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1、精 品 数 学 课 件2019 届 北 师 大 版 一、向量有关知识复习一、向量有关知识复习(1)向量共线的充要条件)向量共线的充要条件: 与与 共线共线 (2)向量垂直的充要条件:)向量垂直的充要条件:(3)两向量相等充要条件:)两向量相等充要条件:且方向相同。且方向相同。(4)平面向量基本定理)平面向量基本定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例例1、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示,已知如图所示,已知 O,AB为直径,为直径,C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析分析:要证要证ACB=90,只
2、须证向,只须证向量量 ,即,即 。即即 ,ACB=90思考:能否用向量坐标形式证明?思考:能否用向量坐标形式证明?二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知:平行四边形已知:平行四边形ABCD。求证:求证:解:设解:设 ,则,则 分析:因为平行四边形对边平行且相分析:因为平行四边形对边平行且相等,故设等,故设 其它线段对应向其它线段对应向量用它们表示。量用它们表示。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例例3、已知:如图、
3、已知:如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证:求证:AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析:分析:思路一:设思路一:设AD与与BE交于交于H,只要证,只要证CHAB,即高,即高CF与与CH重合,即重合,即CF过点过点H由此可设由此可设利用利用ADBC,BECA,对应向量垂直。,对应向量垂直。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例例3、已知:如图、已知:如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证:求证:AD、BE、CF交于一点交于一点ABCDEH解:解:设AD与BE交于H,即高即高CF与与CH重合,重合,CF过点过点H,A
4、D、BE、CF交于一点。交于一点。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例例4、如图已知、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N,在在BN延长线上取点延长线上取点P,使,使NP=BN,在,在CM延长线上取点延长线上取点Q,使使MQ=CM。求证:。求证:P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解:设解:设则则由此可得由此可得即即 故有故有 ,且它们有,且它们有公共点公共点A,所以,所以P、A、Q三点共线三点共线四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例例5、如图、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点,将正方
5、形折起,的中点,将正方形折起, 使点使点A与与M重合,设折痕为重合,设折痕为EF,若正方形面积为,若正方形面积为64, 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF分析:如图建立坐标系,设分析:如图建立坐标系,设E(e,0),M(8,4),N是是AM的中点,故的中点,故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,2)解得:解得:e=5故故AEM的面积为的面积为10四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例例5、如图、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点,将正方形折起,的中点,将正方形折起, 使点使点A与与M重合,设折痕为重合,设折痕为EF,若正方形面积为,若正方形面
6、积为64, 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF解:如图建立坐标系,设解:如图建立坐标系,设E(e,0),由,由 正方形面积为正方形面积为64,可得边长为,可得边长为8 由题意可得由题意可得M(8,4),N是是AM的的 中点,故中点,故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,2)解得:解得:e=5 即即AE=5四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值练习:练习:PQ过过OAB的重心的重心G,且,且OP=mOA,OQ=nOB 求证:求证:分析分析:由题意由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点,利联想线段的定比分点,利 用向量坐标知识进行求解。用向量
7、坐标知识进行求解。OABGPQ由由PO=mOA, QO=nOB可知:可知: O分分 的比为的比为 ,O分分 的比为的比为由此可设由此可设 由向量定比分点公式,可求由向量定比分点公式,可求P、Q的坐标,而的坐标,而G为重心,其坐标也可求出,进而为重心,其坐标也可求出,进而由向量由向量 ,得到,得到 m n 的关系。的关系。-m -n? ?四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值练习:练习:PQ过过OAB的重心的重心G,且,且OP=mOA,OQ=nOB 求证:求证:OABGPQ证:如图建立坐标系,证:如图建立坐标系, 设设所以重心所以重心G的坐标为的坐标为由由PO=mOA, QO=nOB可知:可知:即即O分分 的比为的比为-m,O分分 的比为的比为-n 求得求得由向量由向量 可得:可得:化简得:化简得:五、小结、巩固练习:五、小结、巩固练习:练习练习1:证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形:证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形练习练习2:如图:如图O为为ABC所在平面内一点,且满足所在平面内一点,且满足求证求证:ABOCABCO