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1、1.4 条件概率1一一, 条件概率的概念条件概率的概念先由一个简单的例子引入条件概率的概念引例引例一批同型号产品由甲,乙两厂生产, 产品结构如下表: 数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012002从这批产品中随意地取一件, 则这件产品为次品的概率为 数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012003在已知取出的产品是甲厂生产的条件下,它是次品的概率为 数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012004记取出的产品是甲厂生产的这一事件为A, 取出的产品为次品这一事件为
2、B.在事件A发生的条件下, 求事件B发生的概率, 这就是条件概率, 记作P(B|A).在本例中, 我们注意到:5记取出的产品是甲厂生产的这一事件为A, 取出的产品为次品这一事件为B. 数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012006事实上, 容易验证, 对一般的古典概型, 只要P(A)0, 总有7在几何概型中(以平面区域情形为例), 在平面上的有界区域S内等可能投点. 若已知A发生, 则B发生的概率为ASBAB8可见, 在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型中总有由这些共性得到启发, 我们在一般的概率模型中引入条件概率的数学定义.9二二, 条件概率
3、的定条件概率的定义定定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)0, 则称(4.1)为在事件A发生的条件下, 事件B的条件条件概率概率. 相应地, 把P(B)称为无条件概率无条件概率. 一般地, P(B|A)P(B).1011例例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.12解解记Ai为事件第i次取到的是黑球 (i=1,2)(1) 在已知A1发生, 即第一次取到的是黑球的条件下, 第二次取球就在剩下的2个黑球, 7个白球共9个球
4、中任取一个, 根据古典概率计算, 取到黑球的概率为2/9, 即有P(A2|A1)=2/913(2) 在已知A2发生, 即第二次取到的是黑球条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球发生在第二次取球之前, 故问题的结构不象(1)那么直观. 我们可按定义计算P(A1|A2).14注注: 用维恩图表达(4.1)式, 若事件A已发生, 则为使B也发生, 试验结果必须是即在A中又在B中的样本点, 即此点必属于AB. 因已知A已发生, 故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间.SABAB15计算条件概率有两种方法:(a) 在样本空间S中, 先求事件P(AB)和P(A), 再按定义计算P(B|A)
5、.(b) 在缩减的样本空间A中求事件B的概率, 就得到P(B|A).16例例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率.解解设A表示第一次取得红球, B表示第二次取得白球, 求P(B|A).17也可以直接用古典概型的办法进行考虑, 因为第一次取走了一个红球, 袋中只剩下4个球, 其中有两个白球, 再从中任取一个, 取得白球的概率为2/4, 所以1819三三, 乘法公式乘法公式由条件概率的定义立即得到:P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)0) (4.2)注意到AB=BA, 及A,B的对称性可得到:P(AB)=P(
6、B)P(A|B) (P(B)0) (4.3)(4.2)和(4.3)式都称为乘法公式乘法公式. 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.20例例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率.分析分析这一概率, 我们曾用古典概型方法计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.21例例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为
7、黑球的概率.解解设Ai表示事件第i次取得黑球(i=1,2), 则A1A2表示事件两次取到的均为黑球. 由题设知:于是根据乘法公式, 有22注注: 乘法公式(4.2)和(4.3)可以推广到有限个事件积的概率情形:设A1,A2,An为n个事件, 且P(A1A2An-1)0, 则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1) (4.4)23例例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.2
8、42526其中B(AB)=B, 从而27四四, 全概率公式全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式. 它将计算一个复杂的概率问题, 可化为在不同情况或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题.28定理定理1 设A1,A2,An,是一个完备事件组, 且P(Ai)0, i=1,2, 则对任一事件B, 有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(BAn)+(4.5)证明明29注注: 公式指出, 在复杂情况下直接计算P(B)不易时, 可根据具体情况构造一组完备事件Ai,使事件B发生的概率是各事件Ai(i=1,2,)发生条件下引起事件B发生的概率总和.直观示意图如下.A1A2A3A3B303
9、1例例6 假设经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 在利率下调时, 某支股票价格上涨的概率为80%, 而在利率不变时, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票价格上涨的概率.3233例例7 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求:(1) 任取一箱, 从中任取一个为废品的概率.(2) 若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.34解解记事件A,B分别为甲, 乙两厂的产品, C为废品, 则(1)由全概率公式35由全概率公式36五五, 贝叶斯公式叶斯公
10、式利用全概率公式, 可通过综合分析一事件发生的不同原因或情况及其可能性来求得该事件发生的概率. 下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题, 即一事件已经发生, 要考察引发该事件发生的各种原因或情况的可能性大小.37定理定理2 设A1,A2,An,是一完备事件组, 则对任一事件B, P(B)0, 有上述公式称为贝叶斯公式贝叶斯公式.由条件概率的定义及全概率公式即可得证.38注注: 公式中, P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先先验概率概率和后后验概概率率. P(Ai)(i=1,2,)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下诸事件发生的概率. 当获得新的信息(知道B发生), 人
11、们对诸事件发生的概率P(Ai|B)有了新的估计, 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化.39例例8 对以往的数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少?40解解设A为事件产品合格, B为事件机器调整良好, 已知所需求的概率为P(B|A). 由贝叶斯公式得41这就是说, 当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里, 概率0.95是由以往的数据分析得到的, 即先先验概率概率, 而在得到信息(
12、即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率0.97即为后后验概率概率. 有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解.42例例9 设某批产品中, 甲,乙,丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的次品率分别为4%, %2, 5%, 现从中任取一件.(1) 求取到的是次品的概率;(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.43解解记A1,A2,A3为该产品由甲,乙,丙厂生产, B为该产品是次品. 由题设知:P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%,P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%.(1) 由全概率
13、公式得44解解记A1,A2,A3为该产品由甲,乙,丙厂生产, B为该产品是次品. 由题设知:P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%,P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%.(1) P(B)=3.5%,(2) 由贝叶斯公式得:45课堂堂练习1. 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?46解解假设事件A为活到20年以上, B为活到25年以上. 则BA, 要求的条件概率是P(B|A), 并已知P(A)=0.8, P(B)=0.4, 而P(AB)=P(B)=0.4, 因此47作业习题1-4 从第27页开始第1,2,10,15,21题48
