数学分析级数

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 正项级数 三、积分判别法返回返回返回返回 收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法*四、拉贝判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同若数项级数各项的符号都相同, , 则称它为同号级数则称它为同号级数. . 对于同号级数对于同号级数, , 只须研究各项都是由正数组成的级只须研究各项都是由正数组成的级 数数(称正项级数称正项级数). .若级数的各项都是负数若级数的各项都是负数,

2、,则它乘以则它乘以 - -1后就得到一个正项级数后就得到一个正项级数, ,它们具有相同的敛散性它们具有相同的敛散性. . 定理定理12.5 收收敛的充要条件是的充要条件是:部分和部分和 有界有界, 即存在某正数即存在某正数M, 对一切正整数一切正整数 n 有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证 所以所以Sn是递增数列是递增数列. .而而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界单调数列收敛的充要条件是该数列有界( (单调有界单调有界 定理定理).).这就证明了定理的结论这就证明了定理的结论. . 仅靠定义和定理仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不来判断正项级数的收敛性是不

3、 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收 敛性判别法则敛性判别法则. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理12.6 (比比较原原则) 级数级数, , 如果存在某正数如果存在某正数N, , 对一切对一切 n N 都有都有 则则证证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 散性散性, ,因此不妨设不等式因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立对一切正整数都成立. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由(1)式可得式可得, ,对一切正整数对一切正整数 n, 都有都有

4、则由由(2)式式对一切一切 n 有有 , 即正即正项级数数 的部分和数列的部分和数列 有有 界界, 由定理由定理12.5级数数 收收敛, 这就就证明了明了(i). (ii)为为(i)的逆否命题的逆否命题, ,自然成立自然成立. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 解解 因因为正正项级数数 收收敛 (1例例5的注的注), 故由故由 比比较原原则和定理和定理12.3, 级数数 也收也收敛. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 若若级数数证 因因为 , 而而级数数 收收敛， 根据比根据比较原原则, 得到得到级数数 收收敛. 在实际使用上在实际使用上, ,比较

5、原则的极限形式通常更方便比较原则的极限形式通常更方便. .推推论 (比比较原原则的极限形式的极限形式) 设 是两个是两个 正项级数正项级数, ,若若 则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证 (i) 由由(3) 存在某正数存在某正数N, 当当 n N时时, ,恒有恒有 或或返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由比由比较原原则及及(4)式得式得,时, 级数数 与与同同时收收敛或同或同时发散散. 这就就证得了得了(i). . (ii) 当当l = 0时时, ,由由(4)式右半部分及比较原则可得式右半部分及比较原则可得, ,若若 级数数 收收敛, 则级数数 也收也收敛. 则

6、对于正数于正数1, , 存在相存在相应的正的正数数N, ,当当 n N 时时, , 都有都有 于是由比于是由比较原原则知道知道, 若若级数数发散散, 则级数数 也也发散散. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 级数数 是收是收敛的的, 因因为以及等比以及等比级数数 收收敛, 根据比根据比较原原则的极限形的极限形 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 正正项级数数 是是发散的散的, 因因为 根据比根据比较原原则的极限的极限 形式以及形式以及调和和级数数 发散散, 得到得到级数数 也也发 散散. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*例例5 判

7、断正判断正项级数数 的的敛散性散性.解解 因因为 故可将故可将 与与进 行比较行比较. . 由于由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注意到注意到 所以所以 根据比根据比较原原则, 原原级数收数收敛.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象 而得到的而得到的, , 但在使用时只要根据级数一般项本身的但在使用时只要根据级数一般项本身的 特征就能作出判断特征就能作出判断. .定理定理12.7( (达朗达朗贝尔尔判判别法法, 或比式判或比式判别法法)设 为正正项

8、级数数, 且存在某正整数且存在某正整数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则级数数 收收敛.证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页把前把前n-1个不等式按项相乘后个不等式按项相乘后, ,得到得到由于当由于当0 q N 时时, , 有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由上述不等由上述不等式式的左半部分及比式判的左半部分及比式判别法的法的 (i), 得正得正项级数数 是收敛的是收敛的. . 根据上述不等式的左半部分根据上述不等式的左半部分 及比式判及比式判别法的法的 (ii), 可得可得级数数 是是发散的散的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前

9、页例例6 6 级数级数由于由于 根据推论根据推论1，级数收敛，级数收敛. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7 讨论级数数 的的敛散性散性.解解 因为因为 根据推论根据推论1, ,当当 0 x 1时级数发时级数发 散散; 而当而当 x = 1 1时, 所考察的所考察的级数是数是, 它它显然也是然也是 发散的发散的. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性作出判断性作出判断. 例如例如级数数它它们的比式极的比式极 (1例例5), 却是却是发散的散的(1例例3).若某级数的若某级数的(7)式的极限不存在式的极限不存在, ,则可应用上、下极则可应用上、下极限来判别

10、收敛性限来判别收敛性. . 若若(7)中中q = 1, ,这时用比式判别法不能对级数的敛散这时用比式判别法不能对级数的敛散 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*推推论2设为正正项级数数.*例例8 研究级数研究级数的的敛散性散性, 其中其中 0 b c.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 由于由于故有故有于是当于是当c 1 1时时, ,级数级数(8)发散发散; ; 但当但当b 1 N, 有有 于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论. . 推推论1( (根式判根式判别法的极限形式法的极限形式) 设 为正正项级 数数, ,且且

11、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例9 研究研究级数数的的敛散性散性.解解 由于由于所以级数是收敛的所以级数是收敛的. .若在若在(11)式中式中 l =1, ,则根式判别法仍无法对级数的敛则根式判别法仍无法对级数的敛 散性做出判断散性做出判断. 例如例如都有都有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页发散的发散的. . 若若(11)式的极限不存在式的极限不存在, 则可根据根式可根据根式的上极限的上极限 来判断来判断. . *推推论2 设为正正项级数数, 且且则当则当 (i) l 1 时级数发散时级数发散. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*例例10

12、考察考察级数数的的敛 散性，其中散性，其中解解 由于由于故故因此因此级数是收数是收敛的的. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如果如果应用比式判用比式判别法法, 由于由于 我我们就无法判断其收就无法判断其收敛性性.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据第二章根据第二章总练习题 4 (7), 当当 时, 必有必有这说明凡能由比式判明凡能由比式判别法判法判别收收敛性的性的级数数, 也能也能 由根式判别法来判别由根式判别法来判别, , 亦即根式判别法较之比式判亦即根式判别法较之比式判 别法更法更为有效有效. 例如级数例如级数由于由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前

13、页前页前页故比式判故比式判别法无法法无法鉴别此此级数的收数的收敛性性. 但但应用根用根 式判别法却能判定此级数是收敛的式判别法却能判定此级数是收敛的( (例例9).).那么那么, , 是是 否就不需要比式判别法了？请看下面例子否就不需要比式判别法了？请看下面例子. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例11 判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：解解 (i) 因因为 由比式判别法，原级数为收敛由比式判别法，原级数为收敛. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(ii) 因因为由根式判由根式判别法法, 原原级数数为收收敛. 注注 由于极限由于极限很很难求求,

14、所以上例中的所以上例中的 (i) 不采用根式法不采用根式法. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, ,局局 限性较大限性较大, , 所以还需要建立一些更有效的判别法所以还需要建立一些更有效的判别法. .定理定理12.9 (积分判分判别法法)设上非上非负减函数减函数, 那么正那么正项级数数同同时收敛或同时发散收敛或同时发散. . 证 由假由假设上非上非负减函数减函数, 对任何正数任何正数 A, ,f 在在1, A上可积上可积, ,于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页

15、依次相加可得依次相加可得若反常积分收敛若反常积分收敛, ,则由则由(12)式左边式左边, ,对任何正整数对任何正整数m, , 有有根据定理根据定理12.5, 级数数收收敛.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页反之反之, 若若为收收敛级数数, 则由由(12)式右式右边, 对任任 一正整数一正整数 m(1)有有因为因为f (x)为非非负减函数减函数, 故故对任何正数任何正数 A, 都有都有用同用同样方法方法,可以可以证明明是同是同时 发散的发散的. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例12 讨论解解 函数函数上是非上是非负减函减函 时发散散. 至于至于的情形的情形,

16、则可由收可由收敛的必要条件的必要条件知它也是发散的知它也是发散的. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例13 讨论下列下列级数数的的敛散性散性.解解 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页推得推得级数数 (ii) 在在 p 1时收收敛, 在在 时发散散. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, , 如如 果级数的通项收敛速度较慢果级数的通项收敛速度较慢, , 它们就失效了它们就失效了, 如如 p级数级数. . 拉贝拉贝(Raabe)判别法是以判别法是以 p p 级数为比较对象

17、级数为比较对象, , 这类级数的通项收敛于零的速度较慢这类级数的通项收敛于零的速度较慢, , 因此较比式因此较比式 或根式法在判断级数收敛时更精细或根式法在判断级数收敛时更精细. .*四、拉贝判别法 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理12.10 (拉拉贝判判别法法) 设 为正正项级数数, 且存且存 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证 (i)故存在正数故存在正数N, 使使对任意任意n N ，都有，都有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这样 于是于是, 当当n N 时，有时，有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后

18、页后页后页后页前页前页前页前页推推论(拉拉贝判判别法的极限形式法的极限形式)设 为正正项级数数, 且极限且极限返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页存在存在, 则当当s =1, 2, 3时的的敛散性散性.例例14 讨论级数讨论级数解解 无论无论s =1, 2, 3哪一值哪一值, ,级数级数(14)的比式极限的比式极限 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以用比式判所以用比式判别法无法判法无法判别级数数(14)的的敛散性散性. 现应用拉贝判别法来讨论应用拉贝判别法来讨论. . 当当 s =1时时, ,因因故故级数数(14)是是发散的散的. 当当s = 2时, 利用极限形式

19、利用极限形式, 有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页无法对级数无法对级数(14)的的作出判断作出判断. . 但由于但由于由拉贝法的非极限形式知级数由拉贝法的非极限形式知级数(14)发散发散. . 当当 s =3时时, ,所以所以级数数(14)收收敛.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根式法更广泛根式法更广泛, , 但当但当 r =1 时仍无法判别时仍无法判别. . 而从例而从例12 似乎可以得出这样得结论：没有收敛得似乎可以得出这样得结论：没有收敛得“最慢最慢”的的 收敛级数收敛级数. . 因此任何判别法都只能解决一类级数的因此任何判别法都只能解决一类级数的 收敛

20、问题收敛问题, ,而不能解决所有级数的收敛问题而不能解决所有级数的收敛问题. .当然我当然我 们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法, ,但这个过程是无限的但这个过程是无限的. .从上面看到从上面看到, , 拉贝判别法虽然判别的范围比比式或拉贝判别法虽然判别的范围比比式或 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1.设为收收敛的正的正项级数，数，则一定存在收一定存在收敛的正的正 项级数数,使得使得. 也就是也就是说没有收没有收敛 得最慢的级数得最慢的级数. .是否存在发散得最慢的级数？是否存在发散得最慢的级数？2.如果正如果正项级数数满足足对一切一切3.3.总结判别法使用规律总结判别法使用规律. .部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！