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1、电路分析基础1.第五章电容元件与电感元件2 .动态元件v实际电路不能只用电阻元件和电源元件来构成模型，还包实际电路不能只用电阻元件和电源元件来构成模型，还包含含电容元件电容元件和和电感元件电感元件。v这两种元件的电压、电流关系都涉及对电流、电压的微分这两种元件的电压、电流关系都涉及对电流、电压的微分或积分，称为或积分，称为动态元件动态元件。(1)在电路中常常需要接入电容和电感器件。例如滤波，必须在电路中常常需要接入电容和电感器件。例如滤波，必须利用动态元件才能实现这一功能。利用动态元件才能实现这一功能。(2)当信号变化很快时，一些实际器件已不能再用电阻模型来当信号变化很快时，一些实际器件已不能
2、再用电阻模型来表示，必须考虑到磁场变化及电场变化的现象，在模型中表示，必须考虑到磁场变化及电场变化的现象，在模型中需要增添电感、电容等动态元件。需要增添电感、电容等动态元件。v至少包含一个动态元件的电路称为至少包含一个动态元件的电路称为动态电路动态电路。v基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路的连接基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路的连接方式，与构成电路的元件性质无关。方式，与构成电路的元件性质无关。3.5-1 电容元件电容元件是一种反映电路及其附近存在电场而可以储存电电容元件是一种反映电路及其附近存在电场而可以储存电能的理想电路元件能的理想电路元件 。 电容效应是广泛存在的，
3、任何两块金属导体，中间用绝电容效应是广泛存在的，任何两块金属导体，中间用绝缘材料隔开，就形成一个电容器。工程实际中使用的电容缘材料隔开，就形成一个电容器。工程实际中使用的电容器虽然种类繁多、外形各不相同，但它们的基本结构是一器虽然种类繁多、外形各不相同，但它们的基本结构是一致的，都是用具有一定间隙、中间充满介质（如云母、涤致的，都是用具有一定间隙、中间充满介质（如云母、涤纶薄膜、陶瓷等）的金属极板（或箔、膜）、再从极板上纶薄膜、陶瓷等）的金属极板（或箔、膜）、再从极板上引出电极构成。这样设计、制造出来的电容器，体积小、引出电极构成。这样设计、制造出来的电容器，体积小、电容效应大，因为电场局限在
4、两个极板之间，不宜受其它电容效应大，因为电场局限在两个极板之间，不宜受其它因素影响，因此具有固定的量值。如果忽略这些器件的介因素影响，因此具有固定的量值。如果忽略这些器件的介质损耗和漏电流，电容器可以用电容元件作为它们的电路质损耗和漏电流，电容器可以用电容元件作为它们的电路模型。模型。4.应用电容器在电路中的使用量仅次于电阻器电容器在电路中的使用量仅次于电阻器，但是电容在电路，但是电容在电路中的损坏几率比电阻大。当电容器在电路运行过程中出现中的损坏几率比电阻大。当电容器在电路运行过程中出现被击穿或开路故障时，同样会使有关电路失去原来的正常被击穿或开路故障时，同样会使有关电路失去原来的正常工作状
5、态，甚至会造成整个电路瘫痪。然而电容与电阻稍工作状态，甚至会造成整个电路瘫痪。然而电容与电阻稍有不同的是常出现一种漏电软故障。当电容开始产生轻度有不同的是常出现一种漏电软故障。当电容开始产生轻度漏电现象时，该电容在电路中的作用并不会有明显的改变。漏电现象时，该电容在电路中的作用并不会有明显的改变。随着运行时间的增长，漏电日益加重，最终电容完全丧失随着运行时间的增长，漏电日益加重，最终电容完全丧失其作用而导致电路故障。对电路中的这种软故障，维修难其作用而导致电路故障。对电路中的这种软故障，维修难度较大。度较大。5.6实际电脑上的电容每个电容器产品，除了标明型号、电容外，还标有电容器的耐压，电解电
6、容器必须标出其正、负极性。使用电容器时，两极板上所加的电压不能超过耐压，否则电容中的场强太大，极板间的电介质有被击穿的危险，即电介质失去绝缘性能而变为导体，电容器损坏。对电解电容器，两极板上所加的电压极性必须正确。.v把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电容器。容器。v理想介质是不导电的，在外电源作用下，两块极板理想介质是不导电的，在外电源作用下，两块极板上能分别存储等量的异性电荷。上能分别存储等量的异性电荷。v外电源撤走后，电荷依靠电场力的作用互相吸引，外电源撤走后，电荷依靠电场力的作用互相吸引，由于介质绝缘不能中和，极板上的电荷能长久地存由
7、于介质绝缘不能中和，极板上的电荷能长久地存储下去。因此，电容器是一种能存储电荷的器件。储下去。因此，电容器是一种能存储电荷的器件。v电容元件定义如下：电容元件定义如下：一个二端元件，如果在任一时一个二端元件，如果在任一时刻刻t，它的电荷，它的电荷q(t)同它的端电压同它的端电压u(t)之间的关系可以之间的关系可以用用u-q平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。电容元件。7.电容的u-q关系v在某一时刻在某一时刻t，q(t)和和u(t)所取的所取的值分别称为电荷和电压在该时刻值分别称为电荷和电压在该时刻的瞬时值。的瞬时值。v电容元件的电荷瞬时值
8、和电压瞬电容元件的电荷瞬时值和电压瞬时值之间存在着一种代数关系。时值之间存在着一种代数关系。v如果如果u-q平面上的特性曲线是一平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电容元件称之为而变，则此电容元件称之为线性线性时不变电容元件时不变电容元件。v在国际单位制中，在国际单位制中，C的单位为法的单位为法拉。拉。8式中式中C为正值常数，为正值常数，用来度量特性曲线用来度量特性曲线斜率。斜率。q(t)与与u(t)为关联参为关联参考方向。考方向。.5-2 电容的VARv设电流设电流i(t)的参考方向箭头指向的参考方向箭头指向标注标注q(t)的极板，这就意味着
9、当的极板，这就意味着当i(t)为正值时，正电荷向这一极为正值时，正电荷向这一极板聚集，因而电荷板聚集，因而电荷q(t)的变化率的变化率为正。于是，有为正。于是，有9如如u和和i的参考方向的参考方向不一致，则不一致，则.电容电压u表示为电流i的函数v把电容的电压把电容的电压u表示为电流表示为电流i的函数，则的函数，则v如果只需了解在某一初始时刻如果只需了解在某一初始时刻t0以后电容电压的情况，以后电容电压的情况，则则10. 例5-1 电容与电压源相接电容与电压源相接(a)，电压，电压源电压随时间按三角波方式源电压随时间按三角波方式变化如图变化如图(b)，求电容电流。，求电容电流。11解解 从从0
10、.25ms到到0.75ms期间，期间，电压电压u由由+100V线性下降到线性下降到 -100V，其变化率为，其变化率为.解答从从0.75ms到到1.25ms期间期间12.例5-2 设电容与一电流源相接，电流设电容与一电流源相接，电流波形如图波形如图(b)中所示，试求电中所示，试求电容电压。设容电压。设u(0)=0。13解解 先写出先写出i(t)的函数式，对的函数式，对三角波可分段写为：三角波可分段写为：.解答在在 期间期间 14当当t=0.25ms时，时，u=125V。此为一开口向下的抛物线，顶点在此为一开口向下的抛物线，顶点在t=0.5ms、u250V处。处。当当t0.75ms时，电压下降到
11、时，电压下降到125V。在在 期间期间 .解答15此为一开口向上的抛物线方程，此为一开口向上的抛物线方程，其顶点在其顶点在t=l ms，u=0处。处。在在 期间期间 .5-3 电容电压的连续和记忆性质电容电压的电容电压的连续性质连续性质可陈述如下：可陈述如下：v若电容电流若电容电流i(t)在闭区间在闭区间ta,tb内为有界的，则电容电内为有界的，则电容电压压uC(t)在开区间在开区间(ta,tb)内为连续的。特别是，对任何时内为连续的。特别是，对任何时刻刻t，且，且ta t tb 即即“电容电压不能跃变电容电压不能跃变”，在动态电路分析问题中常，在动态电路分析问题中常常用到这一结论。常用到这一
12、结论。16.证明 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间的连续在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间的连续函数。任取一点函数。任取一点t，以，以t和和t+dt分别作为积分的上、下限，分别作为积分的上、下限，且且ta t tb和和ta t+dt tb，则则 由于由于i(t)在在ta,tb内为有界的，对所有在内为有界的，对所有在ta,tb内的内的t，必存在一个有限常数，必存在一个有限常数M，使，使|i(t)|M。在曲线。在曲线i(t)下由下由t轴和上、下限所界定的图形的面积最大为轴和上、下限所界定的图形的面积最大为Mdt，当，当dt0时，该面积也将趋于零，根据上式，这就意味着当时，该面积也将趋
13、于零，根据上式，这就意味着当dt0时，时，uc(t+dt)uc(t)，亦即在，亦即在t处，处，uC是连续的。是连续的。17.电容电压的记忆性质v上式为电容电压记忆性质的关系式。利用初始电压上式为电容电压记忆性质的关系式。利用初始电压uC(t0)对对tt0时电流的记忆作用，在不需考虑时电流的记忆作用，在不需考虑tt0时电流的具体情况下，即能解决时电流的具体情况下，即能解决t t0时的电容电时的电容电压压uC(t)的问题。的问题。v在含电容的动态电路分析问题中，这是一个十分重在含电容的动态电路分析问题中，这是一个十分重要的概念，因而电容的初始电压是一个必须具备的要的概念，因而电容的初始电压是一个必
14、须具备的条件。条件。18.电容初始电压的等效电路设电容的初始电压设电容的初始电压19即：对已被充电的电容，若即：对已被充电的电容，若已知，已知， ，则在，则在tt0时，可等效为时，可等效为一个未充电的一个未充电的电容与电压源相串联电容与电压源相串联的电路，的电路，电压源的电压值即为电压源的电压值即为t0时电容时电容两端的电压两端的电压U0。电压。电压U0称为称为电容电压电容电压uC的的初始状态初始状态。.例5-3 已知已知C=4F，i(t)波形如图所示。波形如图所示。(1)试求电容电压试求电容电压uC(t)、t 0；(2)求求uC(0)、uC(1)、uC(-0.5)；(3)试作出试作出t0时该
15、电容的等效电路时该电容的等效电路。20.解答解解: (1) 求电容电压求电容电压uC(t)、t 0；21.解答22(3)作出作出t0时该电容的等效电路时该电容的等效电路(2)求求uC(0)、uC(1)、uC(-0.5).解答23.5-4 电容的储能电容电容C在某一时刻在某一时刻t的储能只与该时刻的储能只与该时刻t的电压有关，即的电压有关，即24在在t1到到t2期间所供给的能量可表为期间所供给的能量可表为. 5-5 电感元件v电感元件的定义：一个二端元电感元件的定义：一个二端元件，在任一时刻件，在任一时刻t，它的电流，它的电流i(t)同它的磁链同它的磁链 (t)之间的关系之间的关系可以用可以用i
16、- (t)平面上的一条曲平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为线来确定，则此二端元件称为电感元件。电感元件。v电感元件的电流瞬时值与磁链电感元件的电流瞬时值与磁链瞬时值之间存在一种代数关系。瞬时值之间存在一种代数关系。25.26 应用：应用：电感线圈的精度范围为 。通常用于谐振回路的电感线圈精度比较高，其允许偏差为 ;用于耦合、滤波的电感线圈的精度比较低，其允许偏差为 ；高、低频阻流圈、镇流器线圈、换能线圈等的允许偏差为 。带骨架的空芯电感，比如实验室用的线圈、收音机中的振荡线圈等；无骨架的空芯电感，比如电视机高频头中的选频线圈、调频收音机中的调谐线圈等。.5-6 电感的VARv根据电磁感应
17、定律、感应电压等于磁链的变化率。当根据电磁感应定律、感应电压等于磁链的变化率。当电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，可得时，可得27.注意v在电磁学中，感应电动势与磁链的关系表为：在电磁学中，感应电动势与磁链的关系表为： 因此，因此，u和感应电动试和感应电动试e差一个负号。差一个负号。v电磁学中，电磁学中，e参考方向的规定与参考方向的规定与u相反，那就是相反，那就是e与与i的参考的参考方向应一致，不这样规定，便不能反映楞次定律。由于方向应一致，不这样规定，便不能反映楞次定律。由于e是指电压升，它的参考方向是指由是指电压升，它的参考方向
18、是指由“-”到到“+”的方向，的方向，故故e与与i参考方向一致时，其参考极性如右上图所示。参考方向一致时，其参考极性如右上图所示。28.5-7电感电流的连续性和记忆性质v电感电流的连续性质可陈述如下：电感电流的连续性质可陈述如下：v若电感电压若电感电压u(t)在闭区间在闭区间ta，tb内为有界的，则电感电流内为有界的，则电感电流iL(t)在区间在区间(ta，tb)内为连续的。即，对任何时间内为连续的。即，对任何时间t，且，且ta t tbv即：即：电感电流不能跃变电感电流不能跃变，在动态电路的分析问题时常常用，在动态电路的分析问题时常常用到这个结论。到这个结论。29.等效电路v设电感的初始电流
19、为设电感的初始电流为i(t0)=I0，则，则v在在tt0时可等效为时可等效为一个初始电流为零的电感与电流源一个初始电流为零的电感与电流源的并联电路，电流源的电流值即为的并联电路，电流源的电流值即为t0时电感的电流时电感的电流I0。30. 5-8 电感的能贮 v电感的功率为：电感的功率为：v在在t1到到t2期间所供给的能量可表为期间所供给的能量可表为31此即为在此即为在t1至至t2期间电感贮能的改变量。由此可知，期间电感贮能的改变量。由此可知，电感的贮能公式应为电感的贮能公式应为.状态变量v在动态电路的各个电压、电流变量中，在动态电路的各个电压、电流变量中，电容电压电容电压uC(t)和和电感电流
20、电感电流iL(t)占有特殊重要的地位，它们称为电路占有特殊重要的地位，它们称为电路的的状态变量状态变量。v在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量，在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在若已知它们在t0时的数值和所有在时的数值和所有在t t0时的输入，就时的输入，就能确定在能确定在t t0时电路中的任何电路变量。时电路中的任何电路变量。vuC(t0)和和iL(t0)称为电容电压和电感电流的称为电容电压和电感电流的初始状态初始状态。32.例5-5 已知已知t 0时电感电压时电感电压u为为e-tV，且知在某一时刻，且知在某一时刻t1，电压电压u为为0.4V。试问在这一时
21、刻：。试问在这一时刻：(1)电流电流iL的变化率是多少的变化率是多少?(2)电感的磁链是多少电感的磁链是多少?(3)电感的贮能是多少电感的贮能是多少?(4)从电感的磁场放出能量的速率是多少从电感的磁场放出能量的速率是多少?(5)在电阻中消耗能量的速率是多少在电阻中消耗能量的速率是多少?33.解答v必须注意本题电感电压与电感电流的参考方向不一致，必须注意本题电感电压与电感电流的参考方向不一致，为方便、令为方便、令 u=-u，u=-e-tV。34iL(0) 0，表示处始时刻电感有贮能，这一贮能使电路，表示处始时刻电感有贮能，这一贮能使电路在没有电源的情况下仍有电流、电压。在没有电源的情况下仍有电流
22、、电压。.解答(1)电流变化率电流变化率：35在在t=t1时时 ，即，即 ，故得此时电流变，故得此时电流变化率为化率为(2)磁链：磁链：.解答(3)贮能：贮能：36(4)磁场能量的变化率，即功率为磁场能量的变化率，即功率为 此时功率为负值，说明电感放出能量、这个能量为此时功率为负值，说明电感放出能量、这个能量为电阻所消耗。电阻所消耗。.解答(5)电阻消耗能量的速率，即电阻消耗的功率为电阻消耗能量的速率，即电阻消耗的功率为37.5-9 电容与电感的对偶性v如果将电容与电感的如果将电容与电感的VAR加以比较，就会发现，把电加以比较，就会发现，把电容容VAR中的中的i换换u，u换以换以i，C换以换以
23、L就可得到电感的就可得到电感的VAR；反之，通过类似的变换，也可由后者得到前者。；反之，通过类似的变换，也可由后者得到前者。v因此，电容与电感是一对对偶量。因此，电容与电感是一对对偶量。38.5-10 非线性电容v非线性电容不能用单一的电容值来表征，而应该用非线性电容不能用单一的电容值来表征，而应该用u-q平面上的一条曲线来表征平面上的一条曲线来表征39称为该电容元件的称为该电容元件的增量电容增量电容。.例5-6 若非线性电容的若非线性电容的u-q关系为关系为施于电容两端的电压为施于电容两端的电压为求流过电容的电流，设求流过电容的电流，设u、i参考方向一致。参考方向一致。40解解 由于由于.5
24、-11非线性电感v非线性电感不能用单一的电感值来表征，而应该用非线性电感不能用单一的电感值来表征，而应该用i- 平面上的一条曲线来表征。平面上的一条曲线来表征。41称为该电感元件的称为该电感元件的增量电感增量电感。.例5-8 非线性电感非线性电感i- 关系为关系为若流过电感的电流为若流过电感的电流为求电感电压。求电感电压。42解解电感电压为电感电压为.电感器的模型v把一个电感线圈看成是一个电感元件，用把一个电感线圈看成是一个电感元件，用(a)所示的模所示的模型来表示，一般来说，准确性是比较差的。型来表示，一般来说，准确性是比较差的。v电感线圈不仅存贮能量也消耗能量。消耗的能量是由电感线圈不仅存
25、贮能量也消耗能量。消耗的能量是由绕制线圈所用导线的电阻引起的。常用一个与电感绕制线圈所用导线的电阻引起的。常用一个与电感L串串联的电阻联的电阻R来表示，如图来表示，如图(b)所示。所示。v线圈的匝与匝之间还有电容存在，当施加于线圈的电线圈的匝与匝之间还有电容存在，当施加于线圈的电压变化率很高时，电容的作用就不能忽略。在模型中压变化率很高时，电容的作用就不能忽略。在模型中用一个跨接干线圈两端的电容来近似地表明这个情况，用一个跨接干线圈两端的电容来近似地表明这个情况，如图如图(c)所示。所示。43.电容器的模型v电容器可以用电容元件作为模型，图电容器可以用电容元件作为模型，图(a)是电容器模型。是
26、电容器模型。v电容器消耗的能量不容忽略，这些能量损失并不全是电容器消耗的能量不容忽略，这些能量损失并不全是因漏电流造成的，还包括介质处于反复极化时所消耗因漏电流造成的，还包括介质处于反复极化时所消耗的能量。在模型中增添一个并联电导的能量。在模型中增添一个并联电导G来计及这部分来计及这部分能量损失，如图能量损失，如图(b)。v当电容器两端电压的变化率很高时，电流产生的磁场当电容器两端电压的变化率很高时，电流产生的磁场不容忽视，在模型中增添电感元件不容忽视，在模型中增添电感元件L，如图，如图(c)。44.电容串联v设设n个电容元件串联，如图个电容元件串联，如图(a)，各电容的初始电压为，各电容的初
27、始电压为u1(0)、u2(0)、un(0)，设流过各电容的电流为，设流过各电容的电流为i，各，各电容电压为电容电压为u1，u2、un与电流为关联参考方向，与电流为关联参考方向，两端电压为两端电压为u，则则45.电容串联等效电路v等效电路电容等效电路电容Cs的倒的倒数为各串联电容倒数数为各串联电容倒数的总和。的总和。v等效电路电容的初始等效电路电容的初始电压电压u(0)为各串联电为各串联电容初始值的代数和。容初始值的代数和。46.电容并联v根据根据KCL和电容的和电容的VAR式式 不难得出不难得出n个电容个电容并联的等效电容为并联的等效电容为47.串联电感v串联电感串联电感Ls的等效电感为各个电
28、感的总和的等效电感为各个电感的总和48.电感并联v对并联电感电路，若并联电感为对并联电感电路，若并联电感为L1、L2、Ln，电流，电流分别为分别为i1、i2、in，总电流为，总电流为i，则由，则由KCL得得49.习题5-14若若i(t)波形如图中所示，求所需要电源的电流波形。波形如图中所示，求所需要电源的电流波形。50解解 设电压、电流参考方向如图。电源的电流等于电感电设电压、电流参考方向如图。电源的电流等于电感电流与电阻电流之和。先求出电阻电流波形，再与电感电流与电阻电流之和。先求出电阻电流波形，再与电感电流波形叠加，即可得电源的电流波形。流波形叠加，即可得电源的电流波形。 电阻的电流电阻的
29、电流iR与电阻两端的电压成正比，电阻和电感是与电阻两端的电压成正比，电阻和电感是同一个电压同一个电压u，电感电压与电感电流的斜率成正比，因此，电感电压与电感电流的斜率成正比，因此，由电感电流由电感电流i(t)的波形即可求出电阻电流的波形。的波形即可求出电阻电流的波形。+.解答v按时间分段求按时间分段求u。 在在-4 t -1s期间，电流斜率为期间，电流斜率为-1/351在在-1 t 1s期间，电流斜率为期间，电流斜率为1，u=2V，iR=4A在在1 t 7s期间，电流斜率为期间，电流斜率为-1/3，u=-2/3V，iR=-4/3A在在7 t 9s期间，电流斜率为期间，电流斜率为1，u=2V，iR=4A.解答（电流波形）52电感电流波形电感电流波形电阻电流波形电阻电流波形电流源电流波形电流源电流波形.作业习题五习题五 1 1，4 4，8 8，1010，1111预习第六章预习第六章53.
