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1、1.定义(dngy)如如则函数函数(hnsh)(hnsh)项项级数级数. .定义定义(dngy)(dngy)1 1幂幂 级级 数数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念为定义在区间I上的函数序列,称为定义在区间I上的第1页/共28页第一页，共29页。2.收敛(shulin)点与收敛(shulin)域若常数(chngsh)项级数收敛(shulin)(发散),则称 x0 为函数项级数的收敛点(发散点).函数项级数收敛点（发散点）的全体称为其收敛域定义定义2 2(发散域).幂幂 级级 数数第2页/共28页第二页，共29页。3.和函数(hnsh)定义定义(dngy(dngy)3)3为函数(hnsh)
2、(hnsh)项级数则s(x)称为函数项级数和函数和函数. .的前n项和序列,若极限存在,幂幂 级级 数数如如, ,它的收敛域为发散域为等比级数在收敛域内和函数是即有第3页/共28页第三页，共29页。函数(hnsh)项级数的部分和余项余项(x在收敛(shulin)域上)注函数项级数(j sh)在某点x的收敛问题,实质上是定义域显然s(x) 的定义域就是级数的收敛域.数项级数的收敛问题.幂幂 级级 数数一般考虑函数它的定义域是但只有在它才是的和函数.第4页/共28页第四页，共29页。1.1.定义(dngy(dngy) )如下形式的函数(hnsh)项级数称为(chn wi)的幂级数幂级数. .定义定
3、义幂幂 级级 数数二、二、幂级数及幂级数及其收敛性其收敛性(将多项式函数的n次方扩充到无穷多项)因为若令t=x-x0，则所以只研究第5页/共28页第五页，共29页。的幂级数幂级数. .称为(chn wi)2.收敛(shulin)半径和收敛(shulin)域级数(j sh)收敛;发散;收敛域发散域幂幂 级级 数数第6页/共28页第六页，共29页。证证阿贝尔 (Abel)(挪威) 18021829定理定理(dngl(dngl)1)1(阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理(dngl)则它在满足(mnz)不等式绝对收敛;发散.收敛,发散,幂幂 级级 数数如果级数则它在满足不等式的一切x处如果级数的一切x处
4、从而数列有界,即有常数 M 0,使得第7页/共28页第七页，共29页。幂幂 级级 数数由(1)结论(jiln),这与所设矛盾(modn).使级数(j sh)收敛,则级数时应收敛,而有一点x1适合第8页/共28页第八页，共29页。(2)(2)也不是在整个数轴(shzhu)上都收敛,则必有一个(y )完全确幂级数 绝对(judu)收敛;幂级数 发散.幂级数可能收敛也可能发散. .幂幂 级级 数数注:收敛区域发散区域发散区域如果幂级数不是仅在x = 0一点收敛,定的正数R存在,它具有下列性质:(1)(1)几何说明几何说明第9页/共28页第九页，共29页。正数(zhngsh)R称为幂级数的称为(chn
5、 wi)幂级数的问: :如何(rh)求幂级数的收敛半径?收敛半径收敛半径. .收敛区间收敛区间. .幂幂 级级 数数(3) 幂级数只在x = 0处收敛,收敛域为单点集幂级数对一切 x 都收敛,收敛域开区间则规定则规定加上收敛的端点为收敛域收敛域. .第10页/共28页第十页，共29页。定理定理(dngl)2. 若若的系数(xsh)满足证证:1) 若 0,则根据比值(bzh)审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即时,则 因此级数的收敛半径幂幂 级级 数数第11页/共28页第十一页，共29页。2) 若则根据(gnj)比值审敛法可知,绝对(
6、judu)收敛 ,3) 若则对除 x = 0 以外的一切(yqi) x 原级发散 ,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径为注注: :据此定理幂幂 级级 数数第12页/共28页第十二页，共29页。例例1 1 求下列幂级数的收敛求下列幂级数的收敛(shulin)(shulin)半径半径与收敛与收敛(shulin)(shulin)域域: :幂幂 级级 数数例例2.的收敛(shulin)域.第13页/共28页第十三页，共29页。解解: 令 级数(j sh)变为当 t = 2 时, 级数(j sh)为此级数(j sh)发散;当 t = 2 时, 级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域
7、为即幂幂 级级 数数第14页/共28页第十四页，共29页。三、幂级数的运算三、幂级数的运算(yn sun)1.线性运算线性运算(yn sun) 及的收敛(shulin)半径令则有 :分别为幂幂 级级 数数设幂级数第15页/共28页第十五页，共29页。的收敛(shulin)半径为则其和函数(hnsh)在收敛(shulin)域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径不变。运算前后收敛半径不变。 若幂级数幂幂 级级 数数(收敛半径不变)2. .和函数的分析运算性质第16页/共28页第十六页，共29页。例例3. 的和函数(hnsh)解解: 易求出幂级数的收敛易求出幂级数的收敛(s
8、hulin)半半径为径为 1 ,x1 时级数(j sh)发散,幂幂 级级 数数第17页/共28页第十七页，共29页。例例4. 求级数求级数(j sh)的和函数(hnsh)解解: 易求出幂级数的收敛易求出幂级数的收敛(shulin)半径为半径为 1 , 及收敛 ,收敛域为-1，1）， 而及幂幂 级级 数数第18页/共28页第十八页，共29页。例5 求的和函数(hnsh).例6 求的和函数(hnsh).并计算并计算(j sun)的和。的和。幂幂 级级 数数例7求的和函数.第19页/共28页第十九页，共29页。 小结(xioji)再对和函数积分(jfn)(求导),求出原级数的和函数.求和(qi h)
9、函数的一般过程是:首先找收敛半径,再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可逐项求导(积分),求得新的幂级数和函数;最后幂幂 级级 数数第20页/共28页第二十页，共29页。幂幂 级级 数数常用(chn yn)已知和函数的幂级数第21页/共28页第二十一页，共29页。内容内容(nirng)小结小结1. 求幂级数收敛(shulin)域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛(shulin)半径 , 再讨论端点的收敛(shulin)性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减运算通项为复合式也可通过换元化为标
10、准型再求 .2) 在收敛域上幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.幂幂 级级 数数第27页/共28页第二十七页，共29页。谢谢大家(dji)观赏！第28页/共28页第二十八页，共29页。内容(nirng)总结1.定义。幂 级 数。幂 级 数。第1页/共28页。则称 x0 为函数项级数。收敛点（发散点）的全体。不是仅在x = 0一点收敛,。幂级数对一切 x 都收敛,。1) 若 0,。3) 当 时,。3) 若。对任意 x 原级数。解: 易求出幂级数的收敛半径(bnjng)为 1 ,。 求部分和式极限,或逐项求导，逐项积分。直接求和: 直接变换,。间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值。 数项级数求和。2、 求极限。第27页/共28页第二十九页，共29页。
