) )n有限或可列个事件的并为：有限或可列个事件的并为：n4 4 事件的交（积）事件的交（积） 发生发生 A A与与B B同时发生同时发生n有限或可列个事件的交为：有限或可列个事件的交为：5 5 事件的差事件的差nA-BA-B发生发生 A A发生但发生但B B不发生不发生n6 6 事件的对立（逆）事件的对立（逆）n ，A A发生发生 不发生不发生7 7 事件的互不相容（互斥）事件的互不相容（互斥）n若若 ，则称，则称A A与与B B互不相容。互不相容。n对立事件是互不相容的，反
8、之不一定。对立事件是互不相容的，反之不一定。n（二二） 用用文文氏氏图图表表示示事事件件的的关关系系与与运运算算四四 事件运算的基本性质事件运算的基本性质n1 1 否定律否定律 n2 2 幂等律幂等律 n3 3 交换律交换律 n4 4 结合律结合律 n5 5 分配律分配律n 6 德摩根（De Morgan)公式偶原则n7AB证明：n证法一：发生不发生nA不发生或B不发生nn证明：n证法二：例6对某目标进行3次射击，记Ai=“第i次射击时射中目标”，i=1,2,3，试用A1,A2,A3n表示事件：(1)B=“恰有一次射中目标”；（2）C=“最多有一次射中目标”；(3)D=“至少有一次射中目标”;
9、E=“射中目标三次”；(4)F=“射中目标0次”;(5)G=“至多有二次射中目标”.n解:(1)n(2)(3)n(5)注意各种表示法的相容性!1.2随机事件的概率 一 频率1频率 A的频率fn(A)=2、稳定性n在不同的试验序列中，当试验的次数充分大时，事件的频率常在一个确定的数值p附近摆动，这就是频率的稳定性。3、性质 (1)非负性：0 Fn(A)1n(2)规范性： Fn( S )=1， Fn( )=0n(3)可加性:若AB= ,则n(4)有限可加性:若 两两互不相容,则 n二、概率的统计定义n1概率 A的频率的稳定值p叫A的概率，记为P(A)=p,当n很大时可取频率为概率的近似值2性质n非
10、负性：0 P(A)1n规范性： P(S)=1， P( )=0n可加性:若AB= ,则n有限可加性:若 两两互不相容,则n3小概率事件n若A的概率P(A)与0非常接近，则称A为小n概率事件。通常认为小概率事件在一次n试验中几乎是不发生的。这一原理称为n实际推断原理。三 古典概型n1、古典概型的定义n若一次试验中只包含n(有限数)个基本事件，且所有基本事件出现的可能性相等，而A包含的基本事件数有m个，则将用上述公式来讨论事件的概率的模型称为古典概型。2、古典概型的特征n（1）有限性n（2）等可能性n只要有一特征不具备，就不能用上述公式计算。n例1在一批a件产品中有b件次品，从中任取n件产品，求其中
11、恰有m件次品的概率。(ba,n0,则在B已发生的条件下，A发生的条件概率P(A|B)为三、条件概率的性质(1)非负性：对任一事件A，P(A|B)0(2)规范性：P(|B)=1(3)可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有(4)也有无条件概率类似结论如例2某产品的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率是0.05，第二道n工序的废品率是0.02。假定两道工序出废品彼此无关，求产品的合格率。n解；设Ai=“第i工序产品合格”nP(A1)=1-0.05=0.95nP(A2|A1)=1=1-0.02=0.98nP(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=0.950.98n=0.931四、乘法公式n乘法公
12、式.n设A1，A2，,An为任意n（n2）个事件,P(A1A2An-1)0,则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)例3在两个孩子的家庭中,(1)求有n一男一女的概率;(2)已知至少有一女孩,求有一男一女的概率.n解：设A=“一男、一女”，B=“至少有一女孩”,S=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)nP(A)=2/4=1/2,P(A|B)=2/31.4 全概率公式一全概率公式n1、样本空间的完备事件组n设A1，A2，An为一组事件。若n（1）AiAj=，ij，i,j=1,2,，n；n（2）A1A2An=Sn（3）P(Ai)0，
13、i=1,2,，nn则称A1，A2，An为S的一个完备事件组。（每次试验A1，A2，An中有且仅有一个发生）2、全概率公式n设A1，A2，An为样本空间的一个完备事件组，则nP(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An)证：B=BS=nP(Ai)0,(BAi)(BAj)=，i,j=1,2,，ijnP(A)=P(B)P(A|B)+例3（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。今从n甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一只球。问取到白球的概率是多少？n（2）第一只盒子装有5只红球、4只白球；第二只盒子装有4只红球、5只白球；先从第
14、一盒中任取2球放入第二盒中，再从第二盒中任取一只球。问取到白球的概率是多少？例3n解：（1）设A=“从甲袋摸一白球”，B=“从乙袋摸一白球”nP(B)=P(A)P(B|A)+n(2)设Ai=“从甲袋摸i只白球”,i=0,1,2。二、贝叶斯公式n设A1，A2，An为样本空间的一个完备事件组，P(B)0,则n证：例4某人下午5点下班。他所积累的资料表明：到家时间5:355:395:405:445:455:495:505:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.10.250.450.150.05乘汔车到家的概率0.30.350.200.100.05n某日他抛一硬币决定乘地铁还是乘汔车，结果他是5:47到
15、家的。试求他乘地铁回家的概率。n例4解：设A=“他5：47到家”，B=“乘地铁”1.5独立性与伯努利概型n例抛掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，求甲、乙同出现正面的概率。n解：设A=“甲币出现正面”；B=“乙币出现正面”；n则P(A)=2/4=1/2,P(B)=1/2,P(B|A)=1/2nP(AB)=1/4，P(B|A)=1/2=P(B)nP(AB)=P(A)P(B|A)=一、相互独立事件n若A(B)是否发生对B(A)发生的概率没有影响,则把这样的两个事件叫相互独立事件,或称这两个事件相互独立.n定义：若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A、B(相互)独立二、性质nTh
16、1若P(A)0,P(B)0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。nTh2设A,B是两事件，P(A)0,则A,B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B)nTh3若A,B相互独立，则n也相互独立。三、三事件相互独立n若三事件A、B、C满足nP(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),n则称A、B、C相互独立。n四、n个事件相互独立n若n个事件A1,A2,An中任意l(l=2,n)个事件满足n则称A1,A2,An相互独立。性质1：若n(n2)个事件A1,A2,An相互独立，则其中任意k（2kn)个事n件
17、也是相互独立的。n性质2：若n个事件A1,A2,An相互独立，则也相互独立，其中n（n性质3：独立性常据实际意义判断。例1、设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别是0.2,0.6,0.3,试求：n（1）在三次射击中恰有一次命中的概率n（2）在三次射击中至少有一命中的概率n解:(1)设B=“恰有一次命中”，C=“至少有一次命中”，Ai=“第i次射击命中”,i=1,2,3(2)例2、某电路系统是由1个灯泡、4节电池、6个开关串并联组成，每个开关接通的概率n为0.5,且各开关接通与否是互不影响的，求电路中灯不亮的概率。n解：设A,B,C,D,E,F分别表开关a,b,c,d,e,f接通这些
18、事件。nP（“灯亮”）=P(AB)C(DEF)nP(AB)P(C)P(DEF)P（“灯亮”）=P(AB)C(DEF)P(AB)P(C)P(DEF)=P（“不灯亮”）=P（“不灯亮”）=例3、设在每次试验中，事件A发生的概率均为p(0p1,p很小)，求在n次独立试验中A发生的概率。解：设B=“在n次独立试验中A发生的概率”Ai=“在第次试验中A发生”，i=1,2,，n五、n次（重）伯努利概型1、伯努利试验：即只有两个可能结果的试验。2、n次（重）伯努利概型TH4对于n次（重）伯努利概型，事件A在n次试验中发生k次的概率为证明：设=“n次试验中A发生k次”，=“第i次试验中A发生”，i=1,2,n
19、则第二章随机变量及其分布2.1 随机变量与分布函数一、随机变量的概念1、随机变量举例例1、考察抛掷一枚均匀硬币的试验。例2、一个射手向靶子进行了一次射击，现考察他命中靶环的情况。即得定义在上的单值实函数例3、某公共汽车站每隔5min有一辆汽车通过，一位乘客在完全不知道汽车通过该站时间的情况下，随时可能到站候车，考察他的候车时间。例4、在单位正方形内均匀投点，考察点的位置，可能的结果是2、随机变量的定义设(,F,P)是一概率空间，()是定义在上的单值实函数，若对任一实数x， 是一事件，即 则称()为随机变量。F,二、随机变量的分布函数1、分布函数的定义设是一随机变量，则称函数为的分布函数。可简记
20、为F(x)。2、分布函数的性质（1）单调非降性：若（2）左连续性：对任意实数（3）（4）3、用分布函数计算概率（1）（2）（3）（4）（5） 2.2 离散型随机变量一、离散型随机变量的概念1、定义：若一个随机变量只能取有限个或无限可列个值，则称随机变量为离散型随机变量。2、离散型随机变量的分布列（1）非负性：（2）规范性：3、离散型随机变量的分布表例例n例例2.2.1设随机变量X为骰子掷出的点数，显然X=1，2，3，4，5，6；相应概率都是，这样X的概率分布为X12 3456 P(x=k) X的分布函数为：4、离散型随机变量的分布列与分布函数的关系（1）分布列确定分布函数1)i=1,2,，n,
21、2)i=1,2,，(2)分布函数确定分布列二、若干常见离散型分布1、二点分布（0-1分布）如果随机变量X的分布如下PX=1=p,0p 105 PX=2=几何分布如果随机变量X的概率分布为PX= k=2.4 连续型随机变量一、连续型随机变量的概念1、连续型随机变量的定义若的F(x)可表成一个非负可积f(x)的积分则称为连续型随机变量，f(x)称为的概率密度函数，简称密度函数。2、性质(1)非负性： (2)规范性：(3)落在a,b)内的概率为(4)F(x)是(-,)上的连续函数(5)若F(x)连续，且除去有限个点外，F(x)存在且连续，则(6)P(=a)=F(a+0)-F(a)=0(7)(8)(9
22、)若f(x)连续，则f(x)=F(x) 根据定积分的几何意义，(2)式表示概率密度曲线与x轴围成的区域面积为1; (3)式表示的概率就是概率密度曲线y=f(x),直线x=x1,x=x2和x轴围成的曲边梯形的面积，例例2.3.1设随机变量X具有概率密度（1）确定常数k（2）求X的分布函数F(x)（3）求解：(1)（2）X的分布函数为(3)二、若干常见的连续型分布1、均匀分布Ua,b设为在a,b内均匀投点的落点坐标，则若服从0,1上的均匀分布，则称为随机数。若例例2.3.2某地铁列车运行的时间间隔为10分钟，一名乘客在任意时刻进入站台，求他候车时间不超过3分钟的概率。解解 首先，我们应求出他候车时
23、间的概率密度，由于乘客在任意时刻进入站台，可知候车时间，应该均等分布在区间（0，10）内（最多等候10分钟），或者说其候车时间为随机变量X,X在（0，10）上服从均匀分布，于是X的概率密度 为2、指数分布E若的密度函数为则称服从参数为的指数分布，记为E(),0.3、正态分布正态分布如果随机变量X的概率密度为则称随机变量X服从参数为a，2的正正态态分分布布（或高高斯斯（Gauss）分分布布），记作XN(a, 2)正态分布XN(a, 2) 的概率密度的图形如图所示。当a=0，=1时，称X服从标标准准正正态态分分布布，记作XN(0,1)。它的概率密度为它的分布函数记作a-ha+hx=a正态分布的性质
24、1、正态曲线：即的图象(i)正态曲线关于x=a对称；P(a+h),P(a-ha)=P(aa+h)(ii)最大值点x=a,最大值(iii)对确定的a，与f(a)成反比(iv)x=a为曲线的两个拐点.(v)|x|，p(x)02、正态分布的计算（1）标准正态分布的计算当a=0，=1时，称X服从标标准准正正态态分分布布，记作XN(0,1)。它的概率密度为它的分布函数记作当x0,，(x)可查表得到当x0,(x)=1(-x)可查表得到(2)非标准正态分布的计算 定定理理2.4.1若随机变量N(a,2)其分布函数为F(x),则随机变量证：f(x),F(x)也可查得到。 2.5 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布
