《矩阵的特征值与矩阵的相似对角化【优选课堂】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的特征值与矩阵的相似对角化【优选课堂】（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、试卷和课件下载地址试卷和课件下载地址1简易辅导二二. 矩阵相似对角形矩阵相似对角形对对 阶方阵阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵，如果可以找到可逆矩阵 ，使得使得 为对角阵，就称为为对角阵，就称为把方阵把方阵 对角化。对角化。定义定义:定理定理2： 阶矩阵阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）可对角化（与对角阵相似） 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。(逆命题不成立逆命题不成立)推论推论1 :若若 阶方阵阶方阵 有有 个互不相同的特征值个互不相同的特征值,则则 可对角化。（可对角化。（与对角阵相似与对角阵相似）说明：说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性如果的特征方程有重根，此时
2、不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化2简易辅导推论推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件阶方阵相似于对角阵的充要条件是的是的每一个每一个重特征值对应个线性无关的特征向量重特征值对应个线性无关的特征向量3简易辅导 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下可对角化的矩阵主要有以下几种应用：几种应用：1. 由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵例例3：已知方阵已知方阵 的特征值是的特征值是相应的特征向量是
3、相应的特征向量是求矩阵求矩阵4简易辅导解：解：因为特征向量是因为特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵 是是3 阶方阵。阶方阵。因为因为 有有 3 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得其中其中求得求得5简易辅导6简易辅导2. 求方阵的幂求方阵的幂例例4：设设 求求解：解：可以对角化。可以对角化。齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵令令 得基础解系得基础解系:7简易辅导齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵令令 得基础解系得基础解系:令令求得求得即存在可逆矩阵即存在可逆
4、矩阵 , 使得使得8简易辅导9简易辅导3. 求行列式求行列式例例5：设设 是是 阶方阵，阶方阵， 是是 的的 个特征值，个特征值，计算计算解解：方法方法1 求求 的全部特征值，的全部特征值， 再求乘积即为行列式的值。再求乘积即为行列式的值。设设的特征值是的特征值是即即的特征值是的特征值是10简易辅导方法方法2：已知已知 有有 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化，可以对角化，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得11简易辅导4. 判断矩阵是否相似判断矩阵是否相似解：解：方法方法1的特征值为的特征值为令令3阶矩阵阶矩阵 有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角
5、化。可以对角化。例例6：已知已知3阶矩阵阶矩阵 的特征值为的特征值为1，2，3，设设问矩阵问矩阵 能否与对角阵相似？能否与对角阵相似？12简易辅导即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得方法方法2：因为矩阵因为矩阵 有有3个不同的特征值，所以可以对角化，个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵所以矩阵 能与对角阵相似。能与对角阵相似。13简易辅导例例7：设设 阶方阵阶方阵 有有 个互异的特征值，个互异的特征值， 阶方阵阶方阵 与与 有相同的特征值。有相同的特征值。证明：证明：与与 相似。相似。证：证：设设 的的n个互异的特征值为个互异的特征值为则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 , 使得使得14简
6、易辅导又又也是矩阵也是矩阵 的特征值，的特征值，所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 , 使得使得即即即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得即即 与与 相似。相似。15简易辅导例例816简易辅导17简易辅导18简易辅导取何值时，取何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求通解。多解时，求通解。解解 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵例例919简易辅导R(A) = R(B) = 2 3 , 有无穷多解，此时有无穷多解，此时原方程组的同解方程组是原方程组的同解方程组是方程组方程组R（A）= 2 ，R（B）= 3 ，方，方程组无解。程组无解。20简易辅导得通解为：得通解为：21简易辅导
