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1、函数应用问题中不容忽视的“四种错”函数应用问题中不容忽视的“四种错”函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题,就是“数学建模” ,它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发” 、 “理解不全面” 、 “与事实不符”和 “时间间隔计算出错”四种解题误区, 下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析:一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错例 1、某工厂拟建一座平面图(如图)为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制, 长、宽都不能超过 16 米,如果池外壁建造单价为每米400 元,中间两条隔壁建造单价为每米 248
2、 元,池底建造单价为每平方米 80 元 (池壁的厚度忽略不计, 且池无盖)(1) 、 写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式,并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.错解: (1)污水处理池的长为x米,则宽为200米,总造价xy 400(2x2=800(x200200)248280200xx324)16000(0 x 16)x324324(2)y 800(x,)16000 8002 324 16000 44800, 当且仅当x xx即x 324 18最低造价为 44800 元.错因分析:上述解法中的思路是正确的,第(1)问列
3、的式子也正确,但是定义域0 x 16是不严格的,应由已知条件进一步缩小范围:12.5 x 16.第(2)问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为x 18,但在定义域内取不到 18,所以应根据函数的单调性进行分析求解.324200)16000,Q16,x 12.5,则定义域为12.5,16xx(2)长和宽分别为 16 米,12.5米时,总造价最低且为45000 元.正解: (1)y 800(x二、由于对实际问题理解不全面而致错二、由于对实际问题理解不全面而致错例 2、在一个交通拥挤及事故易发路段,为了确保交通安全,交通部门规定,在此路段内的车速v(单位:km/小时)的平方和车身长(单位:m)的
4、乘积与车距成正比,且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为l(单位:m) ,且当车速为50(km/小时)时,车距恰为车身长,问交通繁忙时应规定怎样的车速,才能在此路段的车流量Q最大?车速车流量=车距+车身长错解:d kv l,将v 50,d l代入得k 入得v 25 2,由题意得d 21121v l,又将d l代,d 25002500212v l(v 25 2),25001000v1000v1000100025000Q(v 25 2)将Q ,21vvld ll( )l21vl(1)v25002500v 2500当且仅当v 50时,Qmax25000l综上所知:v 50(km/h)时,车流量Q
5、取取最大值.错因分析:上述解法中的结果虽然正确, 但解题过程中是错误的, 即虽然车速要求不低于25 2km/h,所以在求解过程中应分此两种情况分类求解,得到分段函数.1l (v 25 2)2正解:依题意,得d ,1v2l (v 25 2)25001000v3l(v 25 2)1000v2则Q ,显然,当v 25 2时,Q是v的增函数,1000vd l(v 25 2)2vl(1)2500v 25 2时,Qmax1000v50000 2,33ll21000100025000当v 25 2时,Q,当且仅当v 50时,1vll( )l21vv2500v 250025000,综上所述,当v 50(km/
6、h)时车流量 Q 取到最大值.Qmaxl三、结果与事实不符而致错三、结果与事实不符而致错例 3、WAP 手机上网每月使用量在 500 分钟以下(包括 500 分钟) ,按 30 元计费;超过500 分钟的部分按 0.15/分钟计费。假如上网时间过短(小于60 分钟的) ,使用量在 1 分钟以下不计费,在 1 分钟以上(包括 1 分钟)按 0.5 元/分钟计费。WAP 手机上网不收通话费和漫游费。(1)写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式;(2)12 月小王 WAP 上网使用量为 20 小时,要付多少钱?(3)小王 10 月份付了 90 元的 WAP 上网费,那么他上网的时间是多少?
7、错解:1)设上网时间为x分钟,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为0,0 x 10.5x,1 x 60y 30,60 x 5000.15x,x 500(2)当x 2060 1200分钟,x 500,应付y 0.151200 180元,(3)90 元已超过 30 元,所以上网时间超过 500 分钟,由解析式可得上网时间为 600分钟。错解分析:此题错解主要是对“超过500 分钟的部分按 0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错,产生了与事实相违的结论,如第(2)小题上了 1200 分钟的网,要 180 元,是 30 元包月用 500 分钟的 6 倍,而时间上才2 倍多,与事实不符;又如第
8、( 3)小题,用了90 元,几乎是 30 元的 3 倍,而可上网时间才多了100 分钟,与事实不符.正解: (1)设上网时间为x分钟,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为0,0 x 10.5x,1 x 60y 30,60 x 50030 0.15(x 500), x 500(2)当x 2060 1200分钟,x 500,应付y 30 0.15(1200500) 135元,(3)90 元已超过 30 元,所以上网时间超过500 分钟,由解析式可得上网时间为900 分钟。四、时间间隔计算出错四、时间间隔计算出错例 4、某工厂转换机制,在两年内生产值的月增长率都是a,则这两年内第二年某月的产值比
9、第一年相应月产值的增长率是多少?错解:设第一年某月的产值为b,则第二年相应月的产值是b(1 a),依题意所求增11b(1a)11b (1a)111.长率是b错解分析:对于增长率问题,主要是应用公式y N(1 p),对于x往往指基数所在时间后跨过时间的间隔数.正解:不妨设第一年 2 月份的产值为b,则 3 月份的产值为b(1a),4 月份的产值为xb(1 a)2,依次类推,到第二年2 月份是第一年 2 月份后的第 12 个月,即一个时间间隔是一个月,这里跨过了12 个月,故第二年2 月份产值是b(1a),又由增长率的概念知,这12b(1a)12b (1a)121.两年内的第二年某月的产值比第一年
10、相应月的增长率为:b函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤, 注意避免进入以上两个误区.具体的解题步骤一般有“审题” 、 “建模” 、 “求模” 、 “还原”四步,审题:弄清题意,分清条件结论,理顺数量关系;建模: 将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;求模:求解数学模型,得到数学结论;还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.变式练习题变式练习题1、已知A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以60 千米/小时的速度从 A 到达 B 地,在B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,把汽车离开 A 地的距离x表示为时间t的函数,表
11、达式为解析:由 A 到 B 共用时15060 2.5,停留 1 小时距离不变,由B 返回时距离逐渐减60t (0 t 2.5)小,x 150 (2.5t 3.5)15050(t 3.5) (3.5t 6.5)2、某种产品每件80 元可售出 30 件,如果每件定价120 元,则每天可售出20 件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为x 80x 120或,设一次函数为y 30y 201k y kxm, 则 有30 k80m;20 120k m,4, 因 此 一 次 函 数 为m 50解析:设售出件数为y件,定价为x元,则有1y x50. 另 因y 0, 则x 200, 又x 0, 因此
12、可 得0 x 200, 即 有41y x50,x0,200.43、 某人骑车沿直线旅行, 先前进了 a 千米, 休息了一段时间, 又原路返回 b 千米(0ba),再前进 c 千米,则此人离起点的距离y 与时间 x 的关系示意图是( )解析:解析:观察排除法.因“前进了a 千米后休息了一段时间” , 排除 A;接着“又原路返回b 千米(0ba), ”再排除 B,D,应选 C C4、开始时水桶甲中有16升水,水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 16e(k是正常数) ,假设经过2分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等,那么经过多少分钟时水桶甲的水剩余2 升?解析:解析:由题意,当t 2时,y 8,即8 16e设经过t分钟时水桶甲的水剩余 2 升,则2 16e答:经过 6 分钟时水桶甲的水剩余 2 升k2kt,故ek1,2ktt1t1111) ,( )2 ( )3,t 6,(2823