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1、重点难点重点：掌握空间向量加、减、数乘、数量积的运算和运算律掌握共面、共线向量定理和空间向量分解定理难点：共面向量定理与空间向量基本定理的理解与应用知识归纳1空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间中，具有大小和方向的量叫做向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广，平面向量加减及数乘的所有运算律都满足2共线向量与共面向量(1)如果空间向量的基线，则这些向量叫做共线向量或平行向量，规定零向量与任何一个向量共线(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量空间任意两个向量总是共面的，三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的
2、对角线所表示的向量(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是.互相平行或重合存在惟一实数，使ab(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x、y)，使p .xayb3空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z，使pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量(2)空间向量a、b的数量积的定义，性质及运算律与平面向量相同5空间向量的直角坐标运算(1)空间向量的直角坐标设i，j，k是单位正交基底，对于空间任一向量a，由空间向量的基
3、本定理，存在惟一的有序实数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记为a(a1，a2，a3)(2)向量的直角坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3；其中dA，B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式误区警示1空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，既要会类比平面向量的知识与方法来学习空间向量，又要注意其区别2零向量是一个特殊向量，在解
4、决问题时要特别注意零向量，避免因对零向量的忽视致误3空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们的基线可以平行也可以重合4当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是判断p、a、b的基线共面的条件，用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线所确定的平面内5特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定(2)在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0，因为其中cos有可能为0，即两向量垂直时ab0.(3)已知实数a、b、c(b0)，则abbc
5、ac，在向量中abbc并不一定有ac.(4)在实数中，有(ab)ca(bc)，但是在向量中一般(ab)ca(bc)(5)a、b同向时，ab|a|b|；a与b反向时，ab|a|b|.一、如何用空间向量解决立体几何问题1思考方向：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？2空间问题如何转化为向量问题(1)平行问题
6、向量共线，注意重合；(2)垂直问题向量的数量积为零，注意零向量；(3)距离问题向量的模；(4)求角问题向量的夹角，注意角范围的统一3向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标系是关键答案：B答案：C点评：应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面方法的区别与联系答案：0例3如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60，N是CM的中点如图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若ABOC，求证PMQN.例4已知空间三点
7、A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1，5)如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E、F的坐标；一、选择题1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k值是()答案D解析kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2)(3,2，2)，2a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则ab与ab的夹角为()A0 B30 C60 D90答案D二、填空题3若a(3x，5,4)与b(x,2x，2
8、)之间夹角为钝角，则x的取值范围为_三、解答题4设e1、e2、e3是三个不共面向量，试问向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面？请说明理由解析设c1a2b，则 请同学们认真完成课后强化作业1如图，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD，并求直线PC与平面PBD所成角的正弦值四边形ABME为平行四边形，BMEA，又BM平面PAD，EA平面PAD，BM平面PAD.(2)以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，M(1,1,1)，E(0,1,1)假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N(0，y，z)，(1)求证：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大小；(3)求点C1到平面AB1D的距离解析(1)连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，DE为A1BC1的中位线，BC1DE.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D.
