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1、 上面提到的物体的几何结构特征大致有以上面提到的物体的几何结构特征大致有以下几类：下几类：多面体多面体多面体多面体旋旋旋旋转转转转体体体体柱体柱体柱体柱体锥体锥体锥体锥体台体台体台体台体球球球球问题:1.长方体的展开图与其表面积有何关系？水立方的长，宽，高分别为177m 177m30m试求它的表面积(1)矩形面积公式：矩形面积公式： _。(2)三角形面积公式：三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：正三角形面积公式：_。(3)圆面积面积公式：圆面积面积公式：_。(4)圆周长公式：圆周长公式： _。(5)扇形面积公式：扇形面积公式： _。(6)梯形面积公式：梯形面积公式： _。(7)扇环面积公式
2、：扇环面积公式： _。如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积？如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积？侧面侧面展开图的构成展开图的构成几何体的展开图几何体的展开图表面积表面积=侧面积侧面积+底面积底面积一组平行四边形一组平行四边形一组梯形一组梯形一组三角形一组三角形例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积求它的表面积 D分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。成。因为因为SB=a，所以：所以： 因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积 交交BC于点于点D解：先求解
3、：先求 的面积，过点的面积，过点S作作BCASa例例2.下下图是一个几何体的三是一个几何体的三视图(单位位:cm)想想象象对应的几何体的几何体，并求出它的表面积，并求出它的表面积12解：直观图是四棱台,侧面是四个全等的梯形,上下底面为不同的正方形如何根据圆柱、圆锥、的几何结构特征求它们的表面积.表面积侧侧面积 侧面展开图圆台呢？圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、梯形的面积有什么相似的地方？梯梯形形三三角角形形矩矩形形平面图形面积空间体的侧空间体的侧面积空间体侧面展开图圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式有什么联系？ 侧面积侧面展开图1.看图回答问题看图回答问题 做一做做一做 3.以直角以直角
4、边长为1的等腰直角的等腰直角三角形的一直角三角形的一直角边为轴旋旋转，所得旋所得旋转体的表面体的表面积为_._ . 2.一个一个圆柱形柱形锅炉的底面半径炉的底面半径为 ,侧面展面展开开图为正方形，正方形，则它的表面它的表面积为21 4.已知已知圆锥的表面的表面积为 ，且它的，且它的侧面展开面展开图是一个半是一个半圆，这个个圆锥的底面直径的底面直径_.分析分析 (1)(1)花盆外壁的面积花盆外壁的面积= =花盆的侧花盆的侧 面积面积+ +底面积底面积- -底面圆孔面积底面圆孔面积23(2)涂100个需漆: y=0.1100100=1000(毫升) 答答:每个涂漆面积0.1 , 100个需涂漆10
5、00毫升.24解解:(1)蜜蜂爬行的最短路线问题蜜蜂爬行的最短路线问题.易拉罐的易拉罐的底面直径底面直径为为8cm,高高25cm.分析分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转化为平面几何的问题将问题转化为平面几何的问题. AB三者之间关系三者之间关系圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和小结：小结：展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥一、基本知识二、思想方法由特殊到一般由特殊到一般类比、归纳、猜想类比、归纳
6、、猜想转化的思想转化的思想直棱柱直棱柱 ：侧棱和底面垂直的棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱侧面展开斜高斜高h正棱锥正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为正棱锥。正棱锥。侧面展开正棱台正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做面之间的部分叫做正棱台正棱台练习v5. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。它的展开图的形状为_。该图形的弧长为_cm，半径为_cm，所以圆锥的侧面积为_cm2。扇形634扇形面积公式
7、 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法球的体球的体积积 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分
8、的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体球的体积积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .AOB2C2AOOROA球的体球的体积积球的体球的体积积球的体球的体积积2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作球心作为顶点便得到为顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥
9、体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的趋近于无穷大时就精确到等于球的体积体积. .1)1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积近
10、于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，开图求出，如何求球的表面积公式呢如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导回忆球的体积公式的推导方法方法, ,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式思想方法来推导球的表面积公式呢呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的球的表面积表面积球的球的表面积表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的
11、则球的表面积：表面积：则球的则球的体积为：体积为：O OO O球的球的表面积表面积第第二二步：步：求求近近似似和和由由第一步得：第一步得：O OO O球的球的表面积表面积第第三三步步：化化为为准准确确和和 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小锥体小锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥O O球的球的表面积表面积例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求求它的内径它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )例题讲
12、解例题讲解(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求求它的内径它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得由计算器算得:例题讲解例题讲解( (变式变式2)2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体
13、球内切于正方体侧棱长为侧棱长为5cm例题讲解例题讲解例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1
14、 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解OABC例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如解：如图，设球球O半径半径为R，截面截面 O的半径的半径为r，例题讲解例题讲解OABC例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积例题讲解例题讲解2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的
15、棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 83.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这求这三个球的体积之比三个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一课堂练习课堂练习4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. .练习二练习二1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的
16、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .6.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. .练习二练习二课堂练习课堂练习l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它是今后要学习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；l熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结课堂小结
