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1、函数应用问题中不容忽视的“四种错”函数应用问题中不容忽视的“四种错”函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模” ，它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发” 、 “理解不全面” 、 “与事实不符”和 “时间间隔计算出错”四种解题误区， 下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析：一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错例 1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池，由于地形限制， 长、宽都不能超过 16 米，如果池外壁建造单价为每米400 元，中间两条隔壁建造单价为每米 248
2、 元，池底建造单价为每平方米 80 元 （池壁的厚度忽略不计， 且池无盖）（1） 、 写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域.（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.错解： （1）污水处理池的长为x米，则宽为200米，总造价xy 400(2x2=800(x200200)248280200xx324)16000(0 x 16)x324324（2）y 800(x，)16000 8002 324 16000 44800， 当且仅当x xx即x 324 18最低造价为 44800 元.错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列
3、的式子也正确，但是定义域0 x 16是不严格的，应由已知条件进一步缩小范围：12.5 x 16.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为x 18，但在定义域内取不到 18，所以应根据函数的单调性进行分析求解.324200)16000,Q16,x 12.5，则定义域为12.5,16xx（2）长和宽分别为 16 米，12.5米时，总造价最低且为45000 元.正解： （1）y 800(x二、由于对实际问题理解不全面而致错二、由于对实际问题理解不全面而致错例 2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/小时）的平方和车身长（单位：m）的
4、乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为l（单位：m） ，且当车速为50(km/小时)时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？车速车流量=车距+车身长错解：d kv l，将v 50,d l代入得k 入得v 25 2，由题意得d 21121v l，又将d l代，d 25002500212v l(v 25 2)，25001000v1000v1000100025000Q(v 25 2)将Q ，21vvld ll( )l21vl(1)v25002500v 2500当且仅当v 50时,Qmax25000l综上所知：v 50(km/h)时,车流量Q
5、取取最大值.错因分析：上述解法中的结果虽然正确， 但解题过程中是错误的， 即虽然车速要求不低于25 2km/h，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.1l (v 25 2)2正解：依题意，得d ，1v2l (v 25 2)25001000v3l(v 25 2)1000v2则Q ，显然，当v 25 2时，Q是v的增函数，1000vd l(v 25 2)2vl(1)2500v 25 2时，Qmax1000v50000 2，33ll21000100025000当v 25 2时，Q，当且仅当v 50时，1vll( )l21vv2500v 250025000，综上所述，当v 50(km/
6、h)时车流量 Q 取到最大值.Qmaxl三、结果与事实不符而致错三、结果与事实不符而致错例 3、WAP 手机上网每月使用量在 500 分钟以下（包括 500 分钟） ，按 30 元计费；超过500 分钟的部分按 0.15/分钟计费。假如上网时间过短（小于60 分钟的） ，使用量在 1 分钟以下不计费，在 1 分钟以上（包括 1 分钟）按 0.5 元/分钟计费。WAP 手机上网不收通话费和漫游费。（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；（2）12 月小王 WAP 上网使用量为 20 小时，要付多少钱？（3）小王 10 月份付了 90 元的 WAP 上网费，那么他上网的时间是多少？
7、错解：1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为0,0 x 10.5x,1 x 60y 30,60 x 5000.15x,x 500（2）当x 2060 1200分钟，x 500，应付y 0.151200 180元，（3）90 元已超过 30 元，所以上网时间超过 500 分钟，由解析式可得上网时间为 600分钟。错解分析：此题错解主要是对“超过500 分钟的部分按 0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了 1200 分钟的网，要 180 元，是 30 元包月用 500 分钟的 6 倍，而时间上才2 倍多，与事实不符；又如第
8、（ 3）小题，用了90 元，几乎是 30 元的 3 倍，而可上网时间才多了100 分钟，与事实不符.正解： （1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为0,0 x 10.5x,1 x 60y 30,60 x 50030 0.15(x 500), x 500（2）当x 2060 1200分钟，x 500，应付y 30 0.15(1200500) 135元，（3）90 元已超过 30 元，所以上网时间超过500 分钟，由解析式可得上网时间为900 分钟。四、时间间隔计算出错四、时间间隔计算出错例 4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比
9、第一年相应月产值的增长率是多少？错解：设第一年某月的产值为b，则第二年相应月的产值是b(1 a)，依题意所求增11b(1a)11b (1a)111.长率是b错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式y N(1 p)，对于x往往指基数所在时间后跨过时间的间隔数.正解：不妨设第一年 2 月份的产值为b，则 3 月份的产值为b(1a)，4 月份的产值为xb(1 a)2，依次类推，到第二年2 月份是第一年 2 月份后的第 12 个月，即一个时间间隔是一个月，这里跨过了12 个月，故第二年2 月份产值是b(1a)，又由增长率的概念知，这12b(1a)12b (1a)121.两年内的第二年某月的产值比第一年
10、相应月的增长率为：b函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤， 注意避免进入以上两个误区.具体的解题步骤一般有“审题” 、 “建模” 、 “求模” 、 “还原”四步，审题：弄清题意，分清条件结论，理顺数量关系；建模： 将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得到数学结论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.变式练习题变式练习题1、已知A、B 两地相距 150 千米，某人开汽车以60 千米/小时的速度从 A 到达 B 地，在B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离x表示为时间t的函数，表
11、达式为解析：由 A 到 B 共用时15060 2.5，停留 1 小时距离不变，由B 返回时距离逐渐减60t (0 t 2.5)小，x 150 (2.5t 3.5)15050(t 3.5) (3.5t 6.5)2、某种产品每件80 元可售出 30 件，如果每件定价120 元，则每天可售出20 件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为x 80x 120或，设一次函数为y 30y 201k y kxm， 则 有30 k80m;20 120k m,4， 因 此 一 次 函 数 为m 50解析：设售出件数为y件，定价为x元，则有1y x50. 另 因y 0， 则x 200， 又x 0， 因此
12、可 得0 x 200， 即 有41y x50，x0,200.43、 某人骑车沿直线旅行， 先前进了 a 千米， 休息了一段时间， 又原路返回 b 千米(0ba)，再前进 c 千米，则此人离起点的距离y 与时间 x 的关系示意图是( )解析：解析：观察排除法.因“前进了a 千米后休息了一段时间” ， 排除 A；接着“又原路返回b 千米(0ba)， ”再排除 B，D，应选 C C4、开始时水桶甲中有16升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 16e（k是正常数） ，假设经过2分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等，那么经过多少分钟时水桶甲的水剩余2 升？解析：解析：由题意，当t 2时，y 8，即8 16e设经过t分钟时水桶甲的水剩余 2 升，则2 16e答：经过 6 分钟时水桶甲的水剩余 2 升k2kt，故ek1，2ktt1t1111) ，( )2 ( )3，t 6，(2823
