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1、第三讲 泰勒公式2021/6/41泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用2021/6/42泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用2021/6/43研究问题研究问题多项式多项式余余 项项简单简单较复杂较复杂误差误差近似计算近似计算理论分析理论分析微分微分? ?一次多项式一次多项式p p1 1( (x x) )误误 差差探究问题探究问题2021/6/44令令令令令令令令 p pn n( (x x) )的确定的确定2021/6/45 余项余项R Rn n( (x x) )的确定的确定多多次次使使用用洛洛必必达达法法则则202
2、1/6/46 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理1 1如果函数如果函数在在处具有处具有n n阶导数阶导数, ,那么存在那么存在对于该邻域内的任一对于该邻域内的任一x x，有，有其中其中函数函数f f ( (x x) )按按( (x x- -x x0 0) )的幂展开的的幂展开的n n次泰勒多项式次泰勒多项式佩亚诺佩亚诺余项余项函数函数f f ( (x x) )按按( (x x- -x x0 0) )的幂展开的的幂展开的带有带有佩亚诺佩亚诺余项的余项的n n阶阶泰勒公式泰勒公式的一个邻域，的一个邻域，2021/6/47研究问题研究问题多项式多项式余余 项项简单简单较复杂较复
3、杂误差误差近似计算近似计算理论分析理论分析微分微分定性定性定量定量拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理表达式表达式? ? ?一次多项式一次多项式p p1 1( (x x) )误误 差差探究问题探究问题2021/6/48 余项余项R Rn n( (x x) )的确定的确定在在x x0 0与与x x 之间之间) )在在x x0 0与与之间之间) )在在x x0 0与与之间之间) )多多次次使使用用柯柯西西中中值值定定理理2021/6/49 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理2 2其中其中这里这里是是与与之间的某个值之间的某个值. .函数函数f f ( (x x) )按按( (x
4、x- -x x0 0) )的幂展开的的幂展开的n n次泰勒多项式次泰勒多项式拉格朗日拉格朗日余项余项函数函数f f ( (x x) )按按( (x x- -x x0 0) )的幂展开的的幂展开的带有带有拉格朗日拉格朗日余项的余项的n n阶阶泰勒公式泰勒公式如果函数如果函数在在的某个邻域的某个邻域内具有内具有那么对任一那么对任一有有阶导数阶导数, ,2021/6/410拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式佩亚诺佩亚诺(Peano)(Peano)型型余项余项麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式2021/6/411泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式
5、三、泰勒公式的应用2021/6/412泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用2021/6/413 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 2021/6/414 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 类似可得类似可得 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 2021/6/415 的麦克劳林公式的麦克劳林公式 2021/6/416泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用2021/6/417泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用2021/6/418三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一
6、) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用2021/6/419三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用2021/6/420 原理原理 若若误差误差在在内内, , 应用应用 1) 1) 已知已知x x 和误差限和误差限 , , 确定近似公式的项数确定近似公式的项数n n ; ;2) 2) 已知近似公式的项数已知近似公式的项数n n和和x x , , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差; ;3) 3) 已知近似公式的项数已知近似公式的项数n n 和误差限和误差限 , , 确定公式中确定公式中x x 的适用范围的适用范围. .2021/6/421u例例
7、1 1 计算无理数计算无理数的近似值的近似值, ,使其误差不超过使其误差不超过u例例2 2 (1)(1)在区间在区间上用近似公式上用近似公式计算计算当用下列各式计算时当用下列各式计算时, ,欲使误差欲使误差小于小于0.0010.001，A A可取多大？可取多大？(2)(2)(3)(3)422464202462021/6/422三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用2021/6/423三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用2021/6/424u例例3 3 求下列极限求下列极限(1)(1)(2)(2)l注注 高阶无穷小的性质高阶无穷小的性质( (c c为常数为常数) )2021/6/425三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用2021/6/426三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用(一) 近似计算(二) 求极限(三) 其它应用2021/6/427u例例4 4 设函数设函数在在上二阶可导上二阶可导, ,且且证明对于任意二数证明对于任意二数及及恒有恒有: :u例例5 5 证明不等式证明不等式2021/6/428部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
