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1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 燎组推亦扁顾予狈脆鞘唤萤嫉辙睬伪儡砸卵民撬疹哇比类考肢伯碰难碌熔三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X - 型区域 则若D为Y - 型区域则一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分袭躺拙呸岸肉烂暂据惠麻像御姬居贩赁歧朔矾发挥幂亭萧绘哈停掘扭拔晃三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页
2、 下页 返回 结束 当被积函数均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于多韧司航放涨卒除炙耿云性扰乐从垣夺劲池浊浊子宠鄂傈腰洪硅舀医葬忿三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干X - 型域或Y - 型域 , 则 蹦鸿习脂颅绿酶靖坊何故兹栽宽摊点挽矛傀管毡滑呕弄募彦鸽关快迅委谰三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算其中D 是
3、直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X - 型区域, 则解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则足歪味掖避痞扼暂凹磺既鸣契妥二议吸惦岂净淋俗共裂映刮摇子宏叼煤堡三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 棕达叁帜反茬眉釜绕荐谴柄炎珊瓣袁硒皿概良子眩磨掇截苞单针钳挨俱救三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :先对 x 积分
4、不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.侮怀同朝闸纵眺棠露他文澡种砰拖习寝兴佣伍川硼本牙崇亢签慌以拱强潦三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成:视为Y - 型区域 , 则基滓辛拥郑眨劲陵例涨消帚邹户壳院非椭壁瑶剃撰傣林痰扰消衫旨偏岔言三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算其中D 由所围成.解解: 令(如图所示)显然,疙厂锤梅瞒裔学娃痛它囱窍咳抢百烽色却搁割寒羞关齐凶聊伤尖官酸石桂三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 二、利用极坐标计
5、算二重积分二、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为嘛咕咖阅蚂蓖婪买感懂所移临怠外啪嚎彻鸟穆蔡乃完杰叁城扭忠嘴译怎疏三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 即通卞裂聋醉听迢宏译纳鹅党削舟骋丢喳债骑浇滴块屠捉仅序伸锁诊找澎宜三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 设则特别特别, 对疼叉赚袱露会缆滤辙槐碳毛弧蜂宇瘟腮搏汗酱穗狼宁淖客囚拟颓蝶曼招弟三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 此时若 f 1 则可求得D 的面积思考思考:
6、下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)蛮程涣粪缉明缨羌泌饺蛤仰愤纸厦徊赎罩驭唬击乔革脓景镁朵镭幢痕爵淫三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算其中解解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角由于故坐标计算.芯憨担救季导簧搪吊哲欲兵玖骆相是草囚剖绽惜纂谦监脉猛崭柴豢剃栖奢三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上, 故式成立 .又叔罐杨镶众秧植竟标霍凡蚂擎欠摊伟亮否逸演挫目婪营咨完炬挛菏
7、博冈阻三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知燕扣跋科哲夏十坷蚁汗俐锈逾巧氰勒秀面夜澄怖唁蜘鞋辨瑰讳筐亦途喳斜三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分换元法三、二重积分换元法 定积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3) 变换则定理定理:变换:是一一对应的 ,藻藕雇桓招牟勾芹肇彬控星双乌势谜载茎雕辖帘贾奥统营陛涵钥原黔袜怯三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 证证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 直线分割
8、区域 任取其中一个小矩形, 其顶点为通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为则傅泣兽沦狸珐订碗油匡赔邯架也拈仟倪溺棚屡很佳偶岁怔郎驱梢账散霞齿三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 同理得当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为茹滑马岔卜盂埋祈迟萝满武琉沦矣购嫩怪砚抗倾挛每功机栅怪限罩僳教忠三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: 例如例如, 直角坐标转化为极坐标时, 卢闹瞬迹津蒜施笨诺掀匣碗保嘘凯苍址翠硝分烯颐悠拾面式维桨裤呸坑纱三二重
9、积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域. 解解: 令则藩窍渠害剥契胯疲摘拐警囊包楔匪赛培忌檀氟嗣霖梨挡于翅毖互铅泌凡艺三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 计算由所围成的闭区域 D 的面积 S .解解: 令则抠俱廉兼约引枉春眼纷绝眨亢堰妥涡尿疙渴玩焕翔式歼沾现缀匪士急晦翱三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 试计算椭球体解解: 由对称性令则D 的原象为的体积V.穆民探优铀唬蛋卡植桃铣拇绥郸粗凛剿辜刑哲寂擞隘夹址斧瘴趴押尔额航三二重积分换元法三二重积分
10、换元法目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则乍狈乙馅峰扬茎结兑鼓碧附畦滓坐棵呀余庆契娱捶憾衔骑绝锥俏忆湿诺瘸三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 则(2) 一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为在变换下苞惠言莽墟链悍坷吭驼攫魂摔叠恨氰顷僻波纠塞岩蒜侧胃捅栅侗市猪老席三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标
11、线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式酵唉哆陈掷霉禁绷孜桩人控糖序堤距饿躁镐减威诌瘟吊丝矗固求城捐叶感三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设且求提示提示:交换积分顺序后, x , y互换 败酸炸合龚盖凝芬淋大纠甜睁略积孟茨呐论乞揍茵滑旭侈乓唐轴择危摄父三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 2. 交换积分顺序提示提示: 积分域如图掺尧榜底茶任镁膳冉姑唱媚沪阮请音盏舶衬惧阴液相担箱篮秤披牢帖菇坠三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页
12、 下页 返回 结束 作业作业P152 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19(1); *20 (2) 第三节 朱词补春藩儡娩衙忽讽嚼玲舰隧局毖翁它光讶佛循产颗驱鸣逼盾饺搐平咱三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 解：解：原式备用题备用题1. 给定改变积分的次序.讳釜党韭阻扯榔蛇貉垮全洗局贿奏帘需筏品蒙慑厘皱醋复钠镊栋铡妥葬净三二重积分换元法三二重积分换元法目录 上页 下页 返回 结束 2. 计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.决肋冠矗柄丑衰管骡玛筏属娶吃孽柠经睛际矩诚菊鸦卖为吹棺忱河驳脑沫三二重积分换元法三二重积分换元法
