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1、第三章信号的统计检测理论本章主要内容本章主要内容信号统计检测理论的基本概念；信号统计检测理论的基本概念；二元信号的最佳检测准则二元信号的最佳检测准则, ,信号的状态判决方信号的状态判决方法和检测性能的分析；法和检测性能的分析；M M元信号的最佳检测；元信号的最佳检测；参量信号的统计检测；参量信号的统计检测；信号的序列检测信号的序列检测. .第第3 3章章 信号的统计检测理论信号的统计检测理论3.1 3.1 引言引言 信号的统计检测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。信号的统计检测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。 信号的统计检测理论，研究在噪声干扰中，信号的信号的统计检测理论，研究在噪声
2、干扰中，信号的有无有无以及信号是属于以及信号是属于哪个哪个状态最状态最佳判决的概念、方法和性能佳判决的概念、方法和性能等问题等问题。其基础就是统计判决理论。其基础就是统计判决理论, ,信号的统计检测又称假设检验。这在大学数理统计中已经接触过。信号的统计检测又称假设检验。这在大学数理统计中已经接触过。3.2 3.2 统计检测理论的基本概念统计检测理论的基本概念基本要求：基本要求：从二元信号的统计检测入手，讲述以下问题：从二元信号的统计检测入手，讲述以下问题：信号状态假设和接收信号的数学模型信号状态假设和接收信号的数学模型; ;不同假设下不同假设下, ,信号的统计特性及其描述信号的统计特性及其描述
3、; ;寻找合理的判决方法寻找合理的判决方法; ;分析检测性能分析分析检测性能分析; ;归纳、抽象并推广到归纳、抽象并推广到 M M（M M 22）元信号的检测。）元信号的检测。充分理解统计检测理论的模型充分理解统计检测理论的模型理解几个判决概率的基本概念理解几个判决概率的基本概念1 1 二元信号检测模型二元信号检测模型信源信源信源的输出称为假设信源的输出称为假设将信源的输出将信源的输出( (假设假设) )以一定的以一定的概率关系映射到整个观察空间中概率关系映射到整个观察空间中接收端所有可能观测量的集合接收端所有可能观测量的集合将观察空间进行合理划分将观察空间进行合理划分, ,使每个观测量使每个
4、观测量对应一个假设判断的方法对应一个假设判断的方法判决规则判决规则观察空观察空间间概率转移机构概率转移机构1 1 二元信号检测模型二元信号检测模型 概率转移机构概率转移机构的作用是在信源输出的一个假设为真的基础的作用是在信源输出的一个假设为真的基础之上，把噪声干扰背景中的假设为真的信号之上，把噪声干扰背景中的假设为真的信号H Hj j(j=0,1),(j=0,1),按照一按照一定的概率关系映射到观测空间中定的概率关系映射到观测空间中. . 观测空间观测空间R R是在信源输出不同信号状态下是在信源输出不同信号状态下, ,在噪在噪声干扰背景中声干扰背景中, ,由概率转移机构所生成的全部可能的由概率
5、转移机构所生成的全部可能的观测量的集合观测量的集合; ;如如: :观测信号观测信号(x|H(x|Hj j)j=0,1.)j=0,1. 观测量落入观测空间后观测量落入观测空间后, ,就可以用来推断哪一个就可以用来推断哪一个假设成立是合理的假设成立是合理的, ,即判决信号属于哪种状态即判决信号属于哪种状态. .为此为此, ,需要建立一种判决规则需要建立一种判决规则, ,以便使观测空间中的每一个以便使观测空间中的每一个观测点对应着相应的假设观测点对应着相应的假设H Hj j(j=0,1).(j=0,1). 判决结果就是选择假设判决结果就是选择假设H H0 0成立成立, ,还是还是H H1 1成立成立
6、. .统计统计假设检验的任务假设检验的任务, ,就是根据观测量落在观测空间中的就是根据观测量落在观测空间中的位置位置, ,按照某种检验规则按照某种检验规则, ,作出信号状态是属于哪个假作出信号状态是属于哪个假设的判断设的判断. .成立成立2 2 二元信号检测判决域二元信号检测判决域二元信号的检测问题，可归结为对观察空间的划分问题，即按照二元信号的检测问题，可归结为对观察空间的划分问题，即按照一定的准则，将观察空间一定的准则，将观察空间R R分别划分为分别划分为R R0 0和和R R1 1两个子空间。两个子空间。2 2 二元信号检测判决域二元信号检测判决域判决假设3 3 二元信号判决结果二元信号
7、判决结果判决假设4 4 二元信号判决概率二元信号判决概率判决假设3 3 二元信号判决结果二元信号判决结果四种检测状态 目标不存在，干扰信号没有超过门限，检测没有发生 目标存在，合成的信号（目标和干扰）超过门限，检测发生 目标不存在，干扰信号超过了门限，虚假的检测产生 目标存在，合成的信号（目标和干扰）没有超过门限，检测没有发生4 4 二元信号判决概率二元信号判决概率5 M元信号检测模型元信号检测模型信源信源信源的输出称为假设信源的输出称为假设将信源的输出将信源的输出(假设假设)以一定的以一定的概率关系映射到整个观察空间中概率关系映射到整个观察空间中接收端所有可能观测量的集合接收端所有可能观测量
8、的集合将观察空间进行合理划分将观察空间进行合理划分,使每个观测量使每个观测量对应一个假设判断的方法对应一个假设判断的方法判决规则判决规则观察空观察空间间概率转移机构概率转移机构成立成立M元信号检测判决域元信号检测判决域成立先验概率与后验概率现在考虑影响检测性能的因素：判决概率、先验概率、代价因子3.3 Bayes Criterion(3.3 Bayes Criterion(贝叶斯准则贝叶斯准则) )基本要求：基本要求：充分理解平均代价充分理解平均代价(Average Risk)(Average Risk)的概念的概念贝叶斯准则的判决表达式贝叶斯准则的判决表达式判决性能分析判决性能分析贝叶斯准则
9、的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小贝叶斯准则的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小. .1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则通信系统中，二元信号的平均解调错误概率：通信系统中，二元信号的平均解调错误概率：可看出，检测性能，不仅与两种错误判决概率有关，还与信源发送可看出，检测性能，不仅与两种错误判决概率有关，还与信源发送0 0和和1 1的的先验概率有关先验概率有关另外，每做出一种判断，人们要付出的代价也是不同的另外，每做出一种判断，人们要付出的代价也是不同的如何综合考虑上述各种因素来设计好的检测方法？如何综合考虑上述各种因素来设计好的检测方法？贝叶斯检测，
10、给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使使平均代价最小平均代价最小的检测准则。的检测准则。1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则问题：问题：代价因子如何定义？代价因子如何定义？平均代价如何计算？平均代价如何计算？如何获得最小的平均代价？如何获得最小的平均代价？1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则1. 1. 代价因子的定义代价因子的定义对于二元信号统计检测，共有四种事件发生，即对于二元信号统计检测，共有四种事件发生，即表示假设表示假设Hj为真时，判决假设为真时，判决假设Hi
11、成立所付出的代价成立所付出的代价注：一般假设注：一般假设1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则2. 2. 平均代价的计算平均代价的计算平均代价平均代价C将由两部分构成，一是信源发送将由两部分构成，一是信源发送H H0 0假设时，判决所付出的代价假设时，判决所付出的代价C C( (H H0 0 ) )二是信源发送二是信源发送H H1 1假设时，判决所付出的代价假设时，判决所付出的代价C C( (H H1 1 ) )1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则2. 2. 平均代价的计算平均代价的计算对于二元信号统计检测，有四种事件发生，即对于二元信号统计检测，
12、有四种事件发生，即因此，因此，1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则2. 2. 平均代价的计算平均代价的计算由由1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则3. 3. 平均代价取到最小值的条件平均代价取到最小值的条件1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则3. 3. 平均代价取到最小值的条件平均代价取到最小值的条件1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则3. 3. 平均代价取到最小值的条件平均代价取到最小值的条件合并合并合并合并1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则3. 3. 平均代价取到最小值
13、的条件平均代价取到最小值的条件和和是两项固定值。是两项固定值。因此，平均代价因此，平均代价C C的大小与判决区域的大小与判决区域R0有关。有关。把使被积函数取负值的观察值把使被积函数取负值的观察值x x值划分给值划分给R0区域，而把其余的观察值区域，而把其余的观察值x值划分给值划分给R1，即可保证平均代价最小。即可保证平均代价最小。1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则4. 4. 贝叶斯判决准则贝叶斯判决准则把使被积函数取负值的观察值把使被积函数取负值的观察值x x值划分给值划分给R0区域，而把其余的观察值区域，而把其余的观察值x值划分给值划分给R1，即可保证平均代价最小
14、。即可保证平均代价最小。判决判决H H0 0假设成立假设成立判决判决H H1 1假设成立假设成立判决判决H H0 0假设成立假设成立判决判决H H1 1假设成立假设成立贝贝叶叶斯斯判判决决准准则则贝叶斯准则基本思路贝叶斯准则基本思路: :根据给定的代价计算平均代价根据给定的代价计算平均代价按照平均代价最小划分观察空间按照平均代价最小划分观察空间, ,得到判决准则得到判决准则对判决表达式进行化简对判决表达式进行化简1 1 平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则2 2 贝叶斯检测的进一步说明贝叶斯检测的进一步说明贝叶斯判决准则贝叶斯判决准则定义为似然比函数定义为似然比函数定义为判决门
15、限定义为判决门限是一维随机变量，称为检验统计量是一维随机变量，称为检验统计量不依赖于假设的先验概率，也与代价因子无关，适用于不同先验概率和不同不依赖于假设的先验概率，也与代价因子无关，适用于不同先验概率和不同代价因子的最佳信号检测。代价因子的最佳信号检测。2 2 贝叶斯检测的进一步说明贝叶斯检测的进一步说明利用贝叶斯判决准则进行检测的基本步骤：利用贝叶斯判决准则进行检测的基本步骤：步骤步骤1 1：计算两个似然函数，构建似然比：计算两个似然函数，构建似然比步骤步骤2 2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限步骤步骤3 3：利用上式，形成贝
16、叶斯检测基本表达式：利用上式，形成贝叶斯检测基本表达式步骤步骤4 4：化简：化简3 3 贝叶斯检测例题贝叶斯检测例题Ex3.1 Ex3.1 在二元数字通信系统中在二元数字通信系统中, ,假设为假设为H H1 1时时, ,信源输出为常值信源输出为常值正电压正电压m m, ,假设为假设为H H0 0时时, ,信源输出输出零电平信源输出输出零电平, ,信号在传输过信号在传输过程中迭加了噪声程中迭加了噪声n n( (t t) ), ,每种信号的持续时间为每种信号的持续时间为T, T, 请请: :(1) (1) 若接收端对接收信号若接收端对接收信号x(t)x(t)在在(0,T)(0,T)时间内进行时间内
17、进行1 1次采样次采样, ,给出给出对应的贝叶斯检测准则对应的贝叶斯检测准则. .(2) (2) 若接收端对接收信号若接收端对接收信号x(t)x(t)在在(0,T)(0,T)时间内进行时间内进行N N次独立采样次独立采样, ,给出给出 对应的贝叶斯检测准则对应的贝叶斯检测准则. .上述两种情况下上述两种情况下, ,噪声采样值噪声采样值n ni i是均值为零是均值为零, ,方差为方差为 的高斯噪声的高斯噪声解：一次采样时解：一次采样时步骤步骤1：计算两个似然函数，构建似然比：计算两个似然函数，构建似然比由于由于n是高斯分布随机变量，因此在是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，观察信号假设下，观察
18、信号x也服从高斯分布，也服从高斯分布，且均值为零，方差为且均值为零，方差为 ,在在H1假设下，观察信号假设下，观察信号x服从均值为服从均值为m，方差为，方差为的高斯分布。的高斯分布。 步骤步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限步骤步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式：形成贝叶斯检测基本表达式步骤步骤4：化简：化简解：解：N次采样时次采样时步骤步骤1：计算两个似然函数，构建似然比：计算两个似然函数，构建似然比由于由于n是高斯分布随机变量，因此在是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，第假设下，第i次采样值次采样值xi服从高斯分布，服从高斯
19、分布，且均值为零，方差为且均值为零，方差为 ,在在H1假设下，第假设下，第i次采样值次采样值xi服从均值为服从均值为m，方差为，方差为的高斯分布。的高斯分布。 步骤步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限步骤步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式：形成贝叶斯检测基本表达式步骤步骤4：化简：化简Ex3.2 考虑以下信号检测问题考虑以下信号检测问题:其中其中n1i是均值为零是均值为零,方差为方差为的高斯随机变量的高斯随机变量, n0i是均值是均值为零为零,方差为方差为 的高斯随机变量的高斯随机变量,且不同采样时刻的加性且不同采样时刻的加性噪声
20、之间是相互统计独立的噪声之间是相互统计独立的.请给出上述问题的贝叶斯检测准则请给出上述问题的贝叶斯检测准则.解：解：N次采样时次采样时步骤步骤1：计算两个似然函数，构建似然比：计算两个似然函数，构建似然比由于由于n是高斯分布随机变量，因此在是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，第假设下，第i次采样值次采样值xi服从高斯分布，服从高斯分布，且均值为零，方差为且均值为零，方差为 ,在在H1假设下，第假设下，第i次采样值次采样值xi服从均值为服从均值为0，方差为，方差为的高斯分布。的高斯分布。 步骤步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限
21、步骤步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式：形成贝叶斯检测基本表达式步骤步骤4：化简：化简步骤步骤4：化简：化简如果如果如果如果贝叶斯检测小结贝叶斯检测小结(1)贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下，使使平均代价最小平均代价最小的检测准则。的检测准则。把使被积函数取负值的观察值把使被积函数取负值的观察值x值划分给值划分给R0区域，而把其余的观察值区域，而把其余的观察值x值划分给值划分给R1，即可保证平均代价最小。即可保证平均代价最小。判决判决H0假设成立假设成立判决判决H1假设成立假设成立贝叶斯判决准则贝叶斯判
22、决准则贝叶斯检测小结贝叶斯检测小结(2)利用贝叶斯判决准则进行检测的基本步骤：利用贝叶斯判决准则进行检测的基本步骤：步骤步骤1：计算两个似然函数，构建似然比：计算两个似然函数，构建似然比步骤步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限步骤步骤3：利用上式，形成贝叶斯检测基本表达式：利用上式，形成贝叶斯检测基本表达式步骤步骤4：化简：化简4 4 贝叶斯检测性能分析贝叶斯检测性能分析贝叶斯检测准则是一种平均代价最小的判决准则，按照贝叶斯贝叶斯检测准则是一种平均代价最小的判决准则，按照贝叶斯检测准则，能获得平均代价到底等于多少？检测准则，能获
23、得平均代价到底等于多少？问题问题1 1：利用贝叶斯检测准则进行检测，平均检测错误概率如何计算？利用贝叶斯检测准则进行检测，平均检测错误概率如何计算？问题问题2 2：上述两个问题的关键在于，如何计算四种事件的检测概率？上述两个问题的关键在于，如何计算四种事件的检测概率？计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。4 贝叶斯检测性能分析贝叶斯检测性能分析计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。计算基本原则：根据化简后的最简判决表示式进行计算。计算步骤：计算步骤：步骤步骤1：推导贝叶斯检测准则的最简表示形式推导贝叶斯检测准则的最简表示
24、形式步骤步骤2：根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数步骤步骤3：计算判决概率计算判决概率4 贝叶斯检测性能分析贝叶斯检测性能分析根据最终的统计量来计算各种判决概率根据最终的统计量来计算各种判决概率最终统计量最终统计量Ex3.3 Ex3.3 考虑以下二元信号假设检验问题考虑以下二元信号假设检验问题: :其中其中ni是均值为零是均值为零,方差为方差为的高斯随机变量的高斯随机变量,且不同且不同采样时刻的加性噪声之间是相互统计独立的采样时刻的加性噪声之间是相互统计独立的.请请(1) 给出上述问题的贝叶斯检测准则给出上述问题的贝叶斯
25、检测准则.(2) 当当N=1时时, 计算判决概率计算判决概率 和和 .(3) 当当N1时时, 计算判决概率计算判决概率 和和 .解：解：N次采样时次采样时步骤步骤1：计算两个似然函数，构建似然比：计算两个似然函数，构建似然比由于由于ni是高斯分布随机变量，因此在是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，第假设下，第i次采样值次采样值xi服从高斯分布，服从高斯分布，且均值为零，方差为且均值为零，方差为 ,在在H1假设下，第假设下，第i次采样值次采样值xi服从均值为服从均值为A，方差为，方差为的高斯分布。的高斯分布。 步骤步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限：根据两个假设的先验概率和
26、代价因子，计算判决门限步骤步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式：形成贝叶斯检测基本表达式步骤步骤4：化简：化简性能分析：性能分析：统计量统计量假设假设H0条件下，统计量条件下，统计量l为高斯分布，均值和方差分别为：为高斯分布，均值和方差分别为：性能分析：性能分析：统计量统计量假设假设H1条件下，统计量条件下，统计量l为高斯分布，均值和方差分别为：为高斯分布，均值和方差分别为：性能分析：性能分析：统计量统计量性能分析：性能分析：统计量统计量Ex3.4 Ex3.4 设二元假设检验的观测信号模型为设二元假设检验的观测信号模型为: :其中其中n是均值为零是均值为零,方差为方差为 的高斯随机变量的高斯随机变
27、量,若两若两种假设先验等概的种假设先验等概的,且代价因子为且代价因子为c00=1, c10=4, c11=2, c01=3.给出上述问题的贝叶斯检测准则和平均代价给出上述问题的贝叶斯检测准则和平均代价C.解：解：步骤步骤1：计算两个似然函数，构建似然比：计算两个似然函数，构建似然比由于由于n是高斯分布随机变量，因此在是高斯分布随机变量，因此在H0假设下，第假设下，第i次采样值次采样值xi服从高斯分布，服从高斯分布，且均值为且均值为1，方差为，方差为 ,在在H1假设下，第假设下，第i次采样值次采样值xi服从均值为服从均值为-1，方差为，方差为的高斯分布。的高斯分布。 步骤步骤2：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限：根据两个假设的先验概率和代价因子，计算判决门限步骤步骤3：形成贝叶斯检测基本表达式：形成贝叶斯检测基本表达式步骤步骤4：化简：化简计算平均代价：计算平均代价：统计量统计量假设假设H0条件下，统计量条件下，统计量l为高斯分布，均值和方差分别为：为高斯分布，均值和方差分别为：平均代价计算：平均代价计算：统计量统计量假设假设H1条件下，统计量条件下，统计量l为高斯分布，均值和方差分别为：为高斯分布，均值和方差分别为：性能分析：性能分析：统计量统计量性能分析：性能分析：统计量统计量c00=1, c10=4, c11=2,c01=3.
