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1、 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小形状大小相同相同，请设计合理的解决方案。，请设计合理的解决方案。三角形的中位线三角形的中位线温馨提示温馨提示连结三角形两边中点的线段叫连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形的中位线三角形有三角形有三三条中位线条中位线三角形的三角形的中位线中位线和三角形的和三角形的中线中线不同不同EDFACB获取新知获取新知你还能画出几条三角形的中位线？你还能画出几条三角形的中位线？（1 1）相同之处相同之处都和都和边的边的中点中点有关；有关；（2 2）不同之处）不同
2、之处： 三角形中位线三角形中位线的的两个端点两个端点都是都是边的中点边的中点； 三角形中线三角形中线只有只有一个端点一个端点是是边的中点，边的中点，另一端另一端点是三角形的顶点。点是三角形的顶点。CBAED概念对比概念对比CBAD中线中线DCDC中位线中位线DEDEDE和边和边BC关系关系数量关系：数量关系：位置关系：位置关系：DEBCDE= BC.ABCDE问题问题1:ABC中中,若若D是是AB的中点时的中点时,E也是也是AC 的中点的中点,则则DE与与BC存在何种关系存在何种关系?想一想想一想 如图：在如图：在ABC中，中，D是是AB的中点，的中点，E是是AC的中点的中点. 则有：则有：
3、DEBC,DE= BC.21EABCDEABCDF解题分析解题分析2: 延长延长DE到到F,使使EF=DE , 连接连接CF 易证易证ADECFE， 得得CF=AD , CF/AB 又可得又可得CF=BD,CF/BD 所以四边形所以四边形BCFD是平行四边形是平行四边形 则有则有DE/BC,DE= DF= BC 解题分析解题分析 3.ABCDEBCADEF证明：延长证明：延长DE到到F,使使EF=DE,连接连接FC、DC、AF四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形四边形四边形DBCF是平行四边形是平行四边形AE=EC CFDA，CF=DACFBD，CF=BD DFBC，DF=BC又又DE
4、= DFDEBC且且DE= BC 三角形的中位线三角形的中位线平行平行且且等于等于第三边的一半第三边的一半. .几何语言几何语言：DEDE是是ABCABC的中位线的中位线（或（或AD=BD,AE=CE)AD=BD,AE=CE)CEDBA 证明证明平行平行问题问题 证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的两倍两倍或或一半一半用用 途途ACBEDF初试身手初试身手练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC的中点的中点若若ADE=65ADE=65，则，则B=B= 度，为什么？度，为什么？若若BC=8cmBC=8cm，则，则DE=DE= cmcm，为什么？，为什
5、么？65654 4若若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， 则则DEF的周长的周长=_练习练习1.如图，在如图，在ABC中，中，D、E、F分别分别是是AB、AC、BC的中点的中点9cm9cm若若 ABC的周长为的周长为24， DEF的周长是的周长是_12121、 三角形三条中位线围成的三角三角形三条中位线围成的三角形的形的周长周长与原三角形的与原三角形的周长周长有什么有什么关系？关系？探究活动探究活动2、三角形三条中位线围成的三角形的、三角形三条中位线围成的三角形的面积面积与原三角与原三角形的形的面积面积有什么关系？有什么关系？图中有图中有_个平行四边形个平行四边形若若 ABC的面积为的
6、面积为24， DEF的面积是的面积是_3 36 6设设 计计 方方 案：案： F （中点）(中点中点)DE(中点中点)ABC 例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.已知：已知：ABC中中,AD=DB，BE=EC，AF=FC.求证：求证：AE与与DF互相平分互相平分.FABCDE证明证明:连接连接DE、EF，因为，因为AD=DB，BE=EC，所以所以DE AC（三角形的中位线平（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）行于第三边并且等于第三边的一半）。同理同理EF AB。所以四边形所以四边形ADEF是平行四边形。是平行四边形。因此因此AE、DF互相平分。（平行四互相平分。
7、（平行四边形的对角线互相平分）边形的对角线互相平分）定理应用定理应用已知已知: :如图如图,A,B,A,B两地被池塘隔开两地被池塘隔开, ,在没有任何测量工具的情况下在没有任何测量工具的情况下, ,小小明通过学习明通过学习, ,估测出了估测出了A,BA,B两地之两地之间的距离间的距离: :先在先在ABAB外选一点外选一点C,C,然后然后步测出步测出AC,BCAC,BC的中点的中点M,N,M,N,并测出并测出MNMN的长的长, ,由此他就知道了由此他就知道了A,BA,B间的距间的距离离. .你能说出其中的道理吗你能说出其中的道理吗? ?CMBAN其中的道理是其中的道理是: :连结A、B, MN是
8、ABC的的中位线,AB=2MN.中位线定理应用中位线定理应用 已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，中，ADADBCBC，P P是对角线是对角线BDBD的中点，的中点，M M是是DCDC的中点，的中点，N N是是ABAB的中点求证的中点求证1 12 2已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是 AB、BC、CD、DA的中点的中点.猜想四边形猜想四边形EFGH的形状并证明。的形状并证明。ABCDEFGHE，F是是AB，BC的中点，你联想到什么？的中点，你联想到什么？ 要使要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？成为一个三角形的中位线应怎样
9、添加辅助线？ 证明：如图，连接证明：如图，连接ACEF是是ABC的中位线的中位线同理得：同理得： 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形典例示范典例示范 答：答： 四边形四边形EFGH为平行四边形。为平行四边形。巩固练习巩固练习1.如图，点D、E、F分别是ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？BAFEDC2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？ABC课堂检测课堂检测: : 1.如图如图,在在ABC中中, BCAC,点点D在在BC边上边上,且且DC=AC, ACB的平分线
10、的平分线CF交交AD于于F ,点点E是是AB的中点的中点,连接连接EF,求证求证:EF是是ABD的中位的中位线线. 如如图图，l l1 1 / / l l2 2 ， 线线段段AB/CD/EF, AB/CD/EF, 且且点点A A、C C、E E在在l l1 1上上，B B、D D、F F在在l l2 2上上，则则ABAB、CDCD、EFEF的长短相等吗？为什么？的长短相等吗？为什么？l1l2EFCDAB夹在两平行线间的平行线段相等。夹在两平行线间的平行线段相等。 2.如图如图,在四边形在四边形ABCD中中, ABCD, 且且CD等于等于AB的一半。的一半。E是是BC的中点的中点,DE交交AC于
11、点于点F , 求证求证 : DE被被AC平分平分.l1l2EFCDAB 如如图图，l l1 1 / / l l2 2 ，点点A A、C C、E E在在l l1 1上上，线线段段ABAB、CDCD、EFEF都都垂垂直直与与l l2 2 ，垂垂足足分分别别为为B B、D D、F F，则则ABAB、CDCD、EFEF的长短相等吗？为什么？的长短相等吗？为什么？一一条条直直线线上上的的任任一一点点到到另另一一条条直直线线的的距离距离，叫做这，叫做这两条平行线间的距离两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等平行线间的距离处处相等它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、BC上截取EFMN，连接EM、FN，EM和FN有怎样的关系？为什么？ABCDEFMN 小结小结1、三角形中位线的定义三角形中位线的定义2、三角形中位线定理三角形中位线定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半第三边的一半3 3、两条平行线间的距离、两条平行线间的距离一条直线上的任一点到另一条直线的距离，一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离叫做这两条平行线间的距离平行线间的距离处处相等平行线间的距离处处相等
